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20年春福师《实变函数》在线作业一-1(资料参考)

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发表于 2020-6-10 02:02:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
谋学网
奥鹏】-[福建师范大学]福师《实变函数》在线作业一
, C7 _* F4 Z* E+ j5 }0 U试卷总分:100    得分:100
. t$ j, s- X) G( p# D2 D6 E% B第1,f∈BV,则f几乎处处可微,且f'∈L1[a,b].5 Z$ S, s) j4 `3 L$ N7 F$ Z
A、错误' _. Y* I" j% L9 A6 A- K5 T: F1 x/ @
B、正确
7 ?7 \3 k% S! i0 |& u+ h- _/ n正确资料:
" {7 t- w$ C! e/ E5 p" A1 W& u% O! X1 C( @& R4 g+ B
5 x! R$ B; Q/ v! U" g/ Z5 h! c
第2题,当f在[a,b]上R可积时也必L可积,而且两种积分值相等.
% |, m3 O/ N# |4 E, Q; w  CA、错误/ c" Y- I9 H/ l2 m$ M' d- }& X
B、正确5 U6 G4 h" d1 k) }
正确资料:1 r# W, u6 g) `" _$ f
7 G# g* u$ J- X' {3 B1 u

% E+ K1 Z0 g! w$ W! N第3题,若f,g是增函数,则f+g,f-g,fg也是增函数。0 k+ s8 F. Q8 @' s5 N& {7 F
A、错误
) _5 B* C) j  mB、正确3 r0 K8 L7 o# {+ g
正确资料:/ q5 J$ R* Q8 k: b/ `( W- P

7 s! J( N2 [$ O
; r3 F5 b. `/ i9 C# ~) a第4题,若f∈AC,则f是连续的有界变差函数,即f∈C∩BV.
5 c! }- O7 a; [/ AA、错误+ h% k& P  v* X
B、正确: U1 z: a: c, v% A7 G, m1 t$ x/ m
正确资料:
. q9 O0 i; m( j0 k% O
! \" g5 W: `$ u. q% M, I& S% F! z4 A- d) b; A7 i
第5题,若f有界且m(X)∞,则f可测。
0 M, Y: t/ u9 [0 Z+ q& PA、错误
( h" {) W5 P, V. E6 c0 y& U8 pB、正确
- A) d8 e  @) D2 e& ~8 Z7 m正确资料:
) W0 \' N& d7 c! w$ l; V( B- P$ {- a* |* A7 _* K4 A1 B* z

% N  R  U" x& {& C2 U第6题,增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
% s2 k, R& U  x  l' {6 yA、错误  C1 \( k/ k4 L* B) d7 o
B、正确
3 c7 d9 M" g$ k5 T3 N正确资料:% A( _& i* w, M  k9 s

* m' H1 e) W! k
! w0 j+ m5 K5 m2 K$ p7 u第7题,若f,g∈BV,则f+g,f-g,fg均属于BV。
2 R: E: A) o3 P) J# i3 F( R, WA、错误0 m, E+ y; f2 n. w6 u6 {  Y
B、正确# P& q2 C9 q) C% v: \* W
正确资料:
8 \2 v" c0 P' H! C( V3 `
9 r8 s9 t/ K9 v+ ?% Y, u. K; @+ Z  @& i1 V
第8题,对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有绝对连续性.
, x7 s- Z5 L% a: ]. _( O4 L8 hA、错误
2 J' Y+ G! `: z7 f7 zB、正确
( K. t7 \5 `. f% O( W正确资料:9 ~5 W# f$ ^) P+ m8 v5 c& E1 e/ O
" L2 f4 j0 Z9 q% M# g# n
1 e/ S$ N8 X: I$ `' o1 g+ y1 E5 y( l! l
第9题,若f,g∈BV,则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。4 ^2 t, ?  s; |3 g1 x: P$ Z) A
A、错误0 N7 o, @% c- I8 E1 j& W; O
B、正确
! o# ^: _! z  h1 @( T% @正确资料:
  |$ U0 f& b& s* I9 L& }2 e# l& {7 l5 c  Y, z: p# T
9 L5 }0 j( J4 |& J5 d: m9 W
第10题,若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。/ D# r2 O" Z3 R2 a0 F
A、错误
- h% @0 n& r, k; G) w) u) Z$ a/ D" SB、正确
! c8 W/ Z7 k; I9 @, Y8 W正确资料:0 `+ r5 L- |+ L, D( W) u/ D

