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福师《实变函数》在线作业二
0 A+ T" X' d2 c, [! b试卷总分:100 得分:0
2 R! j6 a* @5 v, b一、 判断题 (共 37 道试题,共 74 分)0 { F/ c+ E2 Y- K: A5 a- T& T K( ^
1. 可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.# ]: ^" D' Q7 g: x! \
A. 错误
, Z; T$ v' `# t& m7 L9 {* DB. 正确6 a q# Y9 }, G- T% [& V# G
满分：2 分
( e8 A" E& y6 ~. T# K& Q% w
7 l* M6 q8 X. `, a2 {
g# j( ^3 w' v2 a" i8 L3 }2. L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
7 |5 r8 D, F1 T& H7 m4 e- N, VA. 错误
, b+ p. D' `5 ?B. 正确
7 {6 f; |* {" J+ m 满分：2 分9 D$ a6 v- v% `
8 d, j; I+ o" s7 g2 L+ g% K% O$ ]
6 l( H- x; I! ?. ]; N: S3 p3. 利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。/ q1 \8 i" { o1 `+ P$ l" \( H
A. 错误
& C1 d5 Y7 f0 @+ B3 g2 BB. 正确# y j' ^) u/ j4 A+ w( K9 i v Q
满分：2 分1 W* h, ]6 U6 ?! k% M7 b" W7 r
, }( C3 ~* f3 F. @& c+ ?7 s8 z6 P
4 ~9 @4 l# i* e& {, l
4. f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
% m$ w) O6 b0 U' G, mA. 错误) K. S/ ^3 Q6 }5 S' O" m: q' P/ J
B. 正确 F! q0 T. _* d' g( G2 |* o2 t
满分：2 分
$ K; U& P" ~2 I8 c
, j, |/ n$ w" o1 z! T3 R' i) `: @
& l0 Z( J1 T* ~) n/ w7 D2 A' E- B5. 函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
: X+ k; |* o! s1 r2 ?7 nA. 错误
6 @7 _" p1 y5 B: O- IB. 正确
0 J9 h* C z. ] 满分：2 分
2 @; U( ]) e. A' L
8 B, r, d% ?! a1 b4 f' P
6 Q8 g7 G% O0 E6 ?! L( j$ w6. 若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
5 Z' [6 L1 o5 r! D# _+ C, {4 oA. 错误: }8 h+ {; \; H( H
B. 正确) A9 a! `9 u! m" J
满分：2 分
: m, h( `, ~6 G* Y+ T9 [1 y# g J; Y
1 t/ @0 R9 X. b7 Q0 t1 j
7. 对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
9 T& T1 d; s. j. y) h4 m3 xA. 错误7 _2 J5 T* s9 n" W2 f6 S
B. 正确
3 z6 t0 t3 I9 t8 i 满分：2 分
; m# e% j7 {. ]
F) u7 ]6 r" G2 n2 H+ }
9 q% [# y3 _% h! Z% |8. 增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
9 U8 z- K6 _3 O/ T' _A. 错误 z9 U, w/ b4 u3 A
B. 正确
" u" h H. V. o# k- W, ~" Y 满分：2 分. s& r9 d2 z" l# y( e
+ b" N5 s: A5 Z; e! r
# w2 N, h+ v, _8 @
9. 若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.6 o5 j3 s* R3 i3 n4 F Y1 {5 e
A. 错误( w/ ?" W f. Q- n- {9 O& g
B. 正确. S+ G' e) d( R6 I
满分：2 分, `- J |0 Y5 v% O9 b. V# _
" _" }# P2 u* K. N) l; P) f0 o
6 L! s2 k# j& |10. f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
' Q. `; J7 K4 D- G" kA. 错误
4 x" n% `$ \5 Z, Q5 N0 V% RB. 正确
. H, _' }4 f7 y* u 满分：2 分5 W- g. q0 c. ?: x/ { ~+ s7 n7 @, J
8 z" A' f: w; G: D$ D5 }
3 m7 Z% N& E/ f11. f可积的充要条件:|f|可积。! q8 Q6 _6 H& R1 J/ z
A. 错误3 y4 A6 {0 [1 a" K- ^
B. 正确
; N( n# H2 ]$ z, [/ T0 Z 满分：2 分9 h/ f& Q' j. E/ D8 h4 h. e. |
0 d/ N: D1 j0 U5 l
* F4 R! i( S$ b% r s; x3 m) I1 H12. 函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
: h: C$ _$ g; \3 ^3 HA. 错误
% n/ i+ A8 r* a, Y4 MB. 正确
