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东北农业大学网络教育学院离散数学复习题

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发表于 2017-5-24 13:20:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
谋学网奥鹏作业答案
东北农业大学网络教育学院
离散数学复习题
复习题一
一、证明
1、对任意两个集合 ,证明  
2、构造下面命题推理的证明
如果今天是星期三,那么我有一次英语或数学测验;如果数学老师有事,那么没有数学测验;今天是星期三且数学老师有事,所以我有一次英语测验。

二 、计算
1、(1)画一个有一条欧拉回路和一条汉密顿回路的图。
(2)画一个有一条欧拉回路但没有汉密顿回路的图
(3)画一个没有欧拉回路但有一条汉密顿回路的图
2、设 ,求公式:
的真值。
3、一棵树有 个结点度数为2 , 个结点度数为3,…  , 个结点度数为k ,问它有几个度数为1的结点。
4、设集合 上的关系  ,求出它的自反闭包,对称闭包和传递闭包。

三、设 上的整除关系 ,
是否为 上的偏序关系?若是,
则:1、画出 的哈斯图;
2、求 。
四、用推导法求公式 的主析取范式和主合取范式。
五、设实数集 上的关系 ,
证明: 是 上的等价关系。
六、设 分别是实数集和正实数集,+和×分别是普通加法和乘法,定义函数 为 ,证明 的同构映射。

七、设 是实数集合, ,在 上定义二元运算 为: ,试证明 是一个群。 是否阿贝尔群?

复习题二
一、设   上的整除关系   


完成下列各小题。
1、        证明 是 上的偏序关系。
2、        画出偏序集 的哈斯图。
3、        在 上定义两个二元运算 和 :对任意 , , 。请填空(在横线上填是或不是):
①代数系统        格。        ②代数系统        有界格。
③代数系统        有补格。    ④代数系统        分配格。
二、求布尔函数的析取范式和合取范式
设 是布尔代数 上的一个布尔表达式。试写出 的析取范式和合取范式(用推导法或列函数表的方法均可)。
三、画出满足下列要求的图
①有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路。
②有一条欧拉回路但没有汉密尔顿回路。
③没有欧拉回路但有汉密尔顿回路。
④既没有欧拉回路也没有汉密尔顿回路。

四、证明在完全二叉树中,边的总数等于2(n-1),这里n是叶子数。
五、计算
求带权2、3、5、7、11、13的最优二叉树。
六、证明
在一个连通平面图中,若它有n个结点,m条边,且每个面由k条边围成。
试证


七、证明
设 是有限字母表,给定代数系统 ,其中 是串的连接运算。对于任一串 ,建立 到 的映射 , 。证明 是 到 的一个满同态,且当 时, 是同构映射。
八、应用
    给定有限状态机 ,它的状态图如附图所示。
1、        求状态 的011010的后继以及可接受状态序列。
2、        求 对于激励010110的响应。
3、构造一台与 相似的转换赋值机 ,画出 的状态图。
九、证明
考察一个(8,4)码C,它的校验位a5,a6,a7,a8满足下列方程
a5=a1+ a2+ a4     
a6=a1+ a3+ a4   
a7=a1+ a2+ a3     
a8=a2+ a3+ a4
其中a1,a2,a3,a4为信息位。
     求出这个码的一致校验矩阵。证明  。

复习题三
一、设集合      

完成下列各小题。
1求 的幂集 。
2证明 是偏序集。
3画出偏序集 的哈斯图。
4在 上定义两个二元运算 和 :对任意 , , 。请填空(在横线上填是或不是并回答为什么):
①代数系统        格,因为                                       。
②代数系统        有界格,因为                                    。
③代数系统        有补格,因为                                    。
④代数系统        分配格,因为                                    。
⑤代数系统        布尔代数,因为                              。
二、计算
设 是布尔代数 上的一个布尔表达式。试写出 的析取范式和合取范式(用列函数表的方法)。
三、回答问题
完全图 是否是欧拉图?是否是哈密尔顿图?为什么?
四、画图
对于下图,利用克鲁斯克尔算法求一棵最小生成树。


五、计算
一棵树有两个结点度数为2 ,1个结点度数为3,3个结点度数为4 ,其余结点度数为1。问该树有几个度数为1的结点。
六、证明
是无向简单图,其中 ,证明: 。
证明  因为 是简单图,所以图 中没有环和平行边,任意两结点间最多有一条边,故 。
七、证明
已知

求证         
八、设计
设计一台有限状态机 ,它的输出是已经输入符号数的模3数(即设计模3计数器)。
九、计算
给定码C={00000,10001,01100,10101},求码C中任两个码字的海明距和 。

