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17春福师《实变函数》在线作业一资料

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发表于 2017-4-22 11:36:34 | 显示全部楼层 |阅读模式
谋学网
福师《实变函数》在线作业一
/ h- M: k0 n7 f# t+ P试卷总分:100    得分:0+ ^, F$ v# _# h
一、 判断 (共 37 道试题,共 74 分)4 N/ o; V+ Z& i, C4 e  f& A
1.  闭集套定理的内容是:{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列,则F_k对所有k取交集非空.$ T, r1 ~- w( q7 A7 ]
A. 错误7 `7 V) G* z. J; H7 z
B. 正确
; _8 w& G, m  S' c7 R9 l, g      满分:2  分
% Y3 {/ V3 x" j3 f
2 V8 f6 R7 |3 v' ~
1 N7 X# z2 q5 s! o2 o! B1 o2.  存在[0,1]上的有界可测函数,使它不与任何连续函数几乎处处相等.8 d  q( a  Y, m
A. 错误( `; @  c7 [3 W! \' }' O
B. 正确
; y" {* o$ t4 o8 l      满分:2  分
* _7 Q( o+ ~" i' f9 S& F+ J' c" u0 M* {/ h0 z1 L

' q4 G4 r  B6 O' ]+ @3.  若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定,则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
+ c' f' q' y# F3 p2 \3 H. uA. 错误
& i6 K, c, |) c, D9 O4 O7 [4 hB. 正确
6 b3 \3 h" g/ a$ p% E      满分:2  分
* J% h6 A, [8 W9 i8 C# \: h% ~( B7 Y% P& B- S, L* F$ y/ C( A1 \0 i
5 C  Z4 D5 Z! D3 h, J$ o
4.  f可积的必要条件:f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。/ i# ~4 {# P8 Z9 c# E7 S
A. 错误
$ [3 O1 F" _0 e$ z4 xB. 正确
: g( L3 |5 @2 j7 w      满分:2  分9 R" v5 n7 l  m6 ~  M

- g- M, b4 c+ \$ j! v
* ~3 o6 C' F$ H5.  若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f).6 `7 X& z7 Y) P. s" b
A. 错误
5 }6 Q# K% }) _) p- C# WB. 正确
/ q6 N- Z8 o1 `; P      满分:2  分
; \6 |- E% [6 B) M9 E' U# r3 L3 m1 i1 I4 H
2 @' w- S$ d/ ^- o
6.  积分的四条基本性质构成整个积分论的基础,而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
+ }% u9 \* m- H$ I' x& o8 k% BA. 错误, @) b: v) e- D7 H9 G8 c
B. 正确
1 ]; ?& m  O6 E0 }      满分:2  分# d; ?- }$ w( s+ T4 q
1 B9 D1 P6 W, C' F
  o, K4 i( Q$ \
7.  若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.6 ]# L" `; M4 e+ C8 a- b' s& p
A. 错误
4 W  y) k7 s3 i0 |+ \B. 正确) A$ s" U( W4 S& L) P
      满分:2  分
6 i& c: e. O3 i6 r1 A3 V1 T: z, K/ ]# d+ H9 u3 A' L/ M- d
# V+ I, l& V5 n! |7 r3 V
8.  若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].1 V; v1 R/ |' r: \; l' E. [
A. 错误
* X' u: \8 [" lB. 正确
/ M2 y& ]" a$ I6 J6 R; l# j8 k      满分:2  分
6 s' N( ~! N% u. H9 `& `" t. b* o. @9 k4 I' m9 k7 ?8 D& W

$ b4 X* G$ M$ D6 ?+ R8 u9.  若f,g∈BV,则f/g(g不为0)属于BV。
! }. I7 G8 ]- Z# X4 ]$ ]A. 错误
8 v, t6 d% `4 lB. 正确
8 T! V  R* l& Q8 D      满分:2  分
& b; C; U4 {5 e( T
3 `3 h) a7 ~9 I) K9 a& Q! V- |( S9 Z- a/ X. `
10.  若f_n与g_n分别测度收敛于f与g,且f_n<=g_n,a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.; K4 o2 S/ t, S+ M0 E$ a8 x
A. 错误
& |; E7 i1 O( kB. 正确
# \6 i0 Y/ w8 z      满分:2  分
" x3 A4 W5 t( \: P3 x: A& z5 |* P9 c
  z5 g, l" T' V  {9 o1 j& ?3 ?$ P
11.  函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。4 H& w* U! v0 j: K. ^. U) F% F
A. 错误
& M; u$ Y9 [) j; fB. 正确9 `0 i8 O7 H& H' c& [( o2 _" W
      满分:2  分* Y. ]  Z" N$ f6 i8 j( K& x3 r
* h7 D* F' s, S5 }9 h1 k; O3 L! g7 \
& g4 H( R+ B, w  O/ a/ x5 R" W( A
12.  三大积分收敛定理包括Levi定理,Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
; h5 q, A, Y" K; T+ G  h. mA. 错误, P7 Y) ?0 \3 ^' h, a
B. 正确
6 r: S( ^/ t" o4 ~0 u6 U0 I$ C9 V% t      满分:2  分
$ q, C3 a+ w+ z/ K- [# S# b. |5 ]% f* A+ r* X' b