# O5 _% c$ P2 e4 ^. e 满分：2 分% F( d- c6 _, _0 [8 A' L) V9 h
8 I4 n7 T8 Q' Y! B) O2 u
, Q! E' e' e& c4 v; V# E+ l13. g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
; F7 G. ?- n0 AA. 错误
! Z1 ^) D0 T3 K& {$ {& W7 pB. 正确
' U5 j- _2 X; W" g 满分：2 分 o$ b5 h5 d- g
3 n; E$ z" h7 c2 T3 d" V! L- n, C
$ h4 l0 H& \) c% v5 ?! c0 i- O; E
14. 若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
8 V3 Z+ e" s& R# u6 N- B7 v1 n Q- j( JA. 错误
" Y( E- h& W: W. RB. 正确9 c3 @; h8 X" B0 g8 B4 ~
满分：2 分$ @' ~# @& Q% s d( j9 n
. X! M* ?$ x8 C5 |" U
; q3 J2 Y N3 r15. 设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
# B( p* U% a* d- [: sA. 错误
/ Q) x% H9 `! x, ]" s0 @' s. uB. 正确
- c; l/ P) D3 R4 V/ q) s j$ E 满分：2 分8 t" m2 n9 C+ i7 Y0 O
& L4 t% u) t p2 p6 a
! Q) d' L+ l% v4 a' l' v16. 若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。! [1 S% k0 e- X) U
A. 错误! H/ d% x1 i+ l* F2 T' I! i6 U
B. 正确: a0 y4 Z$ A5 v1 c
满分：2 分
1 P) [4 h5 Y2 B3 ^& V9 M
6 f0 q: B% h3 e3 c
( t! _$ d6 K! A3 k' Y17. f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
2 u, q& z& c, `4 w, TA. 错误
5 K) n6 K, s. h- IB. 正确1 X7 q$ e# P% N/ ~' r3 O9 }
满分：2 分
, {! |1 N, ~8 g f: x7 d5 f
- A9 o1 T; z( a/ R! P0 U0 e' \- E2 e2 W# ` u! e
18. 存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
# k' T( R( w: nA. 错误
/ w7 W2 y6 _; i0 l L5 FB. 正确
; _1 B |0 l. |* \# L4 T7 ^( x 满分：2 分
. G" R( F8 [$ T4 X/ W) k' J
+ a0 h' `: n" D# i' I9 f" x
! f2 x$ ~& T, U; p8 ~19. 闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空. O; J" \1 t1 t* _0 S; K6 {
A. 错误" c9 P5 H" k2 i6 z v
B. 正确
; z7 [+ C6 k: ~& e 满分：2 分
; n3 D2 U2 L$ ~- }7 f# S
% \9 h" P2 @. V
. k9 P. n7 B {/ G4 w" D20. 连续函数和单调函数都是有界变差函数.
# v2 M! ^- O3 v" c7 hA. 错误% c! P& [9 f1 ~5 q2 p b6 ~
B. 正确
- m) L' z$ \5 F; R0 Y& l% U' J, P, k 满分：2 分% {. R3 ~9 z- G& @
/ t* T( q1 v8 i, ?7 N
; R Q& L8 l6 F# j# x* x( U
21. 集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测: i! P1 K$ [2 X. a8 |
A. 错误
* W0 }7 O) `, P5 }2 e% {9 h8 xB. 正确6 _4 k9 a0 a5 [( z( }" u+ |$ k9 X
满分：2 分
" @: S! U2 i l1 w' I3 _
" w# U3 T4 `; m! U- q6 O" d L4 {% k% P; E6 K* \- Q o* `
22. 设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax& g$ b7 B+ Y6 z3 ]" f# K
A. 错误
6 Z2 Z8 H) v3 }: PB. 正确# w3 u2 f0 x u6 p
满分：2 分& V# D! [% _) R# `' E# x# j
9 w, X7 V/ x( ]4 k8 q8 n: | Q/ S1 F) g" J( z/ H M l# {4 }
23. 无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.9 T! W3 _- i. Z. x5 {% ~, v( c7 {
A. 错误, \/ ^$ B1 I4 i: w! G% P1 H8 V
B. 正确, K1 x( W9 Y$ i$ w( f
满分：2 分* s2 a7 s7 K1 F' P
( ?) g3 I* X# k
2 Q; \" w3 ^8 A4 t z+ H' \4 U- Y% c% \5 i0 _24. 设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.: }8 J! {9 g3 p; q) i+ R7 K2 U
A. 错误& s. V, J1 n* E3 K# i3 n- b: x/ a7 ~
B. 正确
