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! O, ]( ]& v1 J福师《实变函数》在线作业二
* e( l. L3 _; ^8 m( f ( v- W! {$ ]( O' m. C" F2 }
判断题 单选题 多选题
$ |2 B7 S, e9 J% Z& E e s2 z7 u, x! a8 M& u
, r' {# u. F3 r9 q/ S; R7 M+ w
一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）# e8 w! U+ T, \7 Y3 }! [. Y- m! m# Y6 r
1. 三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
- d o1 M+ a" W3 gA. 错误0 {6 V, h9 }9 |4 ?* Q
B. 正确- I# d1 q+ h1 P
1 {8 L6 R! r1 C% v% C3 Q2. 存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．4 l5 j# [5 a# [$ @
A. 错误" q1 Y/ p+ O" c2 O+ s4 `
B. 正确& c7 b% `! \5 h
" J% ?* c+ R: L8 t: v" f2 H1 B c3. f在[a,b]上为增函数，则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
( h: f. K. v+ b; {# w6 P- k aA. 错误
& |2 B3 D' j7 h+ Z0 m0 Y) q8 TB. 正确
1 J2 D6 \1 o- p) r * O) o7 i2 u X+ w5 F6 F
4. 若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差." g8 _0 u- }* }/ m9 Q
A. 错误' u+ x( ~4 K$ X1 o6 N% l
B. 正确0 l" c& @* N8 G: u8 [( J9 h! }
# ~8 N+ K9 ?9 K' V
5. 测度为零的集称为零测集.
- p" O1 j$ y% C/ j! g. H6 R) UA. 错误
/ H) s+ y- k n/ k/ C5 Q3 W4 KB. 正确4 j7 q6 T1 M4 {3 S* n
$ V1 M7 H! ~- i$ }1 F6. 不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
7 a: E- f R" j7 [ o4 uA. 错误
' ?9 f2 z( w. `4 UB. 正确
; d, e. F' q( w/ W) G
- Z# L' O& ]7 o( L7. 若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
% W8 q* Z4 q; D4 j7 sA. 错误
1 K& j7 V" b6 D; J. K+ MB. 正确
# y& c5 t2 y( R4 e! f( r, A: o" l v9 F ( g) F% V0 b; V4 F) {4 Y3 ~9 @
8. f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.) @, @8 V* Q7 C/ q$ _3 l; d
A. 错误
: ~! Q8 F" c$ c$ rB. 正确 S. X; u4 ?2 ~; L3 j$ _- W, z6 r( X
, U3 f. U; o* T# w4 U6 S
9. 有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
0 e) } A. G8 s5 ?, UA. 错误' @3 j- S/ G7 t& z8 z! p% {
B. 正确8 E5 g: W# S$ ]
+ q' C# |2 c* G7 g( x10. 增函数f在[a,b]上几乎处处可微。3 N% i# I) b( Y9 h2 D. a9 U
A. 错误$ i1 U' r! @) Y3 m" R! @8 ~
B. 正确* H3 W$ V* R3 G& {
/ n$ N/ z1 ~: p+ m11. f可积的充要条件:|f|可积。8 V2 ~; Z/ Y* a! I1 i
A. 错误
2 p$ t( A+ [/ _3 M* ?! v( R7 Y4 F! gB. 正确, s9 Y8 L. m* q+ y" K
# o, \/ d/ e3 T# S$ L
12. 闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
5 ?7 J8 [( o' ]A. 错误+ X5 B& `# E# w1 l' z0 b2 R
B. 正确
1 V8 ~4 \; ?) E( _
5 \2 S- W, \+ v" F- E13. 若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.5 h. r8 ^) [* l- g8 c. r* v7 i
A. 错误! E+ J% J- E2 }2 s% T/ j+ [
B. 正确: Y; e( |. h& t: b
: \6 v/ u$ j2 `, ~$ R+ |2 b2 @
14. f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].& R. w/ w/ L D1 h5 v) R0 U- Q0 E
A. 错误
$ P3 M- t$ C6 I1 }7 V, I8 XB. 正确
2 k- r j5 j' y3 ?# ?( W$ m - a9 {" j4 C% K0 y0 H1 w
15. 当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.; Q4 l0 h1 m) O, e' H
A. 错误8 f% H C% _& x3 I0 W
B. 正确
! n6 d6 k2 `, u0 } ' ^) J1 X8 G5 R, ]
16. 可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.+ g& H, c% y; @. I6 X4 m/ d/ j3 o9 b
A. 错误
; l( ]5 W- o! u; xB. 正确
5 ?1 B, ?1 A2 o) G; C4 t+ K
