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12春福师《实变函数》在线作业二

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发表于 2012-6-5 22:22:45 | 显示全部楼层 |阅读模式
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% W( R6 S0 O* ^0 |& U" G2 p- M/ P5 T3 c
一、判断题(共 37 道试题,共 74 分。)V 1.  对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有绝对连续性.4 E) V4 O5 i& S0 B( `  ^0 ^
A. 错误
% H3 G2 c! m* I3 {- W! v3 K$ K- ~B. 正确! {% b' }1 `5 _. q8 B
      满分:2  分0 v; I! v& }7 H/ d& }
2.  零测度集的任何子集都是可测集.. g0 I3 y+ _  T$ n8 v9 z
A. 错误
' b* F5 J& F" c) X0 ?B. 正确$ O$ ~6 O1 I. e/ \3 a
      满分:2  分
9 r- U" |% Q' u9 u4 ?3.  增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点,且只能有第一类间断点.
% ]: t. q2 p( S  j6 {- e# pA. 错误
9 d0 G6 J5 |: @* d3 J" FB. 正确
. R; r2 c9 X" w) S      满分:2  分& `5 g5 D* v1 w! A
4.  若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.
: }- B: T4 {6 |/ M$ r% G' g* _& CA. 错误
9 H$ C/ ?; k  z9 T& f& }B. 正确
* m/ r) Z4 r* @2 M      满分:2  分) ?( i7 x( ]; |* [# r
5.  设f是区间[a,b]上的有界实函数,则f在[a,b]上R可积,当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.! b* d7 |! d! P. `+ w4 H. U7 ~7 [
A. 错误8 {. r8 X/ s# t  C, Y( s
B. 正确1 w- N4 f! V2 d6 t. x& A; w3 v- y
      满分:2  分7 B5 R; F! R; ~4 o, E
6.  增函数f在[a,b]上几乎处处可微。$ r/ q, v$ @! E3 j
A. 错误$ e9 E9 l- [" p" U7 ?4 \
B. 正确+ ^5 y( u; i& s1 e2 z1 a+ z# D
      满分:2  分0 X2 V- r; k7 A* ?$ M4 O, B
7.  闭集套定理的内容是:{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列,则F_k对所有k取交集非空.
  I+ y9 o4 \, e" fA. 错误
7 B( e- t  d  G4 J$ aB. 正确" \; U7 Z* x: b
      满分:2  分
/ R# d" J. V$ f7 T( D8 L8.  f∈BV,则f几乎处处可微,且f'∈L1[a,b].3 [# p/ I$ s; z4 ?+ ]
A. 错误
$ z) o8 m3 c* i- v; S' ]1 OB. 正确+ x/ r7 ^" L) L
      满分:2  分
) j2 R/ i& w( T  w9.  存在[0,1]上的有界可测函数,使它不与任何连续函数几乎处处相等.- @3 r- t( i6 ]. z1 e
A. 错误
2 I- z1 n4 g( Z, j# NB. 正确
; y* y1 k' M: j" H& Q      满分:2  分, L* p1 Z' G! [8 j, t- h+ O
10.  若f∈AC,则f是连续的有界变差函数,即f∈C∩BV.4 Q3 b& y: q; ]1 q4 S! R  m3 y
A. 错误" `8 e* g* y; H: _# f0 T; D+ F9 K2 _
B. 正确
" b. R6 z$ O/ f; q9 n      满分:2  分4 A5 e3 I$ M5 ]1 K4 u, X) ~
11.  g的连续点是L点,但L点未必是连续点.
+ q/ A8 J7 b! l$ x/ ~, E; i" IA. 错误( k1 b. M/ Z+ Q
B. 正确1 k3 s6 f* b7 n5 A
      满分:2  分
5 P5 Y5 ^& k; _3 m12.  f为[a,b]上减函数,则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
: K6 V0 _) s# K/ dA. 错误1 h6 ~/ k( ]9 }+ c
B. 正确4 D: V% h" z2 s& x! D; l
      满分:2  分
5 f) b% \, z( G6 k6 u13.  若|f|和f^2都是有界变差,则f为有界变差.9 x# Q1 B9 ~1 C& h
A. 错误
0 c" y" e: \0 _B. 正确4 k) B1 |2 o1 G) J
      满分:2  分6 e, k) o; ^) ^" }0 b1 {5 h; L
14.  若f_n测度收敛于f,g连续,则g(f_n)也测度收敛于g(f).