4 X# r# \5 V+ R: R5 ~" y, ~) w 满分：2 分
7 X, {5 z% d6 Q3 T
0 D- B8 r: T- H: t7 A1 D: m! q
- p9 `3 [! G+ C. m25. L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。- T; ]3 O5 Q3 X: ~% ]8 c
A. 错误
( h, S* \* k, `9 BB. 正确' M8 s% P. m# r0 g
满分：2 分
4 E& j ?2 G- |. {. B5 g. I5 [ z" v8 u5 Z8 N) |
8 R' Y/ N/ ^5 r; A0 e+ M/ r. [
26. 可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集3 C) y* h3 n4 v% E2 }4 t+ [
A. 错误( Q0 K" b5 z' a7 E5 H" Q
B. 正确/ _( [# W% x5 D
满分：2 分, S) a/ ?+ W$ l7 Z6 D2 t
# {' D$ k6 j7 A6 X( M$ G/ e
" B+ V9 I* \5 W2 ?27. f可积的充要条件是f+和f-都可积.- f$ ? [, K# R" y1 j! B
A. 错误
- M+ |7 z, F) kB. 正确
/ k+ Y/ v; E) {! M% h* v9 H5 e3 f 满分：2 分6 s8 X+ B6 R7 r( N
8 W+ O0 ]; d" b0 G4 V
9 D5 R( N& ]9 l. U9 g6 N28. 若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
6 Y- h- {. C6 ?A. 错误: v6 o _0 X4 E [- k. b ?7 ]
B. 正确
0 V' D) d( N, D: O- k% O8 G) m n 满分：2 分3 U: x8 w- ^$ @3 V9 ^$ k: I9 X- L
7 i: Z) l2 Y) G0 l8 e
& S" ?) s& o/ v7 `29. 不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .1 V4 K6 S* c. y4 F
A. 错误1 {7 y& q' A% ^% ]
B. 正确1 Q8 ~+ m4 T, e T4 J
满分：2 分
- _- i2 n/ H9 P$ c. V3 C7 B/ e! A
) X" x; Y! j! o& H1 g
5 q( ~7 W* {+ p3 q( o% `' J$ k" @30. 若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].) A8 |9 Q! @$ N& C$ ~) ~
A. 错误
5 c+ V7 m% I2 {2 a, F. RB. 正确
' Q, p! e/ f! i% D- E 满分：2 分6 s1 z' [$ H, w& B) ^
3 G1 i$ C' X+ H: E+ l
$ L3 e# ~4 [8 o' a31. 若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
) G+ I" [+ q% f/ O; s8 DA. 错误1 G+ z# x) Z# U4 v
B. 正确
& N9 h! D0 B# e' v 满分：2 分
9 |/ |; w/ Z' H" u7 q# H9 `' d+ y) w: j2 [9 q, I C: C
7 _( M5 b: u+ \/ ~6 I) q
32. 若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
3 o& h- {# }8 H; j$ p7 aA. 错误
2 ]& t8 j, m2 E1 X# ?6 ]* h7 @B. 正确- ^* r& C( q9 M( I
满分：2 分2 K: x# i- u- P6 {9 _; l6 h
: I. o. l; J! ?6 |+ G0 z
- Z2 c, @7 Y. a+ O) s/ s; p9 ]1 Y
33. 函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
6 R' ]8 S: t# W e3 r! @ p: nA. 错误
( O$ z3 b5 _7 C+ \B. 正确
" @) u" ~/ d3 \8 ? 满分：2 分7 e3 u6 Q8 V5 N9 f" e! r; D1 u( {
# j6 h" m' Z! `" i! J! ^7 d! u6 S& r) I0 I0 ^
34. 积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.! E- F. d% ~+ v% f( D0 Q8 v
A. 错误( C: j; |4 n" z x( L" K9 a
B. 正确
: C& {# F1 z' E2 `+ d8 Z 满分：2 分9 n6 y/ N' `! D* p/ R4 h
^7 e' X' g3 S; w. Y* K
" }% x T9 ~4 E N5 P" I; W) l
35. 一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
1 r' c7 @2 z* j. d1 hA. 错误/ b/ W" L( a' N) ^+ q
B. 正确
* `! I* w h+ q7 P4 t 满分：2 分" I9 s% u$ I& k: M* n, P, G
. |2 r8 t2 j9 n
/ ~5 H! m" _% c& Z4 ?9 s36. 存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .( g& k! E) _ y. ~) R
A. 错误! a1 ]; z2 k) j y5 n& Y
B. 正确
% x$ M6 O) i t: ~* w( k 满分：2 分
7 s$ n; T- U- |8 u: f2 X( Y
* l# K2 } }5 F, C) ?