/ Z0 [0 { k5 D3 p9 d, d' c% p, k. l17. 有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
' n( ^# B; N6 q qA. 错误' U( V: d; p( Z% [) o, Y
B. 正确+ l% M% ~8 F% C3 u2 l, D3 E
i# v9 p6 @& y" O7 C% x
18. 对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
9 v/ C, ]8 J0 J# _. R7 e* V! r3 \A. 错误! H1 P2 w* F" a3 e& o
B. 正确" ]5 ? o* B+ A2 W3 R: c
9 x! q. i; V6 D
19. 绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。 B% s/ |. \9 v' o7 Q0 }% z
A. 错误
) O3 i5 Z. r7 K8 v. \/ m7 rB. 正确# R1 b# S- T1 @( {5 v* Q7 ^
1 b' E! x, H9 e/ B20. 若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].0 j6 e2 a s0 R. V- I* `& a
A. 错误
8 W x" {# ]' P. M# O) B) W0 J* bB. 正确; @/ ^; c+ q0 O! z( f5 ] m
- {! a8 y, I+ I. V
21. 若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.2 w8 y" t' e6 i, ?6 M
A. 错误3 g2 [3 |" r8 g/ @; d# P& C/ o
B. 正确! U9 X( i4 j# M
, `& u; @1 b2 T- R3 [2 c' P- G1 ^( b3 q
22. 若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.4 w4 @% l8 e' r
A. 错误3 y4 G& U- i0 U
B. 正确" L* R Y- Q0 o' ^1 P. h
23. 一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.' V. \) b- |; z" M) W7 w: L% F0 @: {) G0 L: q
A. 错误- ]0 R% U: {( D8 |* L0 ^7 K2 D
B. 正确/ v( D" W; n& L8 v
( |( ]. e' h9 N8 q1 n
24. 若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
$ `/ \; U5 C! n$ G' d) HA. 错误6 s1 Q0 Z' H; ]
B. 正确
: Z$ R% s; y) E ~: B( K" |
4 G8 b8 } B& W& W8 d/ x25. 若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
* l/ F* q p7 k9 \2 t. E& kA. 错误8 h. d H* [' a2 N% i
B. 正确
7 s5 F! e& u6 C! F- T! j # n2 v; k6 K8 r" f8 [
26. 增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
* Y& n* r% D& Q- yA. 错误. S; E7 g& ~0 M. e5 R% i
B. 正确) K% L3 H# }2 g3 O1 R3 l; ?
27. 设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
$ e" T4 F' o, k- Q# D; L) X8 `A. 错误
' ? v, O3 y. w7 {B. 正确
5 ~5 D/ n9 d4 ?" a' \! v # Y& f- w, [. W% c3 p2 ~) ^
28. L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
, r4 h0 n& @# }# BA. 错误/ l7 n& n8 ]% \6 }' O j8 v# Y
B. 正确
' ?. M$ Q& X# i, L6 {* l 2 o9 K* ]6 Z$ _
29. 若f可测，则|f|可测，反之也成立.: |) z$ |9 @- _9 s7 @) U/ U
A. 错误
' v2 o7 Y% z9 m# _" D% rB. 正确
) [; j" V* B l3 Z/ |
. q. ]1 J5 V7 |, a) f8 M! [( v30. 若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
* y; U8 v$ r$ M# p: j, N' LA. 错误
* y- g& v* ^$ OB. 正确
; Q: G2 F- k. Z( o$ b! i4 r3 H6 X& {
: x* j7 g' D5 J/ `, J6 v31. f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
& Z0 J( W$ T( ~$ eA. 错误
+ p7 Y* T6 K/ m# o( kB. 正确' p2 t6 n9 \- G. g4 ^% D& k9 ?3 B: l
! Z0 n j$ p0 l( X {4 }
32. 若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。# ?( ]9 J9 Z$ M1 w! X5 Z6 f
A. 错误
& G0 F3 _+ F B% D# \- {" CB. 正确
4 W; [8 G7 m5 G% _ u c% b# y! ~
. q" c: Q- D- J5 z" r" \33. 积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。! L% G5 ~- s$ i9 c5 `: \
A. 错误
/ X6 M2 ~' [3 D: t4 VB. 正确$ {3 m! _) w+ i$ q6 E
7 f M8 z! t/ d( g: E( F% _
34. f可积的充要条件是f+和f-都可积.