- S0 A/ M& a' n1 U" L- W  k$ |
" E- v) H$ x. R9 Y% T. U第11题,测度为零的集称为零测集.
4 T8 V( t: j0 T8 L7 bA、错误% D, V. i- \3 p( a8 E
B、正确
! P3 W# n  Q, h正确资料:. D6 s- _% E' T8 U& \# [
' W0 j; ]! b" ]& b: W7 D. S

! [- J  c7 |, ^5 P' S, }+ P第12题,存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdxf(b)-f(a) .
* z" N- g" }/ g' C9 s7 gA、错误+ G2 K4 x. ?4 O( O5 |" f* ~  \
B、正确. E; L# z$ x' ~7 Q
正确资料:2 l. F; {" C2 [! y3 v

* y5 s9 w2 W9 p4 A% u+ r% H, a+ y- }5 V4 z3 }* m
第13题,有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续." H: A: S- f+ a2 P$ p8 R. Q
A、错误1 Y- l; R/ H( ?  s  i
B、正确
/ v% \! D. ?8 ?" x% n正确资料:+ W. P, G  p0 T  W# j; {, I5 x

- c+ T2 C# E; ~( r6 U" X- R' J: n
) N( B2 R2 t$ I, F& V" W第14题,若f可测,则|f|可测,反之也成立.
, W& a# e) R( I) C2 E9 IA、错误, |* O; X: w- Q7 X8 ^
B、正确- l1 r9 b4 i2 E* S! F, @
正确资料:& I$ i" r! X) k% g- m3 O
) h8 b' k: |0 D* G& o% G6 {  ]; v6 j

& t4 h. ]# O$ @, Q3 ?: U8 L# m第15题,f可积的必要条件:f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。! Z9 @+ V3 O1 t: C
A、错误
/ w1 W2 V7 O/ \* C+ i/ G+ }1 M+ RB、正确
" r/ \8 X6 b. {2 s* g( I) s正确资料:
' e6 W* Q0 |% c+ k, ]  x2 a
5 `# e; g& g2 {/ Y5 ^$ E. v: w$ r" r2 z, z. K
第16题,若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f).$ q" a' w& w0 {) [
A、错误
" B! H$ u- U$ s  \- l5 h' rB、正确/ ~8 U. \2 k% @* q
正确资料:& z7 w. b9 ?  _. q" f
; ]+ R9 m* q$ I7 q7 d) I

; c& B8 X; ?1 j4 P第17题,函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
! i/ b$ p3 z3 y( O" Y3 f# ~A、错误9 O) }0 x) W3 q0 D$ J: \# j" r9 E5 K2 M; f
B、正确3 v$ F) j7 e3 w* s' a! K
正确资料:
) P& ]. t! H+ ~4 J- C
) y( `$ {* Y9 i3 m  r, ]. N$ q% q/ k- Y! Q: H& G' r: j- s2 `: [2 S
第18题,有界可测集的测度为有限数,无界可测集的测度为+∞0 A  a! S" E" e. ^) b; B
A、错误
. M) [, d( H3 dB、正确
8 J1 c9 o2 l3 U: I' A; H正确资料:
4 C0 ]0 o+ e$ z* e4 C% {9 O  ?* l. l/ x+ s7 H

' M7 e, B6 |% l. v0 [9 ]- T第19题,当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时,则lim_{x-+∞}f(x)=0.+ T3 }% m) u! r4 {" n! M
A、错误% p6 [- V* H& ^
B、正确
5 u) |7 I! h& ?& B, t: N* N正确资料:
0 P1 a9 u: u) d8 V/ A" K; x# O0 Z5 Z; ^6 E2 X& e# N
# [5 J1 d4 Z, _( B. T4 Z( k. O$ P$ K; v
第20题,若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.1 E- L  j2 m9 {0 l' X1 L8 V
A、错误* m7 G' E0 B$ K2 Q3 o: j+ W$ ]
B、正确* v7 }& R' \( o/ X! i
正确资料:' z4 D2 b, K( _' Z0 G9 y3 P9 L

& d& R& F5 U. r* [7 x" D7 D
. P* s: p+ e+ ]! R7 G* D1 u第21题,利用有界变差函数可表示为两个增函数之差,可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数:几乎处处可微而且导函数可积。
! j7 K& \, }8 Z7 ]: ], ^( P! iA、错误8 p3 ^" W6 T5 q: P
B、正确& z: J) _0 z5 g2 t
正确资料:0 w# X" [7 s% b, B, {
- f4 T: U" r! Y8 K% x6 z. r