& `5 ~# I1 m e+ | J37. 若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
9 L8 Z, l6 U. x6 P+ U) f* {7 iA. 错误
* M( e' e9 k5 j9 i' D/ I5 J, xB. 正确9 @+ R3 y" T. m. c
满分：2 分( ]: p3 M. M* k
# p. f" {/ [+ [8 k9 V+ G
9 A4 ], ]6 {' x4 @( g+ m# c( w7 d' W- `
二、 单选题 (共 5 道试题,共 10 分)% w/ N+ q2 C6 i1 t% S: H& R
1. 有限个可数集的乘积集是（ ）
0 x) R* V: u1 ^! P' K4 ~A. 有限集$ u! z6 I/ j! B- o
B. 可数集6 O2 t/ f9 G+ n$ y
C. 有连续统势的集3 N8 w4 }3 z. U2 S9 U: s3 N$ z
D. 基数为2^c的集
' ~9 i) q( D7 k4 e7 s 满分：2 分
9 N8 r1 C" ]" d8 X5 p4 _
6 l2 q2 s4 l0 E& m$ b3 A
' c" j0 z9 P$ G3 h/ s! H2. fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）1 T! T/ L( n2 ?
A. 充分条件! c: n, }) _6 Z) _
B. 必要条件
$ b8 D, P. f) D) d. |! D0 {, g3 @8 AC. 充要条件
/ b% e/ R$ F4 x R6 F" p! lD. 非充分非必要条件
h' J. E9 Z+ k& ^5 }4 K Q 满分：2 分
5 ]7 a: H9 h. l3 B+ c) Z; e
! R. E7 ]8 t L% s/ J8 A, ^7 Q
& y) t- Z. S+ _* j3. 在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.4 {; f8 x T5 m, L+ D; p
A. mE=0
& x9 Z$ F7 R {1 ? \2 Z1 |B. 0<mE<+∞5 W1 P3 h6 G1 i. A: x; Y' [8 P# {
C. mE=+∞
9 L% L4 c/ E$ P+ b1 p$ Y: [D. 0<=mE<=+∞
) c9 n9 t9 G# q5 P 满分：2 分
! V( t0 i- k4 k8 }: ?
6 I Z# [2 i, p& s- o+ i* v6 |
0 I0 `3 E) u7 Y( K) d$ ^3 k2 X3 S4. 设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
5 ?& s" o+ x, }4 [2 YA. 连续函数; O( b& G% J7 g
B. 单调函数6 J6 u8 N- E% I# g; M
C. 有界变差函数
+ @" ~8 A0 L/ f! U: w- `# P3 \D. 绝对连续函数
- [7 o+ i( ~2 S5 m [1 z 满分：2 分; a/ r9 @7 B: \1 F+ x. [
3 ~+ ?0 r- {5 R0 T) ?1 ~1 q( W* o% _- U% U7 D2 `4 `+ j
5. 开集减去闭集其差集是（ ）8 Q% e2 f, C; n
A. 闭集
9 v' {; x" l- [ [8 e+ ]3 `6 ~9 zB. 开集- q. @7 ^. T7 m. j* V( G# R
C. 非开非闭集
; N: \1 }+ T [) @8 LD. 既开既闭集8 Z+ ?1 e. S2 g% o5 S
满分：2 分
/ u% Y; j- t4 ~: h. }( V# w7 v6 C/ Q9 N9 l+ Z
: i4 g4 W3 y3 z& s7 s9 v三、 多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
? P, n' N: d1. f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上" J$ N; z `2 ?, H: ^3 R& C
A. 有L积分值
0 ^$ U$ k7 w0 a a0 ^9 Y2 sB. 广义R可积
& G* m$ I: p" h! a5 ]C. L可积' `. S S/ F! {4 k
D. 积分具有绝对连续性
$ M/ [, @- d' j8 V 满分：2 分
2 ?1 {# I `( s5 k% { }
9 A; ^7 ^5 j" {9 r1 ~. z, m& s4 Y5 I
% Y5 j* m) ~" T7 t0 H) v, f2. 若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
% a+ q* i6 E0 t4 f, ZA. m(A)<m(B)