- `/ c% q! k4 X9 [. c. d( ^ RA. 错误; a: x9 `0 f: v9 i
B. 正确. G; Q8 ]. j" K1 r! U, K
$ h) D- B* P7 G$ S: `; o. ^' Z
35. g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
' k; ]$ i5 N, T1 tA. 错误
: K9 L- C2 O# b8 pB. 正确
# @. K; v) u8 ?6 g3 _6 `
3 l' ?: e# G# x2 ?7 N# |36. 函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。) T% I2 T7 s. L7 C
A. 错误! F* l! q& q1 X" C* W
B. 正确7 R) G! K4 f P% l
37. 若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
( f7 Q" T0 |& M$ f0 T7 mA. 错误9 w8 T" F, O- z& [
B. 正确
/ Z0 D% ?( v- ?4 U U& r
, z, x; N" z9 y% C, S/ Y
2 o* [$ I' G' Y' g* N+ e" `$ b* s2 o. Y% b$ ~3 l/ l4 i
8 E9 Q% I" p" Y8 Q4 w* l! I
福师《实变函数》在线作业二
- ?4 f- h4 K0 q( p7 M- o
$ n9 W) C& d) `7 M" U8 x判断题 单选题 多选题 * j' w' @# v7 o" \
% I$ s Y2 j( a% N7 n
& c: B8 ^$ }( G% j2 j
二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）
3 z6 Z7 M, g; ?% P1. 若|A|=|B|,|C|=|D|,则
' O* g# ^/ q/ J$ HA. |A∪C|=|B∪D|
6 |1 X1 J4 w$ Y4 i$ XB. |A∩C|=|B∩D|% r7 v6 V+ `) q) y+ r6 W* b& E; W
C. |A\C|=|B\D|
- L& n( r# ^4 w. c& d7 n' \3 c, sD. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|3 N$ n. P2 d9 b$ e, v9 D
) H! ?+ Z1 E. v4 [; B- D8 u
2. fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）3 F2 Z& T6 L) }. K
A. 充分条件* q$ m" _5 z+ r# Y& d+ u' J
B. 必要条件
$ K, i: r n$ @C. 充要条件/ h& D5 L0 x5 L8 u3 c2 e' s
D. 非充分非必要条件. U9 m3 z5 t, j8 C7 G/ @
/ y9 r( V% o- B4 r& n4 l6 {% K5 M
3. 开集减去闭集其差集是（ ）
- R8 B: [0 n- v/ W. ~5 ZA. 闭集+ }& g2 v( ?0 B
B. 开集
, Q2 i; L) f) { U& M. dC. 非开非闭集: H! f( p, K; L! e$ K
D. 既开既闭集
4 t# G" h6 m* U3 J5 N5 a
5 {! F6 D6 y2 Q" C m4. 下列关系式中不成立的是（ ）5 w9 F3 m0 C! E, Z1 z3 P
A. f(∪Ai)=∪f(Ai)
$ m1 w; o& R/ H! t2 t; vB. f∩(Ai)=f(∩Ai)
* W+ s3 a9 z: y% i5 T3 QC. (A∩B)0=A0∩B0' x+ t, n4 U7 X0 J; w$ F
D. (∪Ai)c=∩(Aic)) R' n% R/ \/ B. W" e
: ?2 v! _4 t) ~0 v/ m' B& ^- B: J
5. 若A为R^n中一疏集，则（ ）
- L* G- K3 o" X& b6 T6 [7 n) B' K2 HA. Ac为稠集9 Q# {- {, @! X: l
B. A为开集3 |9 B6 C2 Q$ R3 R( _$ w- g% A5 _1 q
C. A为孤立点集6 C& ?1 i7 r' T8 a, \ D
D. A不完备
7 t, e$ R8 X# }7 b 9 t9 V! \, ^5 m5 l0 D4 _
- W4 O1 D" ~* `2 `7 [$ l- Q" _6 ?/ Z% L/ p
, `4 R+ @9 c% l. u% B
福师《实变函数》在线作业二: [7 m& r. \1 b6 o2 `
3 N5 ` Y! b* T' h0 M4 h
判断题 单选题 多选题 . c5 P( }0 b# K% e4 C, y
) O% y+ k4 J# I9 J4 [- P
