13春福师《实变函数》在线作业一二 辅导资料

豆芽

  
0 e& A: S- |# l+ A4 ^福师《实变函数》在线作业一
      
5 r7 U) [$ B4 |0 S6 t6 @判断题 单选题 多选题


* L/ T. O1 P* N' g  p' i6 x一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）
& a* ^! ]) _" y. W; M7 x" V1.  若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A. 错误
$ q( f! u* I2 M1 Q! L: C9 mB. 正确
  
2.  对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
+ ?  L) i9 l5 X# Y% |2 X- D  m+ B$ uA. 错误
B. 正确
' G- F/ o6 G3 Z) s9 h! B- R   
3.  若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A. 错误
! ?1 ]6 c% h/ C. zB. 正确
; [. q$ n0 W! M     
; I8 U$ |) B& V2 a4 C' ]4.  三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A. 错误
6 `  o& v  l/ z, s, K2 SB. 正确
   
5.  f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
$ x6 [6 V- z9 `' g; @A. 错误
2 }7 X& q8 H0 L( ^& ~B. 正确
2 {) i9 U! x' G     
. y. m/ S9 E1 z& F6.  若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A. 错误
B. 正确
7.  当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A. 错误
B. 正确
   
8.  f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
& i- l- H) ?9 X' HA. 错误
B. 正确
   
9.  f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A. 错误
: o4 r! r- T& sB. 正确
     
10.  若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A. 错误
B. 正确
3 X; a. X/ J" g/ k' v4 \6 [   
11.  f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
- ]) Y9 T; }6 q+ Y0 W% qA. 错误
: n  V5 P) M- J% B% q3 {B. 正确
9 a) T, @* t5 s3 e: ^$ {/ t, ^3 B
12.  集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
! ~: |# T1 {9 S' zA. 错误
B. 正确
! Q6 C' b" i9 A  ^( I   
13.  R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
! m9 P$ s( O! V8 K) i- ~A. 错误
) M, ^! a0 |! X2 qB. 正确
      
' r1 B4 e) k. u, ~14.  若f有界且m(X)<∞,则f可测。
3 T6 v* T5 u: MA. 错误
B. 正确
9 X! C  g* {, d7 k. w   
15.  无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
* J) o" e& p4 F4 s1 a5 ?A. 错误
B. 正确
5 c% u+ y8 v, \      
16.  若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A. 错误
- e/ [  V! Z5 }7 `  `! W- x& X" MB. 正确
   
17.  若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
* o( x# B% f. k8 N" g+ M* aA. 错误
B. 正确
   
18.  若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
8 }( C5 h; \6 P; i7 ~A. 错误
B. 正确

19.  一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
5 ~+ Q1 @! W! M( f% Q* X9 p) kA. 错误
B. 正确
  
# @& r: u$ r: |- M+ J20.  对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n->+∞} n·M[E(|f|>=n)]=0.
A. 错误
2 m/ C! ?! I* P2 J9 dB. 正确
0 \+ U+ U* D+ Q4 U$ J  W8 e
) L5 r' b0 H3 W% C4 V9 m! O4 J+ s/ M21.  积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
A. 错误
5 Y/ O& A. A" v, KB. 正确
      
( g& Z; W# y, [' i! P% S. v6 e: B22.  有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
1 w( S/ ?6 ^7 T2 X; @9 oA. 错误
B. 正确
7 g$ ~7 ]8 w9 h1 m" K! F: {   
7 ]' |8 I3 O9 Z23.  L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A. 错误
B. 正确
2 z3 D2 O# p; {9 y# F   
( w; U( B, ?& M: V& O+ `& d9 n24.  若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
# U# C: n/ I- M" AA. 错误
B. 正确
   
25.  三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
" k1 N( i7 s" c% }3 C9 VA. 错误
* O* v# o3 K% ]- C& o1 i) ], kB. 正确
. Y  _+ `  r3 {9 o6 b# n   
26.  利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
A. 错误
B. 正确
3 R6 k' J7 _& N1 i' P+ w! m     
27.  可数集的测度必为零，反之也成立.
A. 错误
* O' L5 ]9 i: ?/ g) mB. 正确
9 R4 d. O2 h9 r4 `7 s  y   
28.  若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
: R8 D# m* g1 y4 G1 \4 e  e7 gA. 错误
  S( Z; i( ]; EB. 正确

/ ^. |2 p9 N7 Z/ c1 [' E- K; [0 ?* q29.  函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A. 错误
B. 正确
7 ?" r* d0 P; H# J7 m, o     
30.  f,g∈M(X),则fg∈M(X).
  d2 k3 j% J. _* @$ t6 bA. 错误
B. 正确
      
