14春福师《实变函数》在线作业一辅导资料

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" n) w5 T. B1 Z7 ?+ I7 ]# K
, s/ N* c! z8 c一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）V 1.  若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
: ?& t& T5 V# Q2.  若f∈BV,则f有界。
A. 错误
. X1 b( f0 y, n3 u7 V% o' CB. 正确
      满分：2  分
3.  若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A. 错误
3 j9 n1 C, D8 ^7 oB. 正确
      满分：2  分
4.  测度为零的集称为零测集.
A. 错误
B. 正确
9 E; J* H6 Q1 ^1 P1 g1 ]      满分：2  分
5.  f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A. 错误
B. 正确
& B5 X& Q+ s6 M      满分：2  分
6.  若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
; K. c# k0 o$ ^$ R2 zA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
7.  绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
7 ^- D/ t4 u# W4 o8 G7 R8 j+ kA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
: s, Y" z5 U/ {$ y2 Z  h8.  若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
, t* e( f2 A, e. h  z, T9.  无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A. 错误
9 }( b4 _6 @# @% X& p; H! uB. 正确
( b4 h, G, N9 `8 ~0 s! w      满分：2  分
10.  若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
$ g9 E% l1 `4 \8 mA. 错误
% e& m- D, \/ R( NB. 正确
: h! n  ?* T, M, A0 Z      满分：2  分
11.  可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
% N" w) g6 M# Z8 ^' q: T12.  设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
B. 正确
. S* T7 Q, L1 ~4 u      满分：2  分
% V# y3 N4 U8 v13.  若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
. R$ q( }" g7 E. A6 \A. 错误
B. 正确
: K% E$ A7 j0 S1 R+ D; w4 F& `      满分：2  分
- M' ~- E7 O- f: V2 u$ n14.  若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
6 F$ I" [4 Z* b  ?& K& ^: |A. 错误
B. 正确
# ?, m1 g, U! E! w' [9 G* P3 x      满分：2  分
; a4 B8 l/ x6 B' {0 A! a15.  若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
. x$ p1 Z) ]6 Q$ sA. 错误
7 h# M5 D  Q( K4 k( E) m; @$ LB. 正确
1 s. D& ]/ f, ]" B      满分：2  分
$ p3 j! i2 h0 o3 Q16.  若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
0 }! l9 u& N8 ]; DA. 错误
$ z- K% x& C9 W) X. Q2 z: nB. 正确
      满分：2  分
# `, i4 H  H. s0 @; u% p7 x; x9 r/ j17.  若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A. 错误
B. 正确
0 q9 D0 ]* U0 _5 [      满分：2  分
18.  积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
5 {/ C8 E/ O6 B8 \A. 错误
# T) R3 U' o; k$ n7 I3 XB. 正确
. ^4 _. j" x; Y2 n6 b& _9 D% w7 Z( e      满分：2  分
19.  三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A. 错误
B. 正确
0 D4 i1 }; L$ C4 t+ a& k      满分：2  分
, K1 F3 Z- ?# R# P20.  f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
3 B# {! `% u2 q2 uA. 错误
% e& G9 Z0 h8 [( t, u6 G; c+ cB. 正确
      满分：2  分
21.  三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
A. 错误
7 Z0 z5 u+ a1 G/ P- x: R! ~B. 正确
) n+ J4 R/ [, ]3 l/ i: d' H8 Y6 M1 d      满分：2  分
8 e! G. |1 a5 s5 f  y22.  对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
& ?) ?& Z0 A% [: r3 }% q* b! d$ aA. 错误
0 s1 b) `6 l( t3 C. ?B. 正确
& `- g5 n# D% L+ y7 L      满分：2  分
$ L; L. S& {9 g6 \23.  利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
$ k) Y+ D/ Z/ n9 u% I* }A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
24.  函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A. 错误
7 N- b5 S' l) g+ ]  {! m7 dB. 正确
      满分：2  分
25.  存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
6 @9 `! {1 h! `% t6 J3 ~$ AA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
$ W2 `1 c7 u4 V( j1 N: V26.  若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
1 n6 w5 s# ~+ T0 Z1 `+ R6 j' UA. 错误
B. 正确
  n7 Q" a5 j' k: T- f' H- G      满分：2  分
# ?* ?1 @" ?5 L/ n6 V. X: w27.  不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
# f. B/ r) n1 Y: a4 m" I3 AA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
28.  积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
! [6 {! h, Z# {. G; S; jA. 错误
" x: v/ z' C" e" z+ x4 U+ fB. 正确
      满分：2  分
/ ^  j+ f. l" [# f5 ^; c# j29.  闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
' K6 G, b$ s! P, N; b5 r4 |A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
30.  有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
9 p8 s/ c- v( ]$ IA. 错误
3 X, N5 c, f3 |3 jB. 正确
0 O, J& M: l! |      满分：2  分
31.  存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
32.  设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A. 错误
B. 正确
" P7 h4 {- X" \# {4 @; a& |* R      满分：2  分
33.  f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
( h: H; m+ K3 B& D34.  当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
! J- ~4 z; r& e* ZA. 错误
  r' g3 J2 E+ hB. 正确
- y3 ~+ n! k; V/ a6 a4 i2 C      满分：2  分
* m' ?4 N! M. r1 j+ K4 a; b+ e# B/ A; j35.  L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
" L+ Q% ]: Z- }- Q$ `' BA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
, _4 `% p! j  l& P36.  若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A. 错误