9 ]: w  F5 I  Q% h2 g2 t5 HA. 错误$ s2 d* K# f, I- \& r
B. 正确
7 _  T; F# L4 p1 K2 c      满分:2  分
& \9 Z# z, |' o# p+ I" }8 L15.  有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.' ~- |/ m: R# Z/ Z" J
A. 错误+ W3 u' W3 E/ Z# |/ k. h
B. 正确1 l) j9 Z+ t' x/ T8 O! x9 q& F& a
      满分:2  分
0 G6 g$ a1 {: Y16.  可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.; W. n' ^7 F" _- w9 i3 D3 G4 `
A. 错误
, a: ?! c8 W0 V1 EB. 正确* a' J: t! k1 E" M
      满分:2  分4 J. c0 w- }; j
17.  不存在这样的函数f:在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
0 M" W) t# g$ g9 I( g% o+ {A. 错误
, ]* o9 v5 [6 C; b4 M' @B. 正确% k" V/ P. ^) p5 @
      满分:2  分
9 Q- |. D' R, Y! H2 s18.  一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
/ B& E1 p" b  F/ U/ n; A; e: ?A. 错误" d2 I$ p* Z; J: ]0 q
B. 正确0 S- c# @$ ?# h, A. ?
      满分:2  分
. N1 c/ J& m; _/ r19.  若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。7 ^& u0 S2 U+ o2 m* Y' u: u7 C; U
A. 错误6 h" @: M* G; }. L" Q- n4 r9 `, r
B. 正确
' N' O0 y+ [) v) T  J" w7 Q      满分:2  分
' O! O0 P/ d; k) C! e8 l* A7 F20.  若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R,则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
4 b; [3 Y# u( ~* ]: dA. 错误
/ H8 e: G! y, X% YB. 正确
8 M: ^8 ?& B, M' G: i, G3 ]1 _      满分:2  分& }& X5 x/ }" K5 H! h  n
21.  绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
: }2 s5 \& A% J, |8 ]4 hA. 错误) m4 N; `1 V) ^9 h
B. 正确
; [# v- L! f3 O0 o! ~      满分:2  分
& f3 B# ]# M9 U5 i* p" d22.  测度为零的集称为零测集.1 E( q: Z, X  ]' J! I* D4 Q. A
A. 错误. ?, ]( O" O3 }' C2 M  r6 j& _
B. 正确* d, L) g% k3 A# l( A0 q
      满分:2  分
% V0 \, U5 f! i# F- r+ M& R* L23.  若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b]./ W9 D6 p& q8 i8 {: _
A. 错误  r$ }% A8 b7 o) @3 Q
B. 正确; m5 c' e5 Q4 b
      满分:2  分; {' c+ V% w6 H  g6 B- t- r9 A
24.  函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
0 Y+ Q4 f8 b1 z, i+ y3 r2 e# DA. 错误
+ P8 d- w$ {! ZB. 正确4 I; v7 U" l& s2 F
      满分:2  分: Z6 J3 Z3 Y% x7 Y# q/ e( v
25.  f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
# l% m: _1 `5 m, xA. 错误
" u; B: }$ A& v- z( s; Y1 mB. 正确) w+ \1 U  a! U; K1 p+ m& d
      满分:2  分
6 y# v! L/ B( P6 v26.  f可积的充要条件是f+和f-都可积.
4 f% J+ z" c& M/ W& V% X8 J) @A. 错误
, ~6 Q! \  ], C* Q' C& q, |B. 正确* b; Y! K0 O% l5 E9 P, z+ a
      满分:2  分' c/ P  B/ A$ r( o" W, x3 x, f
27.  f可积的充要条件:|f|可积。1 S- P) K( ~0 w0 f( P
A. 错误
  G6 L" G: f/ i- r+ tB. 正确
( ^& {3 y+ s' x, P% X) ~- T! W      满分:2  分9 ^# x( ]$ R* M! G: @. f
28.  f在[a,b]上为增函数,则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
( [) @1 B- _- O5 m+ mA. 错误3 K' A  M4 K- h- ~; J) |4 j
B. 正确1 e5 P: t( n1 |' U8 c3 P" f6 u
      满分:2  分
: u0 R) N7 V# H, g8 u! y29.  若f可测,则|f|可测,反之也成立.4 G6 j( [4 ~  {/ ]0 m3 P0 z
A. 错误4 Y, a; D9 d# e  r7 e9 B
B. 正确/ j5 k( l! G% }
      满分:2  分/ C6 V8 K& _" e; c8 C& ?
