22春西南大学[1245]《几何学》课程作业资料

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1、设i,j,k是两两垂直的单位向量，则(? ? )
% ^, \0 G- a8 Y5 r; F' U( r. ?j
. ?k??
6 f, X4 R; B# w1 S+ u# I% X. ?0
4 p; R" \1 a, z9 x4 c. ?i
# `4 m8 Y9 A. o! i1 ^& @
" ~/ F4 v/ B9 ?9 n' x! {: I
3 R, ^; u3 n. X
/ P4 ~8 s- K9 B, S+ H- [3 q: e- d* H2、已知向量a=(1,1,2), b=(2,2,1),则(? ? )
8 `/ ~4 C! Y  b* n3 }2 X+ T. ?0
9 q1 z+ w1 V+ b6 g! _- w. ?6??
. ?1
. ?2

2 n& n# n8 ^( e" t* }
. [# w/ v" m$ _( h
( u$ d, p+ d; W5 h; t2 |& W5 V6 Y1 s3、已知向量a=(-1,2,1),b=(0,1,1),与a,b均垂直的向量是(? ? )
! e# w# v- Y; W8 C3 o. ?(3,2,1)
+ ], t+ {1 p/ [. ?(1,1,-1)??
. ?(1,2,3)
" b2 s$ O1 N1 d3 F0 Q% c& E. i. ?(-2,2,1)

$ A5 @) a6 U, W7 L" g. b. l6 |
. |' k! L8 C) e/ V* k
, D. ^1 }- m( j) n: I3 [* K4、点(2,1,0)到平面3x+4y+4=0的距离是(? ? )
. ?1
5 R# z4 i1 ~- x4 ~1 Q- y. ?3
. ?0
5 \; h) G9 C9 @$ ]1 O0 j+ m. ?2??

3 e4 R( c1 e, C$ S' ~  A8 D" ]& U

0 [% s/ p7 p. a0 L. f2 X( Q7 V! G/ n5、直线y=2x上的无穷远点的齐次坐标是(? ? ?)
. ?(2,0,0)
* x/ w$ n% q  L  Y7 K( j" D& y4 b. ?(1,2,0)
. b+ u% a7 x- F, q" n. ?(2,1,0)??
. ?(2,-1,0)


5 F1 |. z$ J$ x
# J: @. F* X$ ]; x6、已知共点四直线a,b,c,d的交比(ab,cd)=4,则（db,ca）=(? ? ?)
. ?2
. ?-3??
3 L' b& I' p9 L. q0 ~- ]  D) k: j& L& b4 j. ?1/4
; T0 m$ l' R# U' r' h1 E- {. K. ?3
0 |" E! b+ w! z
  y7 m% U; k0 ^
1 r, S" |2 V9 |, H( N: W
7、下列命题叙述正确的是( ? )
) {' u6 `* Q- H" N, `. ?单叶双曲面上同族的任意两直母线必相交
3 u* v' G% ]. \3 h& K: `. ?单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面??
  k- R8 R6 O6 D( U9 O; X' {+ I. ?双曲抛物面上异族的任意两直母线必异面
. ?双曲抛物面上同族的任意两直母线必相交


& {" ~, X7 v& Z, ~4 Y( k1 c
8、不属于仿射几何研究的对象是(? ? ?)
8 y& F; j* r3 |% e) _% a& _. ?平行性
. ?长度??
) V# o1 x2 Y2 K8 `! N, X( r4 d. ?单比
! G; q6 Q" f6 W# B. A: v. ?同素性
& t, `' w: F* I+ G% T2 A
8 e9 @) C8 {3 |& ?

, A. c4 c$ h$ t5 k1 V& T8 t9、已知3向量a=(1,1,0), b=(2,0,1), c=(1,1,1),则混合积(? ? )
. ?-2??
  L9 Q7 O, H4 Z; s4 V- o" f. ?1
. ?2
. ?-1
# _4 ?" n4 T. T8 c% @6 w8 }
# ?& j% O: a( S$ n, I4 S+ y) \
: A+ a& X, j# I* f, h
1 |) v- t6 j1 ?; @2 c10、下列曲线属于无心二次曲线的是( ?? )
9 K- Q) F; v" h9 w  P6 J. ?椭圆
2 l; H$ M7 @3 o' W. ?抛物线??
! T# U; k! ?& m5 T9 `& Y5 t7 Q+ D. ?圆
& h7 n5 s1 w" [8 k6 H. ?双曲线