B. 正确
* Y$ O; U) _+ H0 }. D      满分：2  分
7 L7 Y. q) D9 k, M3 T, P37.  若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.
A. 错误
B. 正确
/ B% c' p% ?6 F0 A7 {+ k      满分：2  分
, o. b& p  [1 p' e$ ]7 v
二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）V 1.  若A为R^n中一疏集，则（ ）
A. Ac为稠集
+ v" p2 G3 g. Z: z$ g. I  hB. A为开集
1 ^% K/ F) `4 S# E7 k  }' l' E. s! k# nC. A为孤立点集
D. A不完备
' a& }' F* n- U3 X      满分：2  分
9 J6 S* R8 G; y2.  设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
' \5 k7 l# p. ]% P. _2 {$ a1 gA. 连续函数
B. 单调函数
4 h; E: y- p0 S! ?$ |% KC. 有界变差函数
4 U5 c( F  p. P' x6 W# SD. 绝对连续函数
2 u+ `; F' {/ O0 M! t, i; h      满分：2  分
/ g# L1 v% m% ~9 o# v. |( |3.  fn->f,a.e.,则
A. fn依测度收敛于f
0 Q5 k" z6 K6 }9 C8 J# nB. fn几乎一致收敛于f
4 P1 [" m( }# M' qC. fn一致收敛于f
+ U) d# J$ ?; v" d  O: hD. |fn|->|f|,a.e.
      满分：2  分
4.  fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
. i6 i# ?+ ?! X3 W& b/ |1 dA. 充分条件
1 P1 X8 J, {/ d& r/ z: }5 o' ]B. 必要条件
! v; L2 y& e+ q" V7 s1 KC. 充要条件
. M8 l$ b" U# v# jD. 非充分非必要条件
      满分：2  分
5.  开集减去闭集其差集是（ ）
A. 闭集
B. 开集
5 A3 e, L! g1 Q. w5 d6 u  VC. 非开非闭集
( I; {! x1 ]* PD. 既开既闭集
      满分：2  分
  o0 n- v+ s: K9 r7 C. C
三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）V 1.  若0<=g<=f且f可积，则（ ）
) [6 c" q7 A" i) b" r0 DA. g可积
B. g可测
C. g<∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
- A3 K& t, i) z: x      满分：2  分
' {& ~$ ^5 u% M9 v* M  Y, }0 P2.  若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
# _6 Z, T$ S3 P; |A. f可测
9 U" t2 L& d3 k2 i2 l& |& ~1 wB. |f|可积
- _. F# ~& V- N/ ]. h0 qC. f^2可积
D. |f|<∞.a.e.
      满分：2  分
3.  若f,g是有界变差函数，则（ ）
A. f+g有界变差函数
: V) X  ]! G* ~" D+ bB. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
' K* @0 s6 @% @$ R; C  P7 z5 ED. max(f,g)有界变差函数
* [9 v! P3 E8 R5 v7 T- D% j      满分：2  分
4.  设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A. 是L可测函数
; i4 y, v- V; N2 I! {& K: `B. 不是L可测函数
C. 有界函数
D. 连续函数
" G) d- v6 `- \) A1 v      满分：2  分
$ x  O( C' S) |, [! i5.  若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
( h4 Z% z9 @( VA. f+g不可测
B. fg不可测
C. g^2可测
D. |g|可测
      满分：2  分
7 y5 }" }% E- E* f" M6.  设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A. 有界函数
B. 可测函数
) a; {+ r6 v* lC. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
* @# a4 j% p% k, }! s! |      满分：2  分
: {1 j+ c, o5 s" S! r7.  A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A. f^-1(f（A）)=A
8 |7 r  \4 c3 Q" m$ P9 d) K9 n3 j, TB. f^-1(f（A）)包含A
1 Y# F, _, F; I+ V/ ]) t0 CC. f(f^-1（A）)=A
! s! g0 _: I" P0 HD. f(A\B)包含f(A)\f(B)
  k( |) e; B; v      满分：2  分
0 v; ?& k2 F" i! O" d3 U8.  若f∈AC[a,b]，则（ ）
A. f∈C[a,b]
B. f∈BV[a,b]
) L$ Q) O/ j( _* d( v2 @+ @  f- bC. f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt
; U; t7 D7 F- `D. f∈Lip[a,b]
      满分：2  分
* x( M+ P2 W+ k9 A. c; d1 n
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