" N! ?1 h  w; a! z第22题,三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
) v* B  o, p! x0 G& s' rA、错误
" M0 ~* T: E& W5 EB、正确
* _3 L( C# x' n- r正确资料:- W/ r  \- H) T* g4 _
# Z( b  w/ F1 M' Z
/ e) p9 O$ ~- N* N. D* F/ o  K
第23题,f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|=n)]之和收敛.
. }$ Z0 P* v6 o; JA、错误' A; L- I0 l) _+ t. v& E1 N
B、正确
/ j- i4 g7 Z/ f# _正确资料:: q/ C4 C2 G/ d' o! L! F% ^

2 o9 z, I, e2 N. P( m3 C
$ M8 [' Q' U# z1 ?, M8 T第24题,若f广义R可积且f不变号,则f L可积.
1 x1 S& A$ Q/ l7 r2 P( MA、错误8 f+ R; `7 P" v$ ~5 W: k. b; R
B、正确
5 R0 T0 _3 D( Z7 X5 T正确资料:  ^8 t: Q! t( {: R

0 R2 T/ \" |7 W1 G/ H! P5 c; d6 g2 O, f
第25题,无论Riemann积分还是Lebesgue积分,只要|f|可积,则f必可积.# A9 v5 y7 w1 [& m' {+ A- z& ^
A、错误9 H; v9 O9 S) c
B、正确2 x; O8 H# C0 r5 i8 t: f
正确资料:! X$ M; r. ~3 `

8 ?* K( Z$ B" @8 w" v- ]! [
; k. q# W0 Y' [" B) d$ Z7 |5 H% |) L第26题,g的连续点是L点,但L点未必是连续点.
: D! s8 z/ t6 j; U3 `8 w5 F6 R$ G7 m) ^6 }A、错误
  u! j- [- ]' j* VB、正确! U0 V* O% t4 i
正确资料:6 |! D% a( l8 u% P+ o! E8 r
' @9 g; X" w& ?

3 ]8 K* G" `% [( e第27题,连续函数和单调函数都是有界变差函数.
1 g; A- n( R  L) PA、错误# t9 U" a& |2 I1 s9 P
B、正确
9 K, P6 o$ G8 ~# N/ Y+ P) o0 \正确资料:
' {( ^# c: F" I  |5 F2 J; ?- ~9 M) [) L1 @% I# m7 p4 }
' U- N+ c. s# q( V) C$ l! E
第28题,绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
1 _% W8 ~. Q  G1 RA、错误
6 A% p/ f0 |3 y4 ~4 x1 CB、正确7 e3 V* B- @. n; R7 \$ I: K
正确资料:4 ]5 f+ j# t8 V9 b7 s
6 B: @+ I  V- ?

6 w  F" `: G3 ]# X第29题,f为[a,b]上减函数,则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
) ~  g3 W) f- qA、错误
9 h7 T5 _$ m( M2 WB、正确
3 T" C6 V2 P4 U正确资料:
# E( x, s9 D) J6 D3 d1 A
" O0 J. H3 L+ N' X1 [4 I& m! C6 P; g- t5 K
第30题,设f:R-R可测,f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
+ @0 G% Z" }+ l- @& uA、错误" ~; W/ J' i; `5 e
B、正确. `4 u  C. z3 _- e- f
正确资料:
+ E0 \* i3 y- h2 E( s! c7 P4 P! J/ T& V1 N! F9 g# e

) u( B* }/ X# ^: @3 X第31题,R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.8 y3 i' W+ q/ q+ E/ V! [
A、错误& [1 z: A. \, I  ?( c  }
B、正确
4 A: `- u+ c6 R0 }正确资料:0 c# ?' \  C8 w4 i1 y
- v1 y) l2 p: j3 o3 U% e
6 p( Q8 i( }: y  o" ^
第32题,若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f.
# {- o2 `  L, zA、错误
* D; p. h; h# ^' V' GB、正确) ]  d* x& F, W/ e" [1 \
正确资料:2 [$ l% B$ z! W. ~
! y0 i. Z% H+ ]# x  Q$ o/ C, K
. E0 r0 ^( r% L
第33题,可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集,但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
' c0 e, W( E/ rA、错误
7 l, g' O- G$ i* D) ?/ aB、正确
; x" ^) F% c7 t& ~8 e3 H2 o5 ?: q正确资料:3 U. u  O7 r& d3 F6 F6 H6 y
1 R+ \, T2 K# w2 j: P8 u
  S: c9 n% J. W; E
第34题,函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。, N; `% F  V$ y; a, @" O# w
A、错误
) F0 M7 T* ?/ O! S4 D& S; B* wB、正确4 n- g* O2 Y* p6 [0 t% J: m) Q
正确资料:
$ V/ Z/ `) v- F
; `* r- A/ v- c  G! ?% W* B* ~& N$ v# w
第35题,有限覆盖定理的内容是:若U是R^n中紧集F的开覆盖,则可以从U中取出有限子覆盖.7 e3 y* s3 L; }; @' n4 q6 v
A、错误
4 Y8 Q; {0 R9 kB、正确+ j. [# Z2 T( k) f7 f5 L
正确资料:
) p5 E* {' T; P7 T# x2 O* ]6 l/ ]  v& j+ {$ p6 \5 D7 E

