14春福师《实变函数》在线作业二辅导资料

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0 R: f' N' z4 J; s' c
一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）V 1.  无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A. 错误
/ \% v0 a, x) S/ ?. g( fB. 正确
      满分：2  分
2.  若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
2 [2 D4 @7 d8 ^7 j+ ^: G. ^A. 错误
4 O- b0 Q$ |  B9 A5 N6 t% s9 E$ yB. 正确
; A2 C. O! k" }6 H      满分：2  分
3.  绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
6 d4 X# z; ?+ x+ a  `A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
( f* V. B+ x7 {, U, Q8 M4.  有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
) U3 X2 |5 v4 U9 \, |: K5 s) oA. 错误
B. 正确
. f  ~# d9 ^* b# z4 F0 a  C8 k      满分：2  分
5.  f在[a,b]上为增函数，则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
/ \' O4 D7 o7 s4 C! G$ h$ [A. 错误
; u. [+ Z8 s$ {) XB. 正确
7 M# A* m7 y; p- |      满分：2  分
6.  若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
8 @! x% j8 k' k/ R% M% gA. 错误
4 P$ A) y2 S: x7 o# OB. 正确
      满分：2  分
# @; o: T$ o) z3 E; `7.  若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.
! u7 a. N2 ^1 n1 O& V$ a5 x: z) cA. 错误
9 z9 p* M0 V7 Q  q3 t+ j4 F8 ^$ HB. 正确
      满分：2  分
8.  积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
9.  R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A. 错误
B. 正确
" W( J/ s3 K7 t& X# P      满分：2  分
6 L  t5 n3 i: I5 y10.  f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A. 错误
& s) X  A0 I! h2 l4 \+ [) DB. 正确
      满分：2  分
+ I* ?; M& D+ T! T$ C' Q11.  若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
! d8 v; h% F  H8 _' i( h! j" OA. 错误
; P4 Z" o# O( p: y9 L9 ?" RB. 正确
      满分：2  分
12.  零测度集的任何子集都是可测集.
9 c, F8 w0 H/ q; }A. 错误
! n% b/ r: S7 j; K/ m0 cB. 正确
      满分：2  分
13.  对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
" F+ P5 b& n2 M  ?* I14.  f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
15.  不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
# [3 a7 R  X3 n4 ^A. 错误
9 g; |  n4 j" h( {' b! DB. 正确
      满分：2  分
- _: v/ h! Y( C16.  对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
6 W" _# q$ {! G5 p" `A. 错误
( m: ?3 f  w/ V& ~B. 正确
( }6 q/ O- L7 d+ K! g8 o, m      满分：2  分
17.  若f有界且m(X)<∞,则f可测。
A. 错误
* ^5 X$ S) `; O: ?5 NB. 正确
1 v, v& y6 H: W8 v: A      满分：2  分
4 |1 s" y: A# l. K/ A9 D2 X0 i18.  若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
' x# D9 E8 s2 g, T, Z4 y( |A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
19.  三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
: y+ J3 p4 H" U2 @* q0 G! uA. 错误
" a6 e( w' _. a# A( ZB. 正确
# e/ j/ ]! ?/ `" A2 G0 ~      满分：2  分
20.  当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
; R& J" a6 j' z1 v4 zA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
21.  函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A. 错误
B. 正确
8 J; w+ }  o3 D' u3 J) N      满分：2  分
22.  L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
- }' L" A& a6 x( xA. 错误
) R) b1 j: O+ s7 ^B. 正确
      满分：2  分
23.  若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
- o9 }8 t+ L" W! w3 ?+ oA. 错误
( \# [; A" o- a) q7 t9 E) C- HB. 正确
      满分：2  分
0 D) Z5 W3 L6 ]5 M: [$ t7 N) M24.  有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A. 错误
( e& }# F3 f. j. G! sB. 正确
4 ]9 b! J+ P! L+ h3 I      满分：2  分
25.  若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
/ m, F6 ]' d: f2 i, }+ c* ?3 PA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
26.  函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A. 错误
4 C/ a: ^/ y3 A! J6 T5 o; ?B. 正确
      满分：2  分
27.  若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
# T  p7 \9 s% d5 U2 _A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
4 m* F( X* y4 I+ O28.  f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A. 错误
- W0 |2 c1 w% t5 o. T. F/ |B. 正确
      满分：2  分
! _+ G+ `# c" `4 o. |29.  若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
3 q) B1 D" @$ j* d7 OA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
30.  三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A. 错误
, J6 s! l# L/ i: B, VB. 正确
      满分：2  分
& d1 Y+ @# V- @  E' C! b: m* |31.  若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
& A: @; B5 Y) _: T3 g; M% K: v9 dA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
$ c  O! S& |* B+ m3 a; d32.  若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
2 Q  D% E9 B2 p5 UA. 错误
8 v9 V4 N2 j1 X1 a2 a2 ZB. 正确
3 u( g3 D# L' f8 K) A$ }. m      满分：2  分
33.  一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确
4 E$ @% b. o$ e      满分：2  分
( B6 p; [' o' X" e8 ?34.  可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
. ]: H+ @; b! j$ Z* sA. 错误
4 G. u* c% N3 C! L' P8 x% e, VB. 正确
' W0 ?7 H& e7 t      满分：2  分
35.  可数集的测度必为零，反之也成立.
, o" X7 v9 y2 C* X  w/ P6 c" AA. 错误
B. 正确
3 M  D! F  a+ `6 z$ `5 _      满分：2  分
! E0 e# Z* Z- t" p4 L9 h36.  若f∈BV,则f有界。
+ W( @0 \3 g4 r) B( P7 jA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
37.  f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分