复习题四
一、填空
1、设A和B为有限集,|A|=m,|B|=n,则有        个从A到B的关系,有        个从A到B的函数,其中当m£n时有        个入射,当m=n时,有        个双射。
2、集合       (是/不是)可数的。

二、计算
1、用推导法求下列公式的主合取范式和主析取范式:
2设 上二元关系 ,求其自反闭包、对称闭包、传递闭包。
三、证明
1、设 是三个集合,证明:
2证明等价式:
四、将下列命题推理符号化并给出形式证明:
已知张三或李四的彩票中奖了;如果张三的彩票中奖了,那么你是知道的;如果李四的彩票中奖了,那么王五的彩票也中奖了;现在你不知道张三的彩票中奖。所以李四和王五的彩票都中奖了。
五、设复数集合 ,定义 : 当且仅当 ,证明: 为等价关系。
六、证明:若 。
七、设集合 , 是普通乘法,证明: 是一个群。
八、设实数集合R,+和x是普通加法和乘法,定义映射 , ,证明 的单一同态。


复习题五
一、填空
1、实数集合R      (是/不是)可数的。
2、设A和B为有限集,|A|=m,|B|=n,则有        个从A到B的关系,有        个从A到B的函数,其中当m£n时有        个入射,当m=n时,有        个双射。

二、计算
1、用推导法求下列公式的主合取范式和主析取范式:
2设 上二元关系 ,求其自反闭包、对称闭包、传递闭包。
三、证明
1、设 是三个集合,证明:
2证明等价式:
四、将下列命题推理符号化并给出形式证明:
已知今天下雨或刮风;如果今天下雨,那么我在家看书;如果今天刮风,那么我去放风筝;今天我没有在家看书。所以今天刮风并且我去放风筝了。
五、设正整数集合 上的二元关系 ,证明: 为等价关系。
六、证明:若 。
七、设集合 , 是普通乘法,证明: 是一个群。
八、设正实数集合R+和实数集合R,+和x是普通加法和乘法,定义映射 , ,证明 的同构。


复习题六
一、        求公式q∧(p∨┐q)的析取范式、合取范式及主析取范式、主合取范式。
二、用推理规则证明:
前提 (x)(F(x)∧S(x))→(y)(M(y) →W(y)),(y)(M(y)∧┐W(y))
结论 (x)(F(x)→┐S(x))
三、计算题
1.证明逻辑等价式A→(A→B)A→B成立。
2.对任意集合A,B,C,证明:(A - B)Å B = A È B
3.设二元关系R={<{a},b>,<a,b>, <b,c>}求:
(1) dom R
(2) ran R
(3) RοR
4.求集合A={<p,q>|p,q都是整数}的势。
5. 在20名青年中有10名是公司职员,12名是学生,其中5名既是职员又是学生,问有几名既不是职员,又不是学生。

四、假设给定了正整数的序偶集合A,在A上定义二元关系R如下:<<x,y>,<u,v>>ÎR,当且仅当xv=yu,证明R为等价关系。
五、给出偏序集<A, R>上偏序关系R的关系图(如下图所示)。

(1)求偏序集<A, R>的哈斯图。
(2)指出A的最大、最小元(如果有的话),极大、极小元。
六、设<G,*>为群。若在G上定义二元运算о,使得对任何元素x,yÎG,有
xоy = y*x。
证明<G,о>也是群
七、设<G,*>为群,a为G中给定元素。定义函数f:G→G,使得对每一xÎG有f(x)=a*x*a-1
证明:f是<G,*>到<G,*>的自同构。

复习题七
一、证明
1、对任意两个集合 ,证明  
2、构造下面命题推理的证明
如果我学习,那么我数学不会不及格;如果我不热衷于玩游戏机,那么我将学习;但我数学不及格,因此我热衷与玩游戏机。
二 、计算
1、        画一个有一条欧拉回路和一条汉密顿回路的图。
2、设 ,求公式:
的真值。
3一棵树有 个结点度数为2 , 个结点度数为3,…  , 个结点度数为k ,问它有几个度数为1的结点。
4设集合 上的关系  ,求出它的自反闭包,对称闭包和传递闭包。
三、设 上的整除关系 , 是否为 上的偏序关系?若是,则:
1、画出 的哈斯图;2、求 的极大值和 的极小值。
四、用推导法求公式 的主析取范式和主合取范式。
五、设自然数集 上的关系 定义为: ,
证明: 是 上的等价关系。
六、设 分别是实数集和正实数集,+和×分别是普通加法和乘法,定义函数 为 ,证明 的同构映射。
七、设 是整数集合,+是普通加法,试证明 是一个群。 是否循环群?

