12春福师《实变函数》在线作业二

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% @% e$ N2 v% H% e. w2 F, W一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）V 1.  对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
3 ^" k- B2 \+ R4 v4 U1 OA. 错误
; R# d6 k+ F; f! L2 d' P% R' IB. 正确
$ H: y" o; A* G      满分：2  分
2.  零测度集的任何子集都是可测集.
5 {( L6 X( U% N% AA. 错误
2 f. c7 e* S2 V1 k% t' c6 H9 t1 JB. 正确
  E* u+ z: ?9 ^5 V8 Q) q% ?+ r      满分：2  分
3.  增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
: f/ S9 h0 R, {( @- H9 ZA. 错误
0 U7 {- [3 L4 z" _  o( ]B. 正确
- e% k/ l3 D& r1 ^      满分：2  分
( T, p$ i+ ?0 e6 \) L9 ~4.  若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
* E0 W0 K. w% xA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
5.  设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
" \% p; g! J, Y- D: D5 a+ yB. 正确
# i2 |( T! s9 h! g1 ^: z      满分：2  分
/ \0 ?: |+ Q# u6.  增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
# q) H: e1 C3 G% ^3 }7 Y2 l5 G7.  闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
& E4 N9 n1 d! n5 q  cA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
5 X" k0 y9 x- _# x' J( I8.  f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
7 a& u  G  n- J; y- g( W' u/ eA. 错误
/ v/ T( N$ Z4 t/ h; zB. 正确
! E, a, j: _( \& @, ^% k      满分：2  分
5 ^2 R, ^3 o1 W- N+ N/ U  E9.  存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A. 错误
/ `, A) `7 K0 o, g- v/ k2 v: H' {3 zB. 正确
      满分：2  分
10.  若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
A. 错误
B. 正确
& n0 y! G4 n8 p# V% S      满分：2  分
- w9 m3 k# N7 M6 M11.  g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
0 }$ u2 j$ g. ~- s8 J/ M: m* W: yA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
: j. `8 J; ?  M' i7 g' x% e9 E4 K12.  f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
( A1 J6 M8 P/ c& Y  HB. 正确
' A* E. g8 @9 X) v7 {% u* I      满分：2  分
3 i0 Y1 e% V. |1 W13.  若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.
  s& Z1 p) E- j& I6 V) _( z$ u4 I$ PA. 错误
) o3 K, e% ^) d' o+ MB. 正确
4 V' Z# D5 E$ c# f6 g9 n) _1 y0 m0 v      满分：2  分
/ i0 j( m) _2 Z! y( \) X: @14.  若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
15.  有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
B. 正确
/ P' |3 c8 U* m# c      满分：2  分
16.  可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A. 错误
2 C: Y% m' u: B- A4 n1 ^" \B. 正确
      满分：2  分
17.  不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
  M* k9 ]# [% S/ E. MA. 错误
2 Y3 t+ j# Z; ?, k' c& G3 ZB. 正确
      满分：2  分
9 i4 z7 l/ p; e) h' C18.  一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
19.  若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
2 ~, k! ^0 x5 `9 Y# p& f4 j" U- hA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
0 U5 r5 c3 m/ `: ?) U9 N9 i20.  若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
' S' W) V( V5 I" `. x9 o, F- ?' j, U21.  绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
+ P1 W+ {. v. \1 X22.  测度为零的集称为零测集.
% I! t1 s+ t; n8 xA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
0 I% V1 h# J6 ]5 k23.  若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
A. 错误
$ P6 n; d. R  e1 K2 XB. 正确
      满分：2  分
24.  函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A. 错误
+ }1 |: P, ]6 f" J8 E; N* g3 KB. 正确
! ]% \. R7 d8 j% z      满分：2  分
25.  f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
* P' t* Q: t* f$ H' XA. 错误
% F5 M; f% z$ O# ^, E; {B. 正确
0 U- m1 P3 q7 m% B! A      满分：2  分
$ @4 J$ {# G' b& k26.  f可积的充要条件是f+和f-都可积.
+ |! l! C/ P. [& C0 l! }A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
27.  f可积的充要条件:|f|可积。
A. 错误
B. 正确
* ?- r3 C& @& v      满分：2  分
28.  f在[a,b]上为增函数，则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
1 g. T0 S8 }5 \      满分：2  分
29.  若f可测，则|f|可测，反之也成立.