# M' t4 O1 N/ v2 ]2 [' A9 P+ ]% M0 H
: q/ P, Q0 ?% D' z
5 m7 o  ]: T4 p, A11、点C是线段AB的中点，则单比(ABC)=(? ? ? )
. ?-1??
0 }! K' W9 {. u; d) V0 E. ?0
: I; r$ [$ k* J5 N1 p. ?1
0 t6 H2 Q% h0 `2 k3 `: a1 P, i. ?2


7 x/ I8 ~7 n  y
12、平面z+1=0截割单叶双曲面所得双曲线的实半轴长是(? ? )
. ?4??
. ?3
3 g, Q, z2 m4 H1 x, e$ w. ?5
. ?6

6 g6 {: ~/ [) T+ P0 R6 O7 ?
$ ]) ?: j: u1 E7 r. t0 D多项选择题
13、下列关于二次曲线性质叙述正确的是(? ? ? )
. ?无穷远点关于二次曲线的极线是二次曲线的直径
. ?二次曲线的中心的极线是无穷远直线??
. ?渐进线是直径，其共轭直径就是它本身??
+ O: g7 o) c9 `4 `0 o. ?彼此平分与对方平行弦的两直径是一对共轭直径??

- k$ _; e( t" S& [. _
7 Q9 V/ u! y1 j( P  Y1 w5 i
14、下列关于二次曲线奇异点的性质表述正确的是(? ? ? ?)
. ?二次曲线无奇异点
. ?二次曲线的奇异点可以只有一个??
. ?奇异点一定在二次曲线上??
. ?二次曲线的奇异点可以有无穷多个??
( ^$ G! X* p0 y/ P

资料来源：谋学网（www.mouxue.com）
. N. R2 m2 u1 a15、抛物线无共轭直径
. A.√??
% @6 ~8 Y1 y) S* e. B.×



16、射影几何里的不变量一定是欧氏几何里的不变量
3 W9 |: [1 ?  R" m2 y( H. A.√??
. B.×



, k% f" x& E+ {. m* {17、双叶双曲面是直纹面
. A.√
/ c9 Y) B+ V8 G$ @9 T: P% @. B.×??

6 ?, V, `1 t: a" b9 U+ H
+ B. J& [/ A# P) ~4 N6 @  Q
1 J5 w/ m- l3 R' [( a18、两向量的外积等于两向量为邻边的平行四边形面积
. A.√
. B.×??
, S7 \! Q5 g& S5 B0 Q) B


19、二次锥面是旋转曲面
8 [; Z& A# f. g. A.√
: O6 O$ W4 c2 P0 B5 T. [. B.×??


. s. E2 M7 w5 V8 P
20、射影平面上的两直线总相交
. A.√??
$ p& u* d& F; T. B.×



& E, ?8 k/ a, V; M21、射影变换把无穷远直线变成无穷远直线
/ c0 H) b1 ~! M, c, w: g; n8 o. A.√
. B.×??
/ E3 {6 w! V6 E) y1 R3 D
2 o# z# j6 z" D5 q
! U- y) M, d6 q, s  G
22、圆锥面是旋转曲面
1 a; B- a8 Y/ @, P! G. A.√??
6 J& G( P& p$ p. P. B.×
, a: |( Z8 b2 o3 x
- w" ?1 ?; t: R7 b. k
0 R6 E2 }0 q' s0 |. Q+ R& J* U
0 }( q! V8 o! j% b% V. P& [8 S23、任何一个三元一次方程总是表示空间一平面
. A.√??
. B.×
1 n$ t8 O. L2 Z: O( S' k3 i5 J


24、二次曲线的中心不是仿射不变图形
. A.√
. B.×??