7 P) c& O* z* [. u13.  若f可测,则|f|可测,反之也成立.
! l8 \( s- _: U. ?# Q$ [A. 错误
+ l7 j. c4 N* a3 ]# O) nB. 正确
$ ^  p2 `  G. W+ S      满分:2  分
: y$ g- s9 E1 [6 w' V: @/ M( a$ I2 `: C

. u6 U) D8 u; |/ R' w: R7 ?* X14.  积分的引进分为三个递进的步骤:非负简单函数的积分,非负可测函数的积分,一般可测函数的积分.& K7 w' L2 v( j  M& u
A. 错误8 @; R# A1 {  f4 N( }; q5 y
B. 正确
$ N* l% Q8 i/ m, t) c$ p# U0 E      满分:2  分9 R/ O1 s1 p" J, }

% B2 `. I, A' E7 _* @, M) J/ b" R
15.  f在[a,b]上为增函数,则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
3 l: J" O' \1 G, K1 S0 jA. 错误
/ ^  I$ u+ e" B: B2 OB. 正确
/ F& _& V: n( t" ]; T! h' M      满分:2  分) _  ]) }' J' S
% z% l/ f6 j3 q
% X( m! {. v6 {) i- ]
16.  当f在[a,b]上R可积时也必L可积,而且两种积分值相等.
% Q8 n# T: K& hA. 错误: _5 z  w" ]& T6 P
B. 正确
) w2 J1 G, O7 C7 H% a/ e$ s      满分:2  分6 m4 p5 a" V! _% ]: J* ^
: N1 F) ~0 A2 _3 L+ n$ m
; k" F; [# e( `0 Y
17.  f,g∈M(X),则fg∈M(X)." {2 |6 L0 i3 E
A. 错误
5 Z! R2 |+ T4 r4 F8 c$ B8 F% F3 C' }B. 正确
* b0 V3 M- o4 J9 ]# N" V) t      满分:2  分+ ^7 h( K; n) E: c, }% V
4 d; k# `0 J) }- c6 ^
# i. e! t/ A  h! ?% T) N) c
18.  若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
& s; W. \! s/ K4 ~/ E/ ^+ e: TA. 错误# p1 V) n% \% y3 c7 l
B. 正确
: N, J! T3 N- e3 ]3 O$ n: i      满分:2  分
% M, a% M0 `! h0 O! y# R9 j1 F! t  G$ W

* O+ |. Q( I$ J( m19.  函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.) r5 ?4 N: w: h4 O2 q
A. 错误$ b1 Z' g7 \' F  i# h+ U: t: E
B. 正确/ ^9 i! e8 x2 x
      满分:2  分& c3 s0 Z- z* S

2 A9 p- V% L# p1 g. r' Z. F4 o, ~* [, D3 _- ?
20.  若|A|=|B|,|C|=|D|,则|A∪C|=|C∪D|.
4 L  ]5 g( [" f0 bA. 错误% y, E6 F+ i/ `8 @7 a6 o/ w& W5 b
B. 正确* O3 Z& q5 Z4 u$ h
      满分:2  分
  s# z# m( I8 a- ]/ Z6 e7 u; [, I: k
5 F" ]* u) O6 E9 U4 R9 M8 K7 k
' N& U& ]7 v' A" P9 J3 W0 W7 U! M21.  若A交B等于空集,则A可测时必B可测.# p! c. ?! U) L( T# `; V
A. 错误' k9 E& ?+ G: `5 }* }, y/ K
B. 正确
7 G4 q5 d1 W  K- x      满分:2  分* p& i& I0 ?- R# e6 o
# y1 Y( @0 }1 P1 w/ ]7 n* {
# P! m; q) H, s  I2 q% {
22.  若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R,则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
/ d$ ~6 R: l3 |4 R& a) {A. 错误
+ L* V) v! ?4 E5 s2 z7 QB. 正确, b$ b- p3 T- W" }, }4 o3 |" F
      满分:2  分
) r+ g( ~# x- x; C( {9 b. h3 g1 S' o
4 r9 c. S1 Q" V9 l$ {4 q5 G2 B
5 O. ^' i8 J/ \23.  一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
4 q6 b0 l# Q) @A. 错误) z: D7 l8 o; A4 [! h5 o
B. 正确
5 p9 Z8 l- W4 @  R8 ]      满分:2  分% ]4 k/ f) U; b) q" O
5 t! k5 M: s: H) E' h
4 `3 K# c: k# I
24.  连续函数和单调函数都是有界变差函数.
8 G4 q1 O) H2 \A. 错误
+ z- m2 i0 l0 b, Q) Y' GB. 正确' a2 X. K: L. V$ ]
      满分:2  分
2 Q5 X( d3 V6 Z! s! m0 U( M& H- ?% n  O$ d  Z8 S, E  l