' ]+ @3 f. M0 L* o5 B; Z" HA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
30.  若f∈BV,则f有界。
5 F- M: H, q2 y% W  `3 B/ s1 \A. 错误
B. 正确
, X) _3 q0 B* u1 C6 _      满分：2  分
31.  积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
A. 错误
; J6 l! }/ a' L, n+ p6 \2 f0 o- `/ ]B. 正确
0 p  g! X2 D& H' @2 [0 J1 }      满分：2  分
6 A3 D9 `- {1 y1 A2 p4 U% q7 O! C32.  若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
& J6 j! U8 Z( F9 nA. 错误
; L+ E/ E- P  O0 V0 F8 f& qB. 正确
      满分：2  分
# t% k% ]  G& J" {: b2 D5 B1 c33.  三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A. 错误
2 r$ O: b; T7 y8 V" l% ]B. 正确
      满分：2  分
$ l9 M0 j  s& j: [% z34.  L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A. 错误
B. 正确
. K: K! r! w) S9 X% U4 z# @' ?      满分：2  分
' Q3 G8 F* p1 u. H' F35.  若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
( V; \7 R. O: l0 ~3 ZA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
  z6 N, N' X6 B& k5 X36.  若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.
- V6 k; m1 Z# b% mA. 错误
4 H/ D! O. \" ^0 SB. 正确
      满分：2  分
! U8 `$ K" H: z37.  有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
  P9 J- L. f4 k5 A6 J, l9 YA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
; u: t) h0 l! T8 c4 r" ~
二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）V 1.  若A为R^n中一疏集，则（ ）
6 U$ f$ j) T7 [9 C3 d' s# }/ sA. Ac为稠集
+ q# T! x$ B* vB. A为开集
! q9 O8 U- c; q1 q/ nC. A为孤立点集
D. A不完备
      满分：2  分
/ J+ s, F8 H5 n9 h3 W2.  fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
  n9 I) I8 Q% r7 S, Z; s1 @C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
" O7 r$ Q# t: @+ ~# c; I  C( }      满分：2  分
3.  下列关系式中不成立的是（ ）
! U0 L; o. }; K3 n- OA. f(∪Ai)=∪f(Ai)
2 z% ?: d1 h1 z8 G# ~; PB. f∩(Ai)=f(∩Ai)
; i% f( e  ?, w' |! T5 |  i% G2 w* gC. (A∩B)0=A0∩B0
D. (∪Ai)c=∩(Aic)
9 r. [5 K7 G$ V0 A/ |      满分：2  分
4.  若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A. |A∪C|=|B∪D|
# `: u1 B" |& Y# D+ @B. |A∩C|=|B∩D|
C. |A\C|=|B\D|
/ _* Y/ q6 n( d3 s$ i4 qD. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
4 D; L4 T1 ?+ z  o      满分：2  分
! U" Y- L- u9 J5.  开集减去闭集其差集是（ ）
A. 闭集
1 W9 ?( ~) o2 e8 r3 `) S& |% uB. 开集
C. 非开非闭集
D. 既开既闭集
      满分：2  分
5 d, |5 s6 x5 Y  b' n7 X
三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）V 1.  若f∈AC[a,b]，则（ ）
A. f∈C[a,b]
4 F2 \# Z0 i) V( qB. f∈BV[a,b]
9 A9 Z- g- q2 xC. f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt
& N" C' d. U1 W3 `, Q8 g/ uD. f∈Lip[a,b]
- r! F2 T5 ~) o      满分：2  分
# X! w8 I  s5 a6 C  n, ~2.  若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A. f可测
B. |f|可积
C. f^2可积
D. |f|<∞.a.e.
      满分：2  分
3.  在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A. f在R上处处不连续
' v( z& H: O* ]' TB. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
: Z* ~" T+ A* }D. f不是可测函数
; P; K9 A2 Q% l& U      满分：2  分
4.  设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
1 x$ C) f+ e! N+ x8 _- P$ J2 \4 W+ OA. 有界函数
0 `* \, o/ o% F0 {/ m& R, XB. 可测函数
C. 有界变差函数
- h$ c  c- o5 UD. 绝对连续函数
      满分：2  分
: d- ?0 ~! L' N7 M: v7 v5.  若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
8 q! ^- D" x6 X( P' c+ J* W* y7 yA. f+g不可测
B. fg不可测
C. g^2可测
& t, l( M/ ?& M# w' a7 Y7 yD. |g|可测
$ J: F$ }: B& ]8 ^      满分：2  分
: k! k3 ~2 c& S6.  A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
2 s' s( k, [3 u# M  m( y  DA. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
& a2 V- A& h; L/ Z8 c- ?7 GC. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
      满分：2  分
7.  f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A. 广义R可积
2 T  V# l! g" ]B. 不是广义R可积
C. L可积
D. 不是L可积
1 Q2 e" @, S+ T6 y      满分：2  分
- y. n& E2 x, R) v, r8.  若f,g是有界变差函数，则（ ）
2 k6 T  K2 z( m, R. t( @A. f+g有界变差函数
5 m; X, k3 z' B4 o: {( k- m4 vB. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
D. max(f,g)有界变差函数
      满分：2  分
. D3 o# c; l0 [
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