4 L+ o: D, R) L& j第36题,函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.! d' O8 O  W) e5 F& H; j5 ~, l5 ~. q; O
A、错误2 p8 N) x  S7 e, T) u. @2 @
B、正确
. _* h% ]9 _7 E+ X# d% s正确资料:: y2 Y0 `" y" Z9 g  ^; S2 V& D

% E6 ]9 Q3 h! m9 C
" J: b) D8 F% l* ~第37题,f,g∈M(X),则fg∈M(X).& u% z) M' [$ b  {5 N
A、错误
, I# Z/ y- @: r4 W6 e% iB、正确% {# i% [2 ~, U
正确资料:; b* v! Q! {) e! I" b
3 c8 o  [$ M/ [  y, N- j
4 \4 \- D( `( `* X. \+ t  [
第38题,fn∈L(E),则fn-0,a.e.是∫Efndx-0( )
; [2 l$ U/ D* l; V& yA、充分条件4 S7 \- {5 r+ F* f. Q: Y+ W
B、必要条件
; G- x" b# B6 {8 x8 V- W& S! KC、充要条件- y  T! |/ n6 ?& m! N$ C% Z% c
D、非充分非必要条件0 B0 H- ]4 I- C2 _7 n
正确资料:
# g( {- l* o/ j& j
( q3 L2 p- a, ^  w2 p: N* Q5 ~- e2 P8 [
第39题,开集减去闭集其差集是( )$ K- |" n7 ~, |4 w! f7 q/ D  L
A、闭集
7 k& r% v; ?, i! i' @, cB、开集7 J) _1 {3 O5 ]6 ]$ w
C、非开非闭集' b5 {* O( M7 q7 q
D、既开既闭集* c- Y8 E' v0 q) ]
正确资料:
2 o5 ^, o- n$ B0 }9 e
% c& S& _- a# @( W/ B4 i+ N0 k& _$ o0 X0 m. U
第40题,下列关系式中不成立的是( )
6 z7 z: y) c+ I" j4 {1 O, n# zA、f(∪Ai)=∪f(Ai)/ D3 S6 O* l: J; Z  Y, `
B、f∩(Ai)=f(∩Ai)! G& m  E. B% J  V% |
C、(A∩B)0=A0∩B0
9 ~, F7 R, h3 r8 UD、(∪Ai)c=∩(Aic)
; Z/ t( m% E) }) K/ M" z正确资料:
7 k9 s& B2 t' C, D/ R2 ^& M: O+ [6 g
" z* W: W1 |$ n5 Y4 j; Y* e& I
. d, @6 Z" R% }8 F# w第41题,fn-f,a.e.,则2 }* S: I/ B* L7 z
A、fn依测度收敛于f
$ P) ^- R  l- w: _B、fn几乎一致收敛于f& P. N) W% r% j1 o. k9 ]0 O
C、fn一致收敛于f4 K9 ~" n2 K$ {8 j
D、|fn|-|f|,a.e.
) `# H9 V' u3 \" d* x正确资料:
9 T% `' m( w9 }$ L9 \8 H
; m: x. c' M$ J+ o  K& H; i: u' m2 l( K$ V! a3 S. o; {
第42题,设g(x)是[0,1]上的有界变差函数,则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
4 f8 d( T/ d- A$ B5 s7 pA、连续函数
9 k/ ^; Y+ `& v) _8 fB、单调函数
/ b* d- j- W; m  c: @* Q. kC、有界变差函数
. J) p6 j$ c' p2 ~0 @D、绝对连续函数
) i, O, c2 A+ P8 M6 S2 i1 N" i正确资料:
# j. Y+ a2 ^4 O& M7 y& {0 \
# T( I# z2 o* B+ ^  t9 g# J3 [0 e  F0 J* f; [5 y4 T/ \
第43题,若f∈AC[a,b],则( )% }# D- A7 l+ B
A、f∈C[a,b]& h' z& r8 v, H# m
B、f∈BV[a,b]6 f0 R. r% Z, ]4 W/ k/ ]
C、f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt
$ i1 w$ a6 \6 @* |( ID、f∈Lip[a,b]. E6 o0 Q; p, h
正确资料:. d7 O, l3 m9 l