" a+ I9 j" R; ^" C5 n' k/ x7 b5 b& J+ O: DB. m(A)<=m(B)
8 u6 O: C# J$ D% u& OC. m(B\A)=m(A)
$ R# b' i; x$ J, ^! w2 b8 M/ }D. m(B)=m(A)+m(B\A)' S. R9 @. U3 ~
满分：2 分" E0 q: o$ E, Y( k1 s7 H8 A
5 q; |8 e; E1 n7 |' d1 w
8 g/ f* O& y/ ?7 Q& n, q3. 设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）+ K d6 d4 [+ p; Y+ v
A. fn测度收敛于|f|
! }' c+ h8 F$ P+ \+ k. r$ k1 N, G" HB. afn+bgn测度收敛于af+bg
/ H7 l+ l6 P. ^- n9 d( @5 XC. (fn)^2测度收敛于f^2/ @. f& L0 \$ ^' j
D. fngn测度收敛于fg
" x8 M/ I" I) V! E u$ W- h! B7 [7 |) y/ y 满分：2 分% X: \8 p- H3 i" V U, N
* R) j9 }, z5 D( x
. U- O& l. a- }0 ^4. 若f,g是有界变差函数，则（ ）+ ~% {, | j' j4 L* z) J' S1 y
A. f+g有界变差函数
/ v( w* N0 q5 `8 I/ v Z8 l6 @& AB. fg有界变差函数# t) ^* |: u8 C F
C. f/g有界变差函数2 v |3 G- V0 x Q3 c% t8 I& c7 P! g
D. max(f,g)有界变差函数, o6 w5 Y6 Q1 r3 [1 f# n6 P
满分：2 分8 F' V/ j: L. e0 _, h" Q
; q/ l5 ~( B5 j" U0 g
; C8 f/ x' k' }0 \5 r& M5. 若f∈BV[a,b]，则（ ）: I& d" ?9 \/ V% b4 _
A. f为有界函数
0 N0 ]3 Q; r8 s! | ^# [B. Vax(f)为增函数0 P d% B3 v: O" s% v* _
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
3 c* ?0 t* L; F( m: S( g4 B' l) bD. f至多有可数个第一类间断点. y+ u( V" Z3 [3 }
满分：2 分, u5 B1 D2 B1 k, `3 Y0 j
m2 k4 |% b5 [5 ]
0 B4 p! N/ l) K7 N( S6. A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）3 Q; Y% \6 C' u; n
A. f^-1(f（A）)=A
" H9 L' S h7 R' WB. f^-1(f（A）)包含A/ k+ N# y3 H, Q" `( K% r
C. f(f^-1（A）)=A
- j* p" v! V8 Z4 i4 s) s2 pD. f(A\B)包含f(A)\f(B)
# ?$ k6 \* g" }- E 满分：2 分8 `8 Z6 ~: U; F5 {
) I. L) N' C& t4 g1 t6 ]9 r4 y' N" @" L, E, y1 \0 M" m
7. 设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
& p2 a% t3 V% U P4 FA. 有界函数6 }: D. m, _! i+ [' b; m
B. 可测函数- Q% B4 q5 G" Q9 \, j
C. 有界变差函数
1 s' Y/ g& \0 y. f! ?D. 绝对连续函数
% u% p- d0 V5 B2 S# k+ U 满分：2 分
8 @! i3 k: K. p+ [0 l# x& d9 F
& ]. J5 y* X' ^# h3 Z; ]7 t7 [) q* }: R0 a
8. 在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
. w# a) o1 J0 k8 X1 q4 M3 fA. f在R上处处不连续
. R7 S' F7 A3 m! MB. f在R上为可测函数
0 r5 v( i `/ e6 F7 mC. f几乎处处连续
9 {( [2 t" O1 B) L! \- y/ G3 LD. f不是可测函数1 W8 z4 R* ~2 l7 Q4 C' Q7 C0 ]
满分：2 分
* N% }5 g! T. M+ v$ J |
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IP卡
狗仔卡
发表于 2017-4-22 11:37:43
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
显身卡
发表于 2017-4-22 11:47:45
客服一