25、平面既是柱面又是锥面
. A.√??
. B.×
4 E9 V% K# g* e7 |

* b/ Y( Z4 a$ z* \1 w
26、中心射影不能把椭圆变成抛物线
. A.√
. B.×??
5 _( o" c2 q8 o

1 J/ s5 n% n4 s& ^7 q
27、共面向量也是共线向量
; s6 I5 ]& e4 z6 ]2 ?8 p. A.√
$ N; h0 o  ^0 b% l8 M5 T, V. B.×??


& S: V$ v1 G3 j
9 N$ j' k2 p0 u3 n28、无穷远直线是仿射变换的不变图形
  R9 |: a" D+ e  D+ e1 Y9 u. A.√??
! s" ?& w* O/ E: g& ?. B.×



  H$ \( K" o/ R, ^/ v29、共线向量一定是共面向量
$ f0 G" w, X+ R+ i- O/ \3 X. A.√??
. B.×
& S2 x$ V  l- B4 M  p+ I% b* U

0 f0 P) o2 F4 D/ U7 J
; T3 K1 f- ^, j* `/ g/ _30、两向量的外积的模等于这两向量为邻边构成平行四边形的面积
. A.√
. B.×??
3 @3 T/ q# @# S# Y
& ^4 d- S" {* h, M8 R/ Z
主观题
7 q$ ]7 H" p) X$ U2 V# D! Q6 D. e6 c31、向量a=(1,1,0),b=(1,0,1)的夹角是_______
参考资料：

/ I6 x8 k5 j! T# v! C& v, D" J
/ d$ V, C" H$ l/ e, Y  s. `
5 X0 M) r  b. ]
32、设有两向量a,b，如果,,,那么_________
  ^2 ^$ h; b8 `/ n参考资料：
( W( E2 ]! |* I' `( M8 m; p/ D; e



7 s0 [  H7 `$ k9 F9 Z, t& H6 r* H33、两平行直线与间的距离是________
/ k& O& Q- s4 U" z9 x3 V参考资料：
& V$ p+ h: J) z3 {( U5 x

2 |4 `& N7 A1 q

34、渐近线是直径，其共轭直径是 _______
  S" S9 a4 [6 Z+ X( ~( C7 q参考资料：

( V& O% X" R+ ^# U5 z9 @

0 Z- }# l  a8 Y3 h
5 ?' B1 F, l! {$ k* O8 h  v# s35、通过原点与点(6,-3,2)且和平面4x-y+2z=0垂直的平面方程是________
参考资料：

3 t' U' \: Y" o% {* f


: B" H; _9 s- a  U/ v36、曲面与y-z=0的交线在xoy面上的射影曲线为_________
参考资料：




) r3 \( H! \* n% \37、点(1,1,1)到平面x+2y+3z+4=0的距离是__________
. ~& B; x# r/ N$ s% |. c参考资料：

( `. w* G$ }( W/ _" c" n3 }/ y3 z
& E, Q. _1 A) j

' F( [- Y5 g- T2 T) g4 D38、已知向量a=(1,0,2),b=(2,3,4),c=(0,1,2),则________
. {0 |2 j! Y2 _% _$ ~参考资料：
7 B1 o; _4 Y. M" t# B- r! b
7 q+ C$ g' O8 e. g" ~1 l4 o9 U' u5 A
. Q' f7 q! q; Y$ F( S

39、已知向量a=(1,0,-1),b=(2,3,0),c=(0,2,3),则有这3个向量张成的平行六面体的体积是________
2 w+ K$ J5 x2 e! F1 S3 U, n参考资料：
: a% B: H! s7 }6 n$ N
5 H& c+ F# p& S3 p* g9 W% y' O


40、已知向量a=(1,1,0),b=(2,03),则________
参考资料：


7 Z  J( c$ z8 a* a$ M$ r
7 J' b  O- G% a$ a. G; \& b7 x
41、直线与平面2x+y-z-3=0的交点坐标是___________
参考资料：

) M, r0 a9 W+ H2 e4 U

! b) k6 u6 q. K  I
; p# ~% Q3 R) y# L& f, e! J* W42、点(2,0,1)到平面3x+4y+5z=1的距离是_____
( v. ^1 r1 B$ d参考资料：

# R! Y$ Y5 r7 [
2 i( j  p: I' ~7 h  Y2 j
- b- G: g' p9 Y+ J; q
" T% m8 z/ x4 }. u43、已知3向量a=(1,0,2),b=(2,3,0),c=(0,1,2),则________
, o4 p( `4 D' M  ]0 y) {参考资料：
2 V5 A3 ~& f9 Z: X$ |, O3 e
/ n/ g# O2 s6 L( A* t& k' h
- {- v  ?7 S8 l- z  q0 ?) d
5 g: v, }/ r+ r) m/ o. `
44、自点P(2,1,0)引二次曲线两切线，切点分别是M,N，则直线PM的方程是____________.
, o9 I, }( M/ Y+ @( e参考资料：
8 x3 d' |) Y, ^! P,
$ O# Y: a5 [  l! P. [: ?
- X, H" A5 }7 t: j