复习题八
一、        求公式(┐p∨┐q)→(p«┐q)的析取范式、合取范式及主析取范式、主合取范式。
二、用推理规则证明:
前提 (x)P(x)→(x)((P(x)∨Q(x))→R(x)),(x)P(x),(x)Q(x)
结论 (x)(y)(R(x)∧R(y))
三、计算题
1.证明逻辑等价式A«B (A∧B)∨(┐A∧┐B)成立。
2.设AB,求证A∩CB∩C。
3.设集合A={a,b,c,d},A上的关系R={<b,b>,<a,b>,<c,b>,<d,c>},求R的自反闭包、对称闭包。

4.求下列集合的基数。
(1)T={x|x是单词“BASEBALL”中的字母}
(2)B={x|x∈R∧x2=9∧2x=8}
(3)C= ,A={1,3,7,11}
5. 求从1到500的整数中,能被3或5除尽的数的个数。

四、设R,S为A上的两个等价关系,且R Í S。定义A/R上的关系R/S:
           <[x],[y]>ÎR/S当且仅当<x,y>ÎS
证明:R/S为A/R上的等价关系。
五、设 上的整除关系

是否为 上的偏序关系?若是,
则:1、画出 的哈斯图;
2、        求 。
六、设<G,*>为一群。证明:
(1)若对任意aÎG有a2 =e,e为幺元,则G为阿贝尔群。
(2)若对任意a,bÎG有(a*b)2 =a2*b2 ,则G为阿贝尔群。
七、设N4 ={0,1,2, 3},f:N4→N4定义如下:
                    
令F = {f0,f1,f2,f3},其中f0为N4上恒等函数。给定一代数结构<F, ο>,且 (这里ο为函数合成运算,+4为模4加运算)。
试证<F, ο>与< N4,+4>同构。


复习题九
一¬.单项选择题
1.命题公式为 (    )。
A.重言式      B.可满足式      C.矛盾式      D.等值式
2.设集合A = {1,a},则P(A) =(    )。
A.{{1},{a}}                 B.{ ,{1},{a}}
C.{ ,{1},{a},{1,a}}      D.{{1},{a},{1,a}}
3.下列命题中正确的结论是:(     )
A.集合上 的关系如果不是自反的,就一定是反自反的;
B.若关系 都是反自反的,那么 必也为反自反的;
C.若关系 都是自反的,那么 必也为自反的;
D.每一个全序集必为良序集.
4.下列结论中不正确的结论是:(    )
     A.三个命题变元的布尔小项 的编码是 ;
     B.三个命题变元的布尔大项 的编码是 ;
     C.任意两个不同的布尔小项的合取式必为永假式;
     D.任意两个不同的布尔大项的合取式必为永假式.
5.设集合A和二元运算*,可交换的代数运算是(    )。
    A.设
    B.设
    C.设 ,运算 是矩阵的乘法
D.设
6.以下命题中不正确的结论是(     )
A.素数阶群必为循环群;              B.Abel群必为循环群;
C.循环群必为Abel群                  D.4阶群必为Abel群.
7.设代数系统 和 ,存在映射 ,如果 ,都有(    ),称K1与K2同态。
A.         B.
C.         D.
8.图G有21条边,3个4度结点,其余均为3度结点,则G有(    )个结点。
A.  13      B.   15      C.  17        D.  19
9.以下命题中正确的结论是(     )
   A. 时,完全图 必为欧拉图
   B.如果一个连通图的奇结点的个数大于2,那么它可能是一个Euler图;
   C.一棵树必是连通图,且其中没有回路;
   D.图的邻接矩阵必为对称阵.
10.若连通图 ,其中 ,则要删去G中(    )条边,才能确定G的一棵生成树。
A.     B.     C.      D.
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11.公式 的对偶式为                               。
12.子集公理的逻辑表达式为                                              。
13.设集合A = {a,b,c,d},A上的二元关系R = {<a,b>,<b,d>,<c,c>,<c,d>},那么Dom(R) =                 ,Ran(R) =                。
14.设集合B = {a,b,c}上的二元关系R的关系矩阵 ,则R具有的性质是                     ,且它的对称闭包 =                                。
15.设集合A = {a,b},B = {1,2},则从A到B的所有函数是                     
                        ,其中双射的函数                                  。
16.完全图 是平面图的充要条件是           
17.在布尔代数中,有 成立,则其对偶式                  成立。
18.已知下图,它的点连通度 为      ,边连通度 为      。