% [6 g" t" [0 @7 n w/ d三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）: s _: w" T0 ~0 a$ r
1. 若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）$ R1 q* c6 m$ `, _* u1 j% s' F
A. f+g不可测
! V( E. H( q- y( R2 t5 M3 G" c# V# p5 QB. fg不可测
6 d+ W5 U K. M. SC. g^2可测( g9 ~6 k2 l5 d3 R
D. |g|可测
+ f& G8 Q6 Z! J5 k4 t& S
8 \( E0 w9 x1 Z5 \" @, [2. 在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）- j7 L; O0 Z; I3 G# G
A. f在R上处处不连续6 q6 [4 w7 R) ?# x# r7 D% ^
B. f在R上为可测函数
; L/ w' ^0 K' v( CC. f几乎处处连续
$ j5 m) n" b; b/ }# b' YD. f不是可测函数8 i6 M" g! i" l$ Q c
3. f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
* h2 Y ~( Y3 _% _" K# yA. 广义R可积
5 l" s. Q( Q3 G8 Z+ q# f2 k5 LB. 不是广义R可积9 b4 m# a+ q/ P5 }1 X$ r- M
C. L可积& v: O, P+ x% W M0 Q) v5 o
D. 不是L可积. @! L/ p0 A V5 J- q, U
" A- I2 h7 r* e: M: L4. 设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
) y8 N5 j4 x( k5 qA. 有界函数 p: G4 _) G, b
B. 可测函数9 G6 x- v, i$ m# ~' J2 G& ?
C. 有界变差函数) H7 m, n. B3 w7 R! S' S3 V7 h
D. 绝对连续函数/ r a3 J0 R* G- y/ B1 V
% s; K! V& Y$ P# V3 ?9 ^" C+ D5. 若f∈AC[a,b]，则（ ）; }" v6 T% m5 K* O6 X; g' g; S4 z
A. f∈C[a,b]
- G) f- [( b8 k+ NB. f∈BV[a,b]
; s2 y) n1 k `7 N3 ?9 T0 I) YC. f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt1 `) l# m4 s' e6 \! }0 \+ \( f
D. f∈Lip[a,b]6 V( n4 w0 Q6 m) @
/ G5 G0 T5 P' F6 M& [6. 若f,g是有界变差函数，则（ ）
2 c+ U0 r5 c9 i$ d5 [7 F6 L( JA. f+g有界变差函数
8 ^ b5 G6 l' H+ x9 bB. fg有界变差函数8 P; d% p8 s: D3 V" v
C. f/g有界变差函数
7 d( T" a% Z8 j+ gD. max(f,g)有界变差函数
5 I- D' Y7 q* q0 O6 o( z# G( Q / V- x! N2 U8 u9 j0 o+ R
7. 若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
* A5 M" P% X# c" s: b$ AA. f可测
. W0 c' {' C! w8 V) VB. |f|可积
; J" Z' K* r6 y5 U7 B5 R9 qC. f^2可积8 U3 C# n! H! ^+ N7 t+ Y8 m
D. |f|<∞.a.e.( `3 E2 t5 |; p4 o4 z# {+ i
8. A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
# C& ?2 |& z ]: W/ K& Q$ N9 J$ j$ qA. f^-1(f（A）)=A
: Y# H* q' @! J4 T) ]. T3 U9 w! IB. f^-1(f（A）)包含A
% d' Q4 h2 I3 P2 G- B; f; B. fC. f(f^-1（A）)=A
9 ]" K t1 d* r3 p4 s; J: p( Q; lD. f(A\B)包含f(A)\f(B)
& _/ Q7 L; V" ~, ~& ~$ W
" r7 l% T5 X5 a9 L/ A$ b- E% c7 e: T: z
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发表于 2013-8-19 21:10:23
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