3 Q, m  O0 X1 f, t二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）V 1.  若f∈L(X),则
A. f在X上几乎处处连续
& o. m1 V0 u( b$ F) T4 A2 @: HB. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
C. 若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
; m% a0 x0 P  J4 U& l      满分：2  分
  b, Z' X3 o2 @+ W* M2.  有限个可数集的乘积集是（ ）
$ W1 I- Z; W0 y- I, |1 ~* UA. 有限集
+ `& V2 V8 H+ c3 Q' SB. 可数集
) L) P  e/ c( CC. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
; r% e* A: O0 s) N( F1 g      满分：2  分
  M3 f' E& |% ^' x& i# Q8 P3.  fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A. 充分条件
  A+ E6 b' ~) @, h& l5 P, FB. 必要条件
C. 充要条件
. W- Y9 d, _. l9 c  v' KD. 非充分非必要条件
      满分：2  分
- b8 ]: f. a: N% o4.  fn->f,a.e.,则
" I7 m# r9 v9 e+ `( j# ~" SA. fn依测度收敛于f
; C8 b6 ^7 K" c) j# Q) V5 kB. fn几乎一致收敛于f
6 _- b9 A$ Y- v( q$ v5 }C. fn一致收敛于f
  g% b; I4 C4 n' `# w4 R: nD. |fn|->|f|,a.e.
      满分：2  分
5.  若A为R^n中一疏集，则（ ）
A. Ac为稠集
4 H5 G( M5 }4 \' S& @( x+ S0 hB. A为开集
4 D8 X6 D9 e: \+ }( M2 x0 |C. A为孤立点集
% h! N" [2 Z. j! b" oD. A不完备
      满分：2  分
( R, A  a1 E( B7 n) s* l2 f
. g* H- R8 A6 A/ @* L$ {! N三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）V 1.  若0<=g<=f且f可积，则（ ）
$ Y5 l4 ~2 I  ?  S9 TA. g可积
. |8 E# j  [" ^. l/ w/ L5 T3 ^B. g可测
. d, v8 A( b$ C, F3 x' oC. g<∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
      满分：2  分
2.  设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A. fn测度收敛于|f|
$ T+ ?  ~4 T4 ~! e$ i6 FB. afn+bgn测度收敛于af+bg
, Z3 I4 ~: W: A  Q& b5 MC. (fn)^2测度收敛于f^2
D. fngn测度收敛于fg
      满分：2  分
# B. Z7 _& v9 v1 @) p3.  设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A. 几乎处处可微
B. L可积
C. f'可积
D. 区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
      满分：2  分
2 B" N, H6 N% N; e; u4.  若f,g是有界变差函数，则（ ）
A. f+g有界变差函数
% H3 H* N: L! M2 M5 {* _) HB. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
D. max(f,g)有界变差函数
      满分：2  分
5.  A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
, i$ ^7 L) o4 M* w' T) _# k      满分：2  分
6.  若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A. f+g不可测
( k; X/ Y  z% nB. fg不可测
5 y' E5 @1 I& N  {! o8 g5 T' NC. g^2可测
D. |g|可测
      满分：2  分
0 {* o2 Z" p4 b0 s3 t7.  若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
* P& o, w- }4 J& T0 K9 o8 ]. @A. f可测
: O- Y1 t( b' tB. |f|可积
+ `3 s$ Q+ Y' TC. f^2可积
D. |f|<∞.a.e.
      满分：2  分
8.  若f∈BV[a,b]，则（ ）
A. f为有界函数
2 i  S1 p7 X- NB. Vax(f)为增函数
5 j6 U/ {  g: E! l: WC. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
      满分：2  分

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. L2 W: b% i; `9 J