30.  若f∈BV,则f有界。6 z; G' k( W  y' ~
A. 错误" m" \, H3 C2 @6 c
B. 正确. K, [: S+ T8 `: z3 T+ i, B
      满分:2  分( _% r: u3 d/ ~. {
31.  积分的四条基本性质构成整个积分论的基础,而其导出性质是基本性质的逻辑推论。( l' g9 M; @. m9 u
A. 错误4 ]; P# K9 Y* S  _
B. 正确( f  a' m! b( v
      满分:2  分! e' R* x8 M( k; e. T$ Z
32.  若f,g是增函数,则f+g,f-g,fg也是增函数。
- J8 ~2 J9 c" ?' F  y1 R* iA. 错误
3 S$ e, E7 @2 |. R3 pB. 正确+ E& {; F9 m) D' p# b# E
      满分:2  分. u' }7 j' u8 u+ j  c) W3 D8 s
33.  三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。9 @9 f1 _' l: \, {
A. 错误
1 O: B% W( K% y8 D% I9 ]) IB. 正确! w! m0 L0 P- d& s( k3 s. i
      满分:2  分5 l( ]+ n* Z; E
34.  L积分比R积分更广泛,且具有优越性。
7 a$ k* `. g, QA. 错误
* B( @2 b% A2 b  nB. 正确) `4 M+ g. H2 m+ _' e
      满分:2  分5 R) {. |& p5 V8 w  B) z" ?
35.  若f,g∈BV,|g|>c>0,则f/g属于BV。
$ R% A  ~4 j1 o' p& t, T2 A0 R. EA. 错误
0 u. y( Q+ r6 ~' g+ B) jB. 正确
8 T9 p/ a6 T5 R; `$ @0 m8 x$ \# ?      满分:2  分
; k3 e3 Z2 o# [$ X; [36.  若|A|=|B|,|C|=|D|,则|A∪C|=|C∪D|.
, A  E0 ^6 U7 b2 A5 `4 m, G. A/ xA. 错误' J4 ?) G; n9 T+ ~3 m9 Z6 Q
B. 正确
- c3 s- s5 o7 e. f      满分:2  分
# G8 L( F) D9 y& s37.  有界可测集的测度为有限数,无界可测集的测度为+∞
! S) ~& o' Y/ u1 f. b2 `9 KA. 错误9 `! A* e1 B) M5 P: ]# z# d8 f9 R
B. 正确# M) Q+ ~) `9 R  m5 f
      满分:2  分 7 X& O6 p" p+ c

7 @. ^* s/ O7 }9 p$ T2 E二、单选题(共 5 道试题,共 10 分。)V 1.  若A为R^n中一疏集,则( )
! i) h' H: c( X6 B' t2 QA. Ac为稠集5 R. }" P& O9 R2 G. b) t
B. A为开集
- M' z. B6 s( I% ?2 N1 RC. A为孤立点集$ @, B; v* B/ |+ J7 _* U, C
D. A不完备: D% V4 I0 i: T* f$ e+ @: x
      满分:2  分
1 e9 i+ f2 l- s, ]4 m. D9 r  v2.  fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0( )
1 _. S( M' f3 j- S+ _& EA. 充分条件7 k' ^2 Z6 T! F
B. 必要条件! K* v& _! s9 k2 K) X, H& a
C. 充要条件
7 l- T' L$ F3 vD. 非充分非必要条件) H5 `$ v  ]3 N
      满分:2  分, x5 L/ e4 l" w3 J+ B
3.  下列关系式中不成立的是( )
3 [! D% c9 q: j2 U0 `: V0 X/ Y) iA. f(∪Ai)=∪f(Ai)  g+ W6 M. D* b( `9 b! e; _+ d+ k
B. f∩(Ai)=f(∩Ai)& ^* q% _" ^+ ?( X$ ?; ]& A
C. (A∩B)0=A0∩B0" w) l- b9 b& V( a1 ]6 ~: S, M& t
D. (∪Ai)c=∩(Aic)
/ [+ ]7 f2 b8 ^7 ^6 B, X4 g      满分:2  分1 [& x) h6 `( ^/ \
4.  若|A|=|B|,|C|=|D|,则
% G& U* V: u4 Z$ D& U- I2 `A. |A∪C|=|B∪D|
; w( h; O2 d! U5 L0 O# E3 S/ R& EB. |A∩C|=|B∩D|, X" {$ p6 I+ R! i
C. |A\C|=|B\D|
7 L. ?" p0 x5 V% ~; K: ?D. 当A或C为无限集时,|A∪C|=|B∪D|
3 o  \8 D& ^' L7 r, {# G) W      满分:2  分0 ]' p7 ?; t$ @* t. \* N
