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华东石油2011年春季《高等数学1》综合复习资料

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发表于 2011-7-2 08:42:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
谋学网
《高等数学1》综合复习资料

一、        填空题
1.设 则此函数的定义域是____________________.
2. ___________________.            
3.曲线 ,直线 及x轴所围成的平面图形绕ox轴旋转而成的旋转体之体积 ____________________.
4.曲线 在 处的切线方程为___________________.
5.曲线 的拐点是___________________.
6.已知函数 处处连续且满足 ,则 _________________.
7.极限  __________________.
8.不定积分 __________________.
9.  的定义域是____________________.
            10.  ____________________.
            11. 若 在  (其中 )上连续,在 内二阶可导,且_________________则 在 上的曲线是上凹的.
二、        选择题
1.点 是函数 的(  ).
(A)连续点;           (B)可去间断点;  
(C)第二类间断点;           (D)跳跃间断点.
2.如果 ,则数列 是(  ).
(A)单调递增数列;         (B)有界数列;    
(C)发散数列;                (D)单调递减数列.
3.当 时, 是 的(  ).
(A)高阶无穷小;             (B)低阶无穷小;   
(C)等价无穷小;               (D)同阶但非无穷小.
4.下列各式中,成立的有(  ).
(A) ;        (B) ;  
(C) ;      (D) ( ).
            5.积分 等于(  ).
(A) ;     (B) ;      (C) ;      (D) .        
6. 曲线 所围图形的面积 等于(  ).
                ;          ;
;          .
7.  极限 的结果是(    ).
                  (A)1;        (B) ;       (C)2;       (D)极限不存在.
             8. 已知 是大于零的常数, ,则 的值应是(    ).
     
9.下列函数中,在区间 上满足罗尔定理条件的是(    ).
   (A)                    (B)   
(C)                 (D)
10.设 在 有二阶导数, ,  ,则 在 处(    ).
   (A)无极值                     (B)有极大值   
(C)有极小值                      (D)有极值,无法判断是极大还是极小值
11.设 ,则当 时(    ).
A. 与 是同阶但不等价的无穷小;           B. 与 是等价的无穷小;
C. 是 的高阶无穷小;                     D. 是 的低阶无穷小.
12.设 ,则 是 的(    ).
A.连续点;       B.可去间断点;     C.跳跃间断点;       D.第二类间断点.
13.函数 在点 处有极限是 在点 处连续的(    ).
A.必要条件                       B.充分条件               
C.充要条件                       D.既非充分也非必要条件
14.设 (    ).
A.1           B.2           C.-1           D.-2
三、        计算题
1.计算极限 .
2.设 ,求 .
3.求微分方程 的通解.
4.设 求 及 .
             5.求不定积分 .

             6. 求不定积分 .
             7. 计算 .
8. 求 的通解.
             9. 计算定积分 .
10. 设 其中 可导,且  求 .                     
11. 设 由方程 所确定,求 .
12. 设 ,求 .
             13. 求 在 上的最大值与最小值.
             14. 设 由方程 所确定,求 .
15. 计算  .
16.求由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积.
17. 求 的通解.
18.设 ,其中 可导,求 .
             19.求 在 上的最值.
20.求不定积分 .
             21.计算 .
四、 证明题
1、如果可微函数  满足关系式 证明 .
2、设非负函数 在 上连续,且 ,试证明在 上 .
3.试证:当 时,不等式 成立.
4. 设 在 处二阶导数连续,且
证明:在 处 必有拐点.


参考答案

一、填空题
1.       2.     3.     4.    5.     6.     
7.          8.        9. [0,1]         10.0       11.  

二、选择题

1.D     2.B      3. C      4. A.    5. C.    6.D      7.D.
8. A    9.C.    10. D.   11.B      12.B      13.A      14.C

三、计算题
1. = = =                      =   
2.取对数
      
解出   
3.特征方程为    特征根为   
对应齐次方程通解为   
4.
.当x=0,y=0,
5.原式=
=
6.原式=
7.原式=
8.特征方程为 特征根为 通解为  
9.原式=
10.
11. 当 时 ,
12. 是 的6次多项式,
13. 驻点

为极大值, 为极小值
   
所以 在 上的最小值为 ,.没有最大值.
14.     
15.原式=
16.解  设面积为 .


  
17.
18.解   = .
19. 所以f(x)在[1,3]单调减
f(x)在[1,3]的最大值是 ,最小值是
20.令
原式=
    =
21.原式=
四、证明题
1、  由   定出 故
2、令F(x)=
有 ,故 广义单调增加,所以对一切 有 ,即 .于是 [注]也可用反证法证明.
3、设  , 在 连续,且在 上 所以 在 单调增,即当 时, .
4、
当x=0时,


由此证得:曲线在x=0处有拐点.

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