19.给定平面图G,如下图所示,则G的面数为        ,G中面的总次数为        。


20.若二部图 为完全二部图,则其边数为                    
三.计算题(一)
21.符号化下述两个语句,并说明其区别:
(1)如果天不下雨,我们就去旅游;(2)只有不下雨,我们才去旅游。
22.将下命题化为主析取范式和主合取范式:  .
23.设 ,求:⑴  ;⑵  ;
⑶  ;⑷  
24.设集合A={1,2,3,4},A上的二元关系R,其中R={<1,1>,<1,4>,<2,2>,
<2,3>,<3,2>,<3,3>,<4,1>,<4,4>},说明R是否A上的等价关系。
25.分别画下图中的强分图、单向分图。

26.设代数系统 ,其中Z是整数集,二元运算定义为 。 ,求 的逆元.

三.计算题(二)
27.设 是布尔代数, ,化简 。
28.求下图D的邻接矩阵 ,并算出其可达矩阵  


四.证明题
29.试证明: ┣  
30.给定正整数m,令 ,证明: 是一个群,其中+是数的普通加法。

复习题十
一¬.单项选择题
1.下列哪个语句是真命题(     )。
A.我正在说谎                     B.如果1+2 = 3,则雪是黑色的
C.如果1+2 = 5,则雪是黑色的      D.上网了吗
2.设L(x):x是演员,J(x):x是教师,A(x,y):x佩服y,命题“所有演员都佩服某些
教师”可符号化为(     )。
A.                 B.
C.        D.
3.设A,B,C为任意三个集合,下列命题正确的是(   )。
A.若 ,则           B.若 ,则
C.若 且 ,则     D.若 ,则
4.设集合A = {a,b}上的二元关系R = {<a,a>,<b,b>},则R(    )。
A.是等价关系但不是偏序关系        B.是偏序关系但不是等价关系
C.既是等价关系又是偏序关系        D.既不是等价关系也不是偏序关系
5.1.设集合A和二元运算*,可交换的代数运算是(    )。
A.设
B.设
C.设 ,运算 是矩阵的乘法
D.设   
6.设G是6阶循环群,a是生成元。则下列集合能构成G的子群的是(    )。
A.       B.       C.       D.
7.设代数系统 和 ,存在映射 ,如果 ,都有(    ),称K1与K2同态。
A.         B.
C.         D.
8.图G有21条边,3个4度结点,其余均为3度结点,则G有(    )个结点。
A.  13      B.   15      C.  17        D.  19
9.若连通图 ,其中 ,则要删去G中(    )条边,才能确定G的一棵生成树。
A.     B.     C.      D.
10.如下图所示各图,其中存在哈密顿回路的图是(   )。

      A                   B              C                   D
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11.任意两个不同极小项的合取为        式,全体极小项的析取式必为        式。
12.命题“任意实数总能比较大小”可符号化为                               。
13.由集合运算的吸收律,         ,         。
14.设集合A = {a,b,c,d},A上的二元关系R = {<a,a>,<a,b>,<b,d>},S = {<a,d>,<b,c>,<b,d>,<c,b>},则R•S =               ,R 2 =                 。
15.设集合A = {a,b,c,d},A上的二元关系R = {<a,b>,<b,d>,<c,c>,<c,d>},那么Dom(R) =                 ,Ran(R) =                。
16.设集合B = {a,b,c}上的二元关系R的关系矩阵 ,则R具有的性质是         
17.在布尔代数中,有 成立,则其对偶式                成立。
18.已知下图,它的点连通度 为      ,边连通度 为      。

19.给定平面图G,如下图所示,则G的面数为        ,G中面的总次数为        。


20.二部图G中所有基本圈的长度为                   (奇数或偶数)
三.计算题
21.符号化下述两个语句,并说明其区别:
(1)如果天不下雨,我们就去郊游;(2)只有不下雨,我们才去郊游。
22.试求命题公式 的主析取范式和主合取范式。
23.设 ,求:⑴  ;⑵  ;
⑶  ;⑷  
24.设集合A = {a,b},B = {1,2,3},C = {3,4},求 , ,并验证 。
25.设集合A = {0,1,2,3,4,5}上的二元关系R = {<0,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>, <2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,<4,4>,<4,5>,<5,4>,<5,5>},试说明R在A上是等价关系。
26.设Z+是正整数集, , (即 的最小公倍数)。试问 是半群,是含单位元的半群吗?

三.计算题(二)
27.设 是布尔代数, ,化简


28.求图D的邻接矩阵 ,计算 ,并找出 到 长度为2,3的所有通路。


四证明题
29.试证明:

30.在整数集合 上定义如下的乘法运算“ ”: ,那么 构成一个什么样的代数结构?试证明你的结论。




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