5.  开集减去闭集其差集是( )
5 |+ h7 Q3 l" y& @3 SA. 闭集
) ?; F  M1 j. n; i0 n8 z6 F- GB. 开集
) @1 v; F! t4 s5 ^: UC. 非开非闭集
6 C6 O5 j4 @& w% y$ qD. 既开既闭集4 Q& Y0 _$ N+ O. x: V2 Z4 y
      满分:2  分
) I" e3 B. P/ T' q
! l8 E. M2 t  D- y2 q$ O三、多选题(共 8 道试题,共 16 分。)V 1.  若f∈AC[a,b],则( )
  T6 C; a0 v7 s/ r- `  ~A. f∈C[a,b]! J; g7 d8 J7 N4 \
B. f∈BV[a,b]4 R& t7 g5 `1 ]
C. f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt" \$ X( g+ v+ l7 J* e5 g* b
D. f∈Lip[a,b]
3 p( S9 K! q+ E4 v. t7 F" X      满分:2  分& k+ H7 g9 J3 V! G4 _/ g9 ]3 t
2.  若f(x)为Lebesgue可积函数,则( )% Z3 u; B) o2 ]* @) s3 J
A. f可测/ W3 S' K. J- z" E3 V
B. |f|可积8 M1 t- m6 r: n3 K
C. f^2可积3 n, P+ V5 r, Q
D. |f|<∞.a.e.' A2 d% i; W0 x9 X7 i) o7 p: f
      满分:2  分
0 |% P6 D1 B6 s9 p, T  p3.  在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( )2 a+ m: V( K+ H6 r  R' M' m
A. f在R上处处不连续
0 Q& d0 R, X6 K: C5 B4 H0 G7 ?* k+ @B. f在R上为可测函数
7 ]: E4 W# ?. e! aC. f几乎处处连续& R: H5 P# _( e7 Q/ ^+ `, j: o' l
D. f不是可测函数
9 v* M, r2 I& i      满分:2  分/ [0 S' T/ s5 P  u
4.  设f为[a,b]上减函数,则f为( )( L- L  y! u3 G! c
A. 有界函数
- m$ X. C- |' j& V4 g0 OB. 可测函数
2 q& m& F. o- \2 \3 AC. 有界变差函数. x( {3 }+ L% h% V
D. 绝对连续函数
$ c* _/ t& Z6 e0 s  z) M      满分:2  分
1 b) R' c. U- H: F5.  若f不可测,g可测,则下列正确的是( )6 q  D. [7 Q, z* \' [7 s! R
A. f+g不可测9 j; M, N5 W# \% p5 K9 O
B. fg不可测
& ^5 X* X" x9 ]% s2 \3 \* kC. g^2可测" }) i: L8 x: M+ ~+ ~" [2 H2 n% w2 a
D. |g|可测
/ L1 c/ b$ s; y7 W" L, @, C      满分:2  分9 Z5 V7 `( ^7 _. J2 D) c! j
6.  A,B是两个集合,则下列正确的是( )+ x- y! X! @- _4 I
A. f^-1(f(A))=A
% t6 W( {; G3 ~( r. O( w  vB. f^-1(f(A))包含A
; R" h0 M8 e! YC. f(f^-1(A))=A+ Q9 V1 H: y" ]
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
; ]+ \7 F2 J( k4 ?1 [2 q      满分:2  分
1 O/ G4 G' _  c7.  f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上. e2 U* H# L) D  K% V
A. 广义R可积! H! w2 t+ G* M! I" @  X
B. 不是广义R可积
' F6 d! Z9 j4 ?, ?/ D& rC. L可积' ]3 \: l& U( c5 {1 C9 y
D. 不是L可积
% q" M3 }/ h  j1 c      满分:2  分
1 H) t, n5 G* Q; n- P8.  若f,g是有界变差函数,则( )9 a$ i: Y. [" `: o; S4 \
A. f+g有界变差函数
$ t) o6 y5 }) J6 @3 _  m0 O) o4 V% EB. fg有界变差函数
2 b1 y" L5 ^# d3 q, s& iC. f/g有界变差函数
$ \8 C2 z5 Z. S# `/ b2 u/ GD. max(f,g)有界变差函数
& i  N  u& k% `- Q      满分:2  分 3 E6 }1 r3 Q2 I/ u; L  C; Q
0 i$ ^$ @8 [6 c. X
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