东北大学13春学期《线性代数》考前复习题

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线性代数复习题
一、        填空题
1.        按自然数从小到大为标准次序，排列 2  4  1  3的逆序数
t ( 2  4  1  3 ) =          .
2.        行列式              .
3.        行列式          .
4.        行列式              .
5.        四阶行列式 中元素x的代数余子式为        .
6.        设 则            .
7.        设矩阵 ,  , 则
A − 2B =              .
8.        若  则            .
9.        若矩阵 是不可逆矩阵，则x =        .
10.        若矩阵 是对称矩阵，则λ =          .
11.        已知  则         .
12.        已知 则          .
13.        当      时，齐次线性方程组 只有零解.
14.        当         时，方程组 没有解.
15.        若向量组 线性相关，则 λ =          .

二、        选择题
1.        设 ，则元素 的余子式等于（　　 ）.
         
2.        设 则等式（       ）不成立.
   
   
3.        已知 ,  , 则下列各式中无意义的
是（     ）．
.    .   .    .
4.        已知  则下列各式中有意义的
是（     ）．
               
5.        已知A是m×n矩阵, B是n×m矩阵(m ≠ n), 则（     ）是n阶
方阵.
    .  .    .
6.        设A, B都为n阶可逆矩阵，则下列等式不成立的是（     ）.
   
     .   
7.        设A , B都为n阶矩阵，且 AB = E ，则（      ）是不成立的.
     
     
8.        已知A是m×n矩阵，则下列命题中（       ）成立.
是n阶对称矩阵.   是m阶对称矩阵.
不是对称矩阵.     .
9.        如果3阶矩阵A满足条件 其中 是元素 的代数余子
式， , 那么矩阵A的伴随矩阵 等于(        ).
            
10.        设A，B都是n阶矩阵，则下列等式不成立的是(        ).
         
.   
11.        如果矩阵 的秩是2，那么λ必等于（        ）.                                            
  －1.      1.      －3.　    3.
12.        若m×n矩阵A的列向量组线性无关，则A的秩必(         ).
  大于m.　　  大于n.　   等于n.　  等于m.
13.        若向量组 线性相关那么λ必等于（        ）.
  －1.      1.      －3.　    3.

14.        下列向量组中线性无关的是(        ).
         .
     .
15.        若4×5矩阵A的秩R(A) = 2，那么齐次线性方程组
的基础解系中解向量的个数应为(       ).
   4.　　    5.      2.　     3.
三、        计算与证明题
1.        计算行列式 .
2.        计算行列式 .
3.         .
4.        计算 .
5.        已知 求 .  
6.        已知 10 阶矩阵 ， .
7.        求矩阵 的逆矩阵.
8.        求矩阵 的逆矩阵.
9.        解矩阵方程
.
10.        求矩阵 的秩.
11.        求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:
.
12.        求向量组

的秩,并求一个最大无关组.
13.        求解齐次线性方程组:

14.        求解非齐次线性方程组

15.        a取何值时？非齐次线性方程组
有解, 在有解时求其通解.
16.        求矩阵

的特征值和特征向量.                           
17.        将对称矩阵

相似对角化.
18.        设A, B 为同阶方阵，证明 .
19.        设A和B都是n阶矩阵, 则AB是可逆矩阵的充分必要条件是A
和B都是可逆阵.
20.        若n 阶矩阵A满足条件 ，则
(1)  .
(2) A是可逆矩阵，且
参考资料
一、填空题
1.        3
2.        24
3.        0
4.        -4
5.        5
6.         
7.         
8.         
9.        2
10.        1
11.         
12.         
13.         
14.         
15.        9

二、        选择题
1.        D
2.        A
3.        A
4.        A
5.        B
6.        A
7.        D
8.        A
9.        C
10.        B
11.        C
12.        C  
13.        C
14.        D
15.        D  
三、        计算与证明题
1.         
2.        -4
3.         
4.         
5.         
6.         
7.         
8.         
9.         
10.        3
11.        秩为2,  为一最大线性无关组;
12.        秩为3,  为一最大线性无关组.
13.         
14.         
15.         时有解，通解为

16.        特征值为 ;   
对应于 的全部特征值向量为 ;      
对应于 的全部特征值向量为 .
17.