' i: u& ^+ o5 b: L25.  集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
' D2 K. B6 [9 vA. 错误5 f2 s9 u: j4 A6 U
B. 正确6 t% [, o' b6 n2 {- L. H9 J0 E
      满分:2  分
6 K& K8 k0 @$ d/ h
; t5 u/ m5 S( U: v4 h
* O+ [" [3 U" W26.  对任意可测集E,若f在E上可积,则有Lim_{n->+∞} n·M[E(|f|>=n)]=0.# o( O$ ~* k4 D# l' N# r, w
A. 错误& O9 o! ?5 l5 e* F9 H% {4 A. M
B. 正确
7 r% R7 n/ W% Y      满分:2  分
2 b: Z. e/ t/ z4 Q) l. S* K9 J. D5 K; l! c( Q

* W$ v3 y' J  c1 a( C2 K27.  f可积的充要条件是f+和f-都可积.) O0 W) ~" p0 c8 E- {
A. 错误
3 i* ?6 \1 q' b) n* ~B. 正确2 k* i# \; z* [% G+ C& {7 V7 A% o
      满分:2  分  s/ u4 s& _6 @/ j

# _9 g- S/ X7 a2 ~& s
( |3 Q2 ~  T1 ?, l$ C0 z28.  增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
! _5 P# [; a# G+ cA. 错误
( j" O+ a; I6 @4 {% u! y% C) HB. 正确6 J$ H8 v5 k4 T5 e
      满分:2  分
0 O9 [* c( ]! ]' c2 e
+ @5 \8 u& D! J1 \5 j( E$ Q# [2 j) F, a/ ?
29.  测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积.
1 Y8 b7 o" {$ j* l! N- H, AA. 错误
$ D0 n: J4 z: \B. 正确) V. F" N1 m8 U3 l1 N
      满分:2  分( ^/ {* s- z" l% A2 Z0 c) G3 w! K

; Z" w: H1 q  e
  D' Y6 a) H: x! [( l/ I* w30.  可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.8 n7 e; j0 X6 ]7 ?8 _7 D
A. 错误0 ^) C% f) ^) ^1 }
B. 正确" U. F0 h5 r2 c- _. b3 Q( `
      满分:2  分: ^7 e) ?) ^3 i7 z6 c; g0 r! {

+ _; C0 l" q, f2 W/ U
" ]& o* A! d# Y" n6 a+ _; x! X! ^, U' n31.  若f,g是增函数,则f+g,f-g,fg也是增函数。/ r1 Q4 L2 ^: I5 _
A. 错误
3 C, e6 F" [, k2 ~; }B. 正确- Q" ?- ]; q; f3 q( b
      满分:2  分  i, \( a! r4 h$ Y0 Z1 B
- H2 a+ v8 l7 e8 B, g5 I
6 U" i0 _! Z0 C% n& e) N
32.  利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
1 h8 B2 \: a+ C: xA. 错误
6 r8 ]- [& n( {+ ]4 dB. 正确
; ~& B' V* R# c; k. a) I      满分:2  分
1 d$ z( ]$ I6 H/ Y7 L: o, y0 Z; v- K9 G5 ?: y' U$ p
7 O8 n, x2 u/ G! `5 @
33.  若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。4 ~, Y# Y, M+ C" g7 f, t
A. 错误
  W$ t) A) m5 y7 g4 TB. 正确0 T, l- A; S2 d% N7 d* n
      满分:2  分5 p( k& _9 ^4 R( ]& T
% D, l: G1 K, V( Y9 ~
' a9 {. V9 Y* b. a/ q- x7 j. X9 ~
34.  若对任意有理数r,X(f=r)都可测,则f为可测函数.
' M1 k  r  v% |* q  `/ hA. 错误* x& G; c% o* u- G! }1 f$ j
B. 正确
. ^* _( ~& @: u8 a. V0 b& W      满分:2  分% A3 d3 J4 O/ k' K" B  S

