南开《概率论与数理统计》复习材料

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课程名称        概率论与数理统计
教
材
信
息        名称        概率论与数理统计
        出版社        清华大学出版社
        作者        李博纳
        版次        2006年9月第1版
复习大纲

一、考试说明

考试形式和试卷结构
考试形式：当堂开卷
试卷内容比例：概率论部分约占 72%         数理统计部分约占28％
题型比例：选择题约占24%，填空题约占24％，解答题约占52%

说明:在下列的复习题中，包括试题中题目分数约为70分，包括了所有试题题型，由于考试形式为开卷，所以请同学们认真做一下下面的复习题，这样至少保证通过考试，在确保通过考试的基础上，请同学们认真复习，取得满意的成绩。

二、复习题

(一)单项选择题
1、掷2颗骰子，设点数之和为3的事件的概率为 ，则 （    ）
（A） ;          (B)  ;
(C)  ;        (D)  .
知识点        页码        资料
等可能概型        12        c

2、一部文集，按顺序排放在书架的同层上，则各卷自左到右或自右到左卷号恰好为1、2、3、4顺序的概率等于（  ）


知识点        页码        资料
等可能概型        12        b



3、已知 两事件满足 ，若 ，则 （    ）
A.            B.            C.            D.  ?
知识点        页码        资料
随机事件概率        23        a

4、甲、乙两人独立地对同一目标各射一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为（     ）
（A）0.6；   （B）0.75；    （C）0.375；     （D）0.65。

知识点        页码        资料
条件概率        26        b

5、设某批产品中甲、乙、丙三个厂家的产量分别占45%，35%，20%，各厂产品中次品率分别为4%、2%和5%. 现从中任取一件，取到的恰好是次品的概率为（    ）.
A．         B．
C．         D．

知识点        页码        资料
全概公式        31        a

6、设事件A，B相互独立，且P（A）= ，则 =（    ）
A．         B．
C．         D．

知识点        页码        资料
随机事件的独立性        34        d


7、随机变量 ,且已知 ,  ，则此二项分布中参数 和 （     ）.
（A） ;          (B)  ;
(C)    ;        (D)   .
知识点        页码        资料
数学期望        119        a
8、设随机变量 , ,若 ,则 (     )．
A.            B.            C.            D.  ?
知识点        页码        资料
二项分布        48        b

9、设随机变量 服从标准正态分布 ，已知 ，则 （   ）
A．         B．         C．          D．            

知识点        页码        资料
正态分布        57        c


10、设 的概率密度为 ，则 的概率密度 （      ）.
（A） ;          (B)  ;
(C)  ;          (D)  .
知识点        页码        资料
随机变量函数的分布        67        a

11、对两个随机变量 和 ,若 ,则（   ）成立。
（A） ;          (B)  ;
(C)  和 相互独立;        (D)  和 不相互独立.
知识点        页码        资料
期望和方差        125        b

12、设 和 是相互独立的两个随机变量， 服从 上的均匀分布，即 , 服从参数为2的指数分布,即 ，则 （      ）
A.  1          B.2        C.3          D.4?
知识点        页码        资料
期望和方差        105        b


13、设 ,则根据切比雪夫不等式 （    ）
. （A） ;          (B)  ;
(C)  ;          (D)  .
知识点        页码        资料
切比雪夫不等式        132        a

14、设总体 已知而 为未知参数， 是从总体 中抽取的样本，记 ，又 表示标准正态分布的分布函数，已知Ф（1.96）=0.975，Ф(1.28)=0.90，则 的置信度为0.95的置信区间是（      ）。
A、
B、
C、
D、
知识点        页码        资料
区间估计        170        b


15、在假设检验中，原假设H0，备择假设H1，则称（      ）为犯第二类错误。
A、H0为真，接受H1              B、H0不真，接受H0
C、H0为真，拒绝H1              D、H0不真，拒绝H0
知识点        页码        资料
假设检验        177        a

16、设总体 服从正态分布 ，其中 均为未知参数， 是取自总体 的样本，记 ， ，则 的置信度为 的置信区间为（      ）。
A、
B、
C、
D、
知识点        页码        资料
区间估计        170        b

17、在假设检验中，显著性水平 表示（      ）。
A、P{接受H0|H0为假}              B、置信度为
C、P{拒绝H0|H0为真}              D、无具体意义
知识点        页码        资料
假设检验        177        c

18、设总体ξ服从正态分布N（ ），其中 未知而 已知，（ ）为取自总体 的样本，记 ，则 作为 的置信区间，其置信度为（      ）。
A、0.95         B、 0.05           C、0.975         D、0.90
知识点        页码        资料
区间估计        170        d

19、在假设检验中，下列结论正确的是（      ）。
A、只犯第一类错误                      B、只犯第二类错误
C、既可能犯第一类也可能犯第二类错误    D、不犯第一类也不犯第二类错误
知识点        页码        资料
假设检验        177        c
（二）填空题

１、有 只球，随机地放入 个盒子中，则每个盒子中恰好有1只球的概率______.
（资料： ）
知识点        页码
等可能概型        12

2、一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为 的泊松分布，则某一分钟呼唤次数大于 的概率是 ．
（资料： ）
知识点        页码
泊松分布        49

3、 设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于 ，则事件A在一次试验中出现的概率为          .
（资料： ）
知识点        页码
二项分布        57