, d" n! U4 L; m0 \31.  函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A. 错误
B. 正确
7 p0 @2 N0 b% `$ _5 }1 }, J+ _2 p   
" z% _) S8 B& J2 [" O32.  连续函数和单调函数都是有界变差函数.
' {9 @# l# `0 r' x4 \A. 错误
7 j9 Z- F/ R" c, e: xB. 正确
--------------   
33.  存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
% O- S- U: }! E- oA. 错误
9 K. K* M0 Y  ~7 EB. 正确
5 M0 N/ X. B& k; Q) }  
8 y5 Z/ z' d% e3 i* n34.  设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A. 错误
B. 正确
- h0 z  @5 N: H   
1 e1 T1 G0 s6 q# Y35.  若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
' k& L0 Z6 k8 E& e, uA. 错误
& a( m# e0 I  h; m( l2 @B. 正确
   
36.  设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A. 错误
B. 正确
  
37.  可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
4 A0 R( f$ @& a- `& yA. 错误
1 q- x! C& \6 _# u0 \$ _' zB. 正确

& }# S1 K" i* m. y; m- H1 Q# |
* S9 L' F# R- t" l
   
- {! W7 W; G: I; B( o( z福师《实变函数》在线作业一
      
判断题 单选题 多选题


二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）
' c$ ?. @0 Y" T9 W1.  fn->f,a.e.,则
/ O% H: U6 G9 w  }% H8 ^A. fn依测度收敛于f
% I' e9 U+ w2 AB. fn几乎一致收敛于f
9 f/ ]: H1 [. L7 H- {8 }1 }C. fn一致收敛于f
D. |fn|->|f|,a.e.
   
# I# H6 X% |# |+ j2.  若f∈L(X),则
A. f在X上几乎处处连续
3 d& J5 L7 e5 X) m' J, ~6 [B. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
C. 若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
7 I% F9 d9 N# L4 n/ T! z$ {      
: e: j# T6 c: l' P6 f. d& X4 ^" k3.  设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A. 连续函数
9 w, ?5 f( Z/ i; e8 I: KB. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
; _' v2 K# t1 [+ l* h" M4 Z   
6 v5 y9 }4 L  v3 t% ~) t2 X4.  有限个可数集的乘积集是（ ）
# x4 O5 N2 c' Q$ K& l) ZA. 有限集
' v+ f# R$ F$ R/ c2 \3 l; P) [B. 可数集
C. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
! T- k# B) x  j. B9 E5 N  j  
5.  在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A. mE=0
B. 0<mE<+∞
C. mE=+∞
# D" w4 Y- ?2 x# BD. 0<=mE<=+∞


   
4 @0 Y! h: ~9 u' ^9 n福师《实变函数》在线作业一
      
& V) L5 R3 R7 U; C$ l+ \$ j2 A判断题 单选题 多选题
! @7 q, Y" ]+ s! J! p# v1 U
4 ~' k) j& C: w" v; E: \) H& D
, b* \* ]6 B+ v三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）
. O5 ?: L8 R4 X- A1.  f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A. 有L积分值
( K$ |& p" I& T: U, [B. 广义R可积
$ k" P/ m2 g  m7 Q' Y; DC. L可积
D. 积分具有绝对连续性
   
2.  设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A. 几乎处处可微
B. L可积
. A, ?& P6 s. f, O3 b5 v  oC. f'可积
7 q$ q3 n- E: q# n1 y( CD. 区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
      
  N8 I, j+ Y& E/ ~, o) u: D3 |3.  若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A. m(A)<m(B)
B. m(A)<=m(B)
6 E$ s9 Y3 b/ H+ k. I8 \9 PC. m(B\A)=m(A)
D. m(B)=m(A)+m(B\A)
- b. k: b  O1 m/ f  B' O( V      
4.  若f∈BV[a,b]，则（ ）
9 T$ w4 [* d6 M+ x0 b1 NA. f为有界函数
. o. V$ Q+ F& V0 BB. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
   
; D. {" e5 J8 I3 {4 K5.  若0<=g<=f且f可积，则（ ）
' g  ~6 v/ C' Q% W" v1 F% L; QA. g可积
B. g可测
* Y+ w$ o1 q7 X" IC. g<∞，a.e.
! M( h+ ~, r- o$ R  I# d+ @! A7 h8 aD. 当g可测时g必可积
; G4 Q* b* O, c' s8 ~1 K6 o/ _6.  设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
, A9 C" U, T# d" U* z; ~7 O$ {' sA. 是L可测函数
B. 不是L可测函数
C. 有界函数
D. 连续函数
7.  设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
( ?, s& y' Z  N; pA. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
& G" O$ F8 o) `2 b0 d; O4 U. pB. 若E1包含于E2,mE1<=mE2
C. 若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
   
& q* g' }% A( V+ R6 v1 m8.  设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
4 c+ E9 {! d' c) S8 v. `A. fn测度收敛于|f|
1 O/ N0 t. n2 CB. afn+bgn测度收敛于af+bg
C. (fn)^2测度收敛于f^2
D. fngn测度收敛于fg
% K% ^. U3 [. V' N5 h
( |% b, ]0 F8 w6 U; T$ W' H- Q
& v# I& _+ [( ]1 K( \- H/ m