. Z  ^3 H2 j+ Y3 k+ Q9 S45、共线四点A(3,1,-2),B(1,3,1),C(2,-2,-3),D(1,-5,-4）的交比(AB,CD)=_________
参考资料：
: x) Z# N5 U4 F



# i9 G6 K! H# r  I46、已知交比(AB,CD)=1/2，则(AC,BD)=________
, F$ U6 S* D# ~8 f4 n+ K+ N, ]参考资料：
! j5 o$ c5 }3 S1 b+ N9 j
2 M0 i1 W9 s2 z0 P
) Q8 k- [/ B2 Q# q. t8 f& h

47、点P(3,4,5）绕Oz轴旋转生成的圆的方程_____________
, T" w. @! P# U; v参考资料：

6 w! ?8 {7 h: l* O2 _
7 W1 N& N7 {9 G

2 G: G: F2 w1 R. h+ K' G& _48、已知四直线的方程a:2x-y+=0,b:3x+y-2=0,c:7x-y=0,d:5x-1=0的交比(ab,cd)=_________
参考资料：



; n' W% D- }; }; W. I! e
4 q, M( g& L5 x7 Y+ N9 H49、已知射影对应使参数为0,1，-3分别对应0,2,6，该射影对应参数表示式__________
参考资料：

" S" E4 z! ?* S* r- H' q) u
" U& g1 @' s, V' f/ P0 ~

* j6 R& s: p" a, J5 X, b# t50、设四直线a,b,c,d共点，单比(abc)=2, (abd)=-1, 则交比(ad,cb)=_________
参考资料：
1 S# O/ [% i' b( g! H0 f
- ^/ e0 c& [; x
9 Q: [# G# s) s
0 r; ?# [) M0 v& S, N- e. Z3 q% a
51、已知二次曲线,(1)证明它是双曲线；(2)求中心坐标；(3)求与直线平行的直径及其共轭直径的方程；(4)求渐近线方程
( n! }2 T7 ^! p参考资料：
5 V3 c' d$ t3 N( E9 a

/ f+ {0 p& d6 ?/ ]% G3 e4 Z

6 |- t, X* E/ x
52、已知两条直线m:?和n:,证明m和n是异面直线。
/ h4 \2 ?5 V: M- L! O3 g参考资料：
' Y0 n5 O5 J0 q: c5 Q2 ?/ u/ v


53、求双曲抛物面上互相垂直的母线的交点轨迹。
参考资料：

0 `' T3 N  n' A! E" t1 t: k2 r



8 {5 _- c: u: v1 ?9 C54、求过点A(1,0,2),B(0,1,2),C(0,-1,1)且以,为切线的二次曲线方程。
3 d5 ^0 g8 L! z( j+ a参考资料：

% m* _/ I2 C0 h( t4 e


, l3 }- \# Q& [8 j$ o6 H- u
5 X2 S" p  ]- d55、设点A(-3,2,1)和点B(6,1,1)的连线与直线相交于点C,求点C的坐标和单比(ABC)。
+ h- m- @: t2 M参考资料：

2 b+ N6 ]* ]* a  M* ]! W5 {

: L6 O. }# G' |1 g( n& b' F" i

56、求过直线a:且与直线b:平行的平面方程
/ H" H* g% U8 n3 R4 @- A参考资料：





! L8 w; H# K/ I9 X: h57、求过点(1,0,-2)且和两直线与都垂直的直线方程
参考资料：



  O  B# k  m! R: H
& U+ P5 W$ a, J+ d58、求顶点为M(1,2,4),轴与平面2x+2y+z=0垂直，且经过点N(3,2,1)的圆锥面方程
  M- p# l3 ~( Y% C3 n. g6 b2 q参考资料：
8 ^5 D( a' y8 ^

6 a, E* W! L0 C' S' H: I# \# o2 M
59、试用向量来证明:如果,,那么
参考资料：
* R( g; v( }3 ~

' g7 v$ ^; Y0 ]) q8 b7 c( ^* S

60、如果3向量a,b,c不共面，那么,,也不共面
参考资料：

, a( |8 \; z: K' u2 ^: I# [( N
, G: _. ^$ T) ?2 g3 H3 O# X+ V