4 e! p! g' ~* M, i
- d! B7 ]6 i6 D* C& r第44题,若f∈BV[a,b],则( ), Q' [- u8 w% s, _3 M5 P( A
A、f为有界函数/ M( z5 ?# ^  p  t* g# w  m
B、Vax(f)为增函数1 f. G" J8 x+ w3 K. c! r
C、对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)! [( p: e# O3 s) u8 c: I( y5 [
D、f至多有可数个第一类间断点3 i9 S5 i7 E7 h0 G" A! U
正确资料:
% I" W/ t0 B" D  d2 G' \5 ~
% u% d: K( @! {% l9 \
5 A0 m( D7 {. W' o$ `: e第45题,f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上/ e' ]% a. M9 R; }7 v8 o8 F, }
A、有L积分值
9 e* N. v7 Q8 ?2 ]5 [B、广义R可积
' `  O% z5 j9 D  c  c$ ?+ B  X. uC、L可积! u* ?& R: A! Y; a
D、积分具有绝对连续性& V* u) c+ m2 G! `$ f1 g6 [- }
正确资料:
1 m; o  k$ c1 k% v- f6 ^% e! v, ]5 w* I6 T
7 ]$ J) R- I0 N8 ?3 o- |7 V/ \
第46题,若f,g是有界变差函数,则( )' E" @2 L, n" C, }4 f# s* @
A、f+g有界变差函数
1 z$ m* c/ M; ?( ~B、fg有界变差函数+ i) a7 v9 \( `
C、f/g有界变差函数4 w, X# ]; y# y- j4 L& L
D、max(f,g)有界变差函数
' a( R" l+ w/ D% }$ b正确资料:
( ~! `7 L$ g& Y8 p8 n: _( x% F/ }/ U' J( [
& i! {9 v1 _. r9 b4 Z- N
第47题,f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上- C( u& h+ S* H$ ?
A、广义R可积5 E; i  i5 ?' S
B、不是广义R可积! {7 h3 Q) [4 w! g
C、L可积% f: h5 h: S3 n( P* V* F
D、不是L可积
" F3 g) O. x2 C: Q) n正确资料:
/ ^4 X" Q& i5 r: j  ~" v6 P" p5 M2 F& s! F% N3 d
) U0 J, M; O- _1 |# B9 U1 ]7 N
第48题,若0=g=f且f可积,则( )
$ x/ B+ g( s! O8 }3 K$ q& g0 e: `A、g可积' S" j6 k0 z  e& U/ W1 z; n9 f
B、g可测+ W9 o1 l" f3 C% [
C、g∞,a.e.3 \: o1 I7 R, Z* ~
D、当g可测时g必可积, s5 h" D6 u4 E* v3 D2 U: d
正确资料:$ u" `; F9 j7 M; v& }
! k, c, P3 r; Z+ R* f& F, ?: c
% |$ R6 B/ J5 t* V7 Q
第49题,设E1,E2是R^n中测度有限的可测集,则
$ k/ l# H7 y0 UA、m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE21 s* _& L3 o9 Y# D9 x
B、若E1包含于E2,mE1=mE2
1 z/ V. h2 N/ E- ~4 d( t9 \C、若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
6 I1 h8 W2 C. M正确资料:' w* N- c* z4 p# d4 ^
7 r. F7 M/ t& b. \6 j  F* p/ g. f
1 W9 n) b) W+ ]" I: x/ r( v3 F
第50题,若f(x)为Lebesgue可积函数,则( )  y8 S9 G  D$ R) ^
A、f可测
, j, c' n6 t# zB、|f|可积; z8 Z, Q0 `) H
C、f^2可积+ N$ c7 M4 V  S4 V% m6 t- i4 q
D、|f|∞.a.e.
& U% q1 }6 [! Z7 }' C正确资料:' O0 |' H/ N2 W5 h7 w5 w8 j

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