& i) I1 S+ L2 f: v  @$ W2 t/ w3 g! h  [$ Y4 b
35.  f∈BV,则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
/ L- c: R" @+ b- VA. 错误
/ w. y- C. j  Z7 yB. 正确6 [% G* e  N  C4 C8 b# ]
      满分:2  分
' s1 O2 @$ U/ m: Q" G5 _2 d$ M, n1 J5 a0 \! x9 t( Z) D9 i8 L
) t+ A+ q3 p2 H3 O
36.  若f广义R可积且f不变号,则f L可积.8 Q" t6 I3 K4 S0 ~+ q
A. 错误
; g* s' ]! r9 K; z  P1 Q. i4 N' SB. 正确6 A: m0 T" d, W! f, c
      满分:2  分
; V9 r2 W9 ]' o4 g; I4 b
" o& l. `( ^- k2 R$ f. |. {$ g  E/ B7 g: B
37.  可数集的测度必为零,反之也成立.# ?2 Z6 n! a9 C% u4 Z- N* S7 t, J
A. 错误+ }. p$ _8 ?1 N( M0 z
B. 正确
8 ^+ R: E$ l, S0 z8 w; e      满分:2  分6 B& R1 _0 j; ^9 y) ]

- s# U# Z; s) u. R( G' {( |: e. J7 H
二、 单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
' J0 J6 ^% A: u9 P& ?1.  设g(x)是[0,1]上的有界变差函数,则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的5 J" \' ^& s$ i' h6 r
A. 连续函数, d, P% p+ U! G+ w, p: x
B. 单调函数! k( j8 u) ~  z4 r6 k. r, a) P
C. 有界变差函数
$ E1 ]8 `+ L7 k! ?D. 绝对连续函数
- o  t8 B0 a! J      满分:2  分8 g+ ]; J7 ?. r. }( B
4 x: ^3 O4 c$ g+ v9 Z+ S4 z+ i& t& \! F
! Z: a, d' N7 {0 i3 n
2.  fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0( )- m( b6 c3 K/ h. X7 S7 N
A. 充分条件
, i: y- ]/ \4 c( `( bB. 必要条件
8 |2 U* z4 {) lC. 充要条件
& C0 W0 Q) k2 rD. 非充分非必要条件
; O  I' h0 |: e      满分:2  分
: ~2 e7 T5 Z' B2 R- @2 \* i( a
! j9 Q( Q7 X5 S! l! O) `" a. l7 {0 v
3.  下列关系式中不成立的是( )1 o7 x0 ^! r  l* e5 j" ^
A. f(∪Ai)=∪f(Ai), T* L' L( G, M6 o8 O
B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
, C6 |. O% G! c( @C. (A∩B)0=A0∩B0
3 ?/ ?* u, L/ R+ ~0 g/ @D. (∪Ai)c=∩(Aic)5 P5 V( r9 g4 F4 ?
      满分:2  分
& l3 y7 U* U; ?" z8 h; _6 }& F6 d2 D  ]$ _& U- D0 _2 b) x  Y
3 n1 X2 S2 g& Q, C
4.  有限个可数集的乘积集是( )
" o* ^5 p1 C6 w9 G) |A. 有限集/ G9 H( a* D3 S2 B; U4 x( ]
B. 可数集1 m' D8 V) G: }" ^& A
C. 有连续统势的集
* c6 H" ?5 y5 b7 y4 wD. 基数为2^c的集# m  b- r5 i' ?' {3 h' b
      满分:2  分0 A& R' ?8 t/ [

- ^; \& F' p) ]) `; e; b( Q: g6 g# U2 E, s6 U
5.  开集减去闭集其差集是( )* ^7 L, k" ]& _; ]
A. 闭集6 R! X  d5 L% G5 k/ ?: Z
B. 开集
" \: n) A0 M1 i9 W$ nC. 非开非闭集
7 k: C9 g9 ^: R0 r. P6 v9 \D. 既开既闭集* |. E1 C) v$ y0 L# R/ x& Y
      满分:2  分: L; m9 q7 W$ S) N
9 V! O7 \' K% R1 t# C) z# r9 E. ?5 x" H3 ~