4、设 在 服从均匀分布，已知方程 有实根的概率为 ，则 ．
（资料：10）
知识点        页码
均匀分布        61

5、设随机变量X的概率密度函数如下，则常数 为                ．

（资料： ）
知识点        页码
概率密度        57

6、设 ，若  ，则 .
（资料：1）
知识点        页码
数学期望        119

7、设 ,则根据切比雪夫不等式 .
（资料： ）
知识点        页码
切比雪夫不等式        132

8、设 , ,则 与 都不发生的概率为
（资料： ）
知识点        页码
随机事件的概率        23

9、在句子“the girl put on her little red hat”中随机的取一单词，以 表示取到的单词所包含的字母个数，则 ．
（资料： ）
知识点        页码
数学期望        105

10、已知 ，则              ．
（资料： ）
知识点        页码
分布
153

11、 设 ， 且 与 相互独立,则 ．
（资料：180）
知识点        页码
方差        114

12、设总体 ， 是来自 的样本，则
（其中 ）．
（资料： ）
知识点        页码
分布
149

13、数理统计中的一类基本问题是依据样本所提供的信息，对总体分布的未知参数作出估计，称之为              ，这是数理统计的基本问题之一。
（资料：参数估计）
知识点        页码
参数估计        159

14、采用的估计方法不同，同一未知参数有不同的估计量，这就要求建立衡量一个估计量优劣的标准，一般来说,其评价标准有三种：      ，      和相合性。

（资料：无偏性；有效性）
知识点        页码
估计量的评选标准        167
15、设总体 ,且 已知， 为来自总体 的容量为 的样本， ，总体均值 的置信水平为 的置信区间是 ,则 .
（资料： ）
知识点        页码
区间估计        170

16、设 是取自正态总体 的样本，若 已知，要检验 为已知常数）， ，应用      检验法；检验的统计量是      ；当H0成立时，该统计量服从            分布。
（资料： ； ；标准正态）
知识点        页码
假设检验        177

17、设总体 ，如果使用 检验法，且在给定的显著性水平 ，其拒绝域为 ，则相应的假设检验H0：      ；若拒绝域为 ，则相应的假设检验H0：      。
（资料： ； ）
知识点        页码
假设检验        187

（三）计算和证明题


1、有两台钻机钻孔，第一台钻孔数量是第二台的两倍，第一台钻孔不合格率为 ，第二台钻孔不合格率为 ，现发现一钻孔不合格，求是第一台钻孔的概率.

（资料： ）   
知识点        页码
贝叶斯公式        32




2、某种型号的电器的寿命 （以小时记）具有以下的概率密度：

现有一大批此种器件，设各器件损坏与否相互独立，任取 只，问其中至少有 只寿命大于 小时的概率是多少？

（资料： ）   

知识点        页码
二项分布        48



3、  的概率密度为
，求随机变量 的概率密度。


知识点        页码
随机变量函数的分布        67



解：  只在 内取值，对于 ，
     
  
所以

4、设随机变量 的概率密度为 ，其中 为常数．
（1）求常数 ；
（2）求边缘概率密度 和 ，并说明 和 是否相互独立．

（资料：（1） ；（2） ； ； 和 不相互独立）   

知识点        页码
多维随机变量        86



5、设随机变量X和Y具有联合概率密度
,求边缘概率密度 和 .


知识点        页码
多维随机变量        86



解：

6、设X,Y相互独立，它们分布律分别为
X        X        1     1        3   
p        p        0.3 0.3       0.7

Y        Y        2     2      4   
p             p         0.6  0.6    0.4
试求随机变量Z=X+Y的分布律。

X        Z        1     3      5       7
)p        p         0.3 0.18    0.54    0.28

资料：



知识点        页码
多维随机变量函数的分布        96


7、设连续型随机变量  ，求 。


知识点        页码
数学期望        105



解：由连续型随机变量数学期望的定义可知：

8、  随机变量 的分布律如下：

X        0    1    2    3
P                   
求 ．


知识点        页码
数学期望        105




解            


9、假定每个人生日在各个月份的概率相同，求三个人中生日在第一季度的人数的期望。

（资料： ）   


知识点        页码
数学期望        105



10、 掷20个骰子，求这20个骰子出现的点数之和的数学期望.


知识点        页码
数学期望        105



解 设 为第 骰子出现的点数， ，那么，20个骰子点数之和 就等于

易知， 有相同的分布列 所以
        于是，
      
11、 设连续型随机变量 的概率密度为
，求 。

知识点        页码
相关系数        123



解   





又   
所以   


12、设对目标独立发射400发炮弹，单发命中率等于0.1，试用中心极限定理近似计算命中数超过50发的概率。
标准正态分布数值表：


1.65        1.67        1.70

0.9505        0.9525        0.9554

（资料：0.0475）   

知识点        页码
中心极限定理        137



13、设总体 的概率密度为 ，其中未知参数 .设 是来自总体 的样本.
（1） 求 的最大似然估计量；
(2)　说明该估计量是否为无偏估计量.


（资料：（1） ；(2)　是无偏估计量）   


知识点        页码
点估计        160



14、设总体 的均值和方差分别为 和 ， 是来自总体 的容量为 的样本，试证明 和 都是 的无偏估计量，且 较 有效。

知识点        页码
估计量的评选标准        167



证明：   ， ，所以 和 都是 的无偏估计量； ， ，当 时， ，因此 较 有效。
15、设总体 的概率密度为 ， ， 是来自总体 的样本，求 的矩估计量和最大似然估计量.

（资料：矩估计量 ；最大似然估计量 ）   

知识点        页码
点估计        160