* j/ z3 a8 g' `/ Q) C三、 多选题 (共 8 道试题,共 16 分)1 W; b9 _7 l7 e& @+ v3 E
1.  若f∈BV[a,b],则( )* x! I. A+ e* [0 I5 Q/ p6 a8 n
A. f为有界函数
) j5 Q( w# c9 J4 n( @. S1 \B. Vax(f)为增函数& |0 ^( m7 q+ P# C! u5 p& N! {4 M
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f); @* [7 t; _) h$ T# P
D. f至多有可数个第一类间断点
7 o4 a3 s9 p$ o; U3 [, Z+ ^      满分:2  分
5 Y0 U4 D2 j/ L  ^/ U. n6 J0 t/ ?
+ B; D1 \3 a) }  _4 V3 W, i/ s2 P, K3 ~$ d+ Q* t- y
2.  A,B是两个集合,则下列正确的是( )
1 r3 E- N, d- W6 A6 zA. f^-1(f(A))=A
' k3 {% z+ I. wB. f^-1(f(A))包含A
2 n% [+ M5 w0 g8 {C. f(f^-1(A))=A
7 l8 l4 l) I" N& LD. f(A\B)包含f(A)\f(B)( m# _2 O5 k+ O" p: g& Z
      满分:2  分7 Q1 K2 X9 @$ m3 w- b/ d

$ V' _5 `% R* ?4 z. Z! y  Z3 V; ?
3.  若f不可测,g可测,则下列正确的是( )3 n2 ^9 l& N2 F) n
A. f+g不可测
) B  w% I1 W8 [B. fg不可测  b9 q2 [: m4 ]7 K1 s  y
C. g^2可测
9 S. _$ s+ B  i7 ]D. |g|可测- `& m& t1 j& q* k$ i
      满分:2  分; S9 E5 s  p0 p8 t' e* ?: Q
( e5 N! x. {' `# Q+ k# B
2 ]# I4 M/ g& s! t! p( j8 M
4.  若f(x)为Lebesgue可积函数,则( )
# {* b( e9 S9 D/ U+ x  K; ~A. f可测
& f( h7 v! x( z" E, IB. |f|可积) H3 @$ E6 P9 m; u/ i0 P; |1 z# _
C. f^2可积
0 @# ^: F, C( R3 b) M$ OD. |f|<∞.a.e.
# I9 h& A1 g! G      满分:2  分: c5 n' m" D, a" r0 d3 k
$ d- v# y: Q$ V- D
1 R* t; u! P3 A' I* T" y5 f
5.  设f为[a,b]上增函数,则f为( )
1 [( Y' ^' f& t' i9 z5 GA. 几乎处处可微1 P' G0 [* D9 x7 x$ n8 o
B. L可积
- k" ]4 `& x+ Z# W7 q) d" {, fC. f'可积. [( i2 k* q# _# i" }
D. 区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
3 U% B* Q' i6 q: k      满分:2  分
$ E8 l) R) d3 O: W% r- v& f3 c" l) y( f* g
: q8 q; m0 w& F0 R  X; y
6.  在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( )
; U6 e2 R0 ^: i6 sA. f在R上处处不连续
0 S- w& `7 X% D2 L( t) }& P0 UB. f在R上为可测函数9 n+ [' U6 m4 }  A
C. f几乎处处连续& j4 r3 j1 R0 x# S4 _5 _# b5 p) k$ n
D. f不是可测函数
% x4 M4 ^( R9 ?8 s- ^      满分:2  分8 {4 G" C& r' I

$ a0 p+ o9 Q: c/ }) r. s: [& Y$ N( [& ~4 ]2 ]$ Z
7.  设f为[a,b]上减函数,则f为( )
$ ^5 O$ q+ v3 O! {7 `2 QA. 有界函数0 @1 L% u  ?8 Y
B. 可测函数5 M& ], c# W) A' [# P* m
C. 有界变差函数
* h* N4 @% K8 r0 d3 @D. 绝对连续函数
1 k% u! w/ m' Y! h) f      满分:2  分9 i" j7 {$ s* u! V2 a, `$ C% {

1 K: [. N9 P4 J& w/ }
2 G5 B) ^* o( T- h5 L8.  设E为R^n中的一个不可测集,则其特征函数是# d( x* j9 n0 V' m% B$ c# {) A
A. 是L可测函数
2 a6 h$ M# e: DB. 不是L可测函数
: G, M; n/ B& J6 u4 I* D3 PC. 有界函数2 ]( s- o0 E# r( C
D. 连续函数
0 i2 Q/ i( K5 ~" k0 o      满分:2  分
1 E7 h, K: u8 p" ~9 S% c, u
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发表于 2017-4-22 11:46:43 | 显示全部楼层
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