14秋福师《实变函数》在线作业资料二辅导资料

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: m8 J) k' A/ j% W1 U6 k* z
$ x4 R; d' `5 V. a( ]0 x" v一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）V 1.  测度为零的集称为零测集.
A. 错误
; H8 E8 W; {  h% b' Z5 EB. 正确
- R  x+ _) p/ t7 k      满分：2  分
+ {- F6 w4 L& Q) o0 H+ O2 r' X6 U2.  存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A. 错误
7 R, o$ X5 u3 B* Q7 eB. 正确
      满分：2  分
' I( u& `% }! H' @3.  对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
4.  f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
: q; K' w) d/ ?5 RA. 错误
) p' m6 x, B  e3 IB. 正确
      满分：2  分
. H% ^* W; d: X! l3 j5.  若f可测，则|f|可测，反之也成立.
" e. a* Z3 R% L$ Z# E3 UA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
6.  若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
6 @, }1 R- J; TA. 错误
B. 正确
  t8 A6 }  ]  p) q. Z      满分：2  分
% I9 g8 H5 m: t% h7.  若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
0 z  v) f# ?6 s9 A: Q8 X6 V8.  三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
A. 错误
$ e7 H7 I% D) o& @9 Z) Q. f+ yB. 正确
: f- M- c& K5 I1 m/ ?      满分：2  分
9.  可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
* E% S4 F3 N  ?" zA. 错误
; @9 Q# l& h1 cB. 正确
      满分：2  分
10.  若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.
A. 错误
3 f* L" A; t3 h! [" X0 z) JB. 正确
: ^% T/ Y* ]) S/ z$ P: D      满分：2  分
11.  若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A. 错误
8 b3 w) }6 \( R) sB. 正确
2 F+ a6 U5 P2 f0 ~) D+ ~      满分：2  分
8 l2 B5 ~: _; M' i- p( q( T12.  f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A. 错误
B. 正确
- X! t, y) P) H2 M4 q1 q      满分：2  分
% ]- b# C6 t9 i& v& U& @$ e13.  三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
: N2 S( ]1 v9 a& t1 ~A. 错误
0 h& G7 w; U0 ~: c: {B. 正确
      满分：2  分
- J/ u$ T, M! D: z9 u0 H4 v; j% v14.  利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
A. 错误
4 T0 c  p* J3 N2 S% ~# t9 fB. 正确
) c& U+ }/ u! v4 Y      满分：2  分
# }0 w4 Z7 {2 u+ |6 ?8 ]- [2 c  Y15.  若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
$ `1 g* n0 b! ?6 t  KA. 错误
B. 正确
/ |- g, y# u  B7 |) A/ r4 J- q      满分：2  分
* n2 l/ F1 I, I( O16.  R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A. 错误
" u8 p$ I) H! O- EB. 正确
$ O% a/ c  H* G      满分：2  分
17.  若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
" m! z4 e8 W" u) IA. 错误
B. 正确
) i, i2 ?  `& f% D$ ~! d# i      满分：2  分
18.  若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
19.  一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
+ K0 c; v. z1 {$ Y/ v# B& cA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
' g, e$ z' Z3 m20.  f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
& k, c( u( r& g' ]. s! kA. 错误
* H6 q) K7 K, f2 H* c- W* `/ r5 sB. 正确
      满分：2  分
21.  若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
3 k4 {+ B+ u/ j1 G( PA. 错误
B. 正确
; t0 T5 c1 r$ P      满分：2  分
! m6 ^" i7 Q/ d& H: T) |22.  绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A. 错误
B. 正确
3 W/ b# g  M/ y8 |& m& W, m2 h      满分：2  分
9 a% \- \$ W) Z, I9 Y23.  无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
# K7 |  `4 T) @( M. M' O1 ]A. 错误
6 l$ d8 S: n6 B& \1 aB. 正确
      满分：2  分
4 G  d1 H6 {1 a8 k+ }' \2 H( \24.  f可积的充要条件:|f|可积。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
25.  测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A. 错误
" T. [5 V! t/ S. J9 _) z- JB. 正确
/ R8 c" a% Q- I' t2 M6 ?3 y4 r      满分：2  分
26.  f可积的充要条件是f+和f-都可积.
8 }+ r$ j; q" \0 AA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
27.  函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
5 y" D7 `) G7 z+ L& dA. 错误
. X8 t# ?- e! G' ~B. 正确
      满分：2  分
4 v# p2 n' w$ F28.  设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
B. 正确
5 M, r' c1 ^+ I      满分：2  分
29.  有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
, g6 b. T' X. T3 O  W) iA. 错误
B. 正确
8 k. {4 m6 S/ p+ d5 |6 w      满分：2  分
, _- c% r) k; ]6 p% U+ p9 l) D30.  f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
# K& l3 I6 n$ E0 H! W! R31.  三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A. 错误
B. 正确
- A! g' H* L; |, m  i0 d0 x      满分：2  分
32.  连续函数和单调函数都是有界变差函数.
2 X, |" ]2 `7 \; tA. 错误
6 E6 C$ G( t3 P4 i, S5 Q8 yB. 正确
      满分：2  分
33.  若f有界且m(X)<∞,则f可测。
A. 错误
* _# s1 Z/ B* b/ D& ]$ n$ o6 nB. 正确
      满分：2  分
8 O% Z" T. P9 i% |- f34.  g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
A. 错误
B. 正确
9 e! I/ b# d, a7 M* H6 D* [1 c      满分：2  分
- M+ `  n3 r: w' ~5 M- c% E35.  若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A. 错误
2 B! _# N# \; d- YB. 正确
/ y* B8 z* G) @% A' B      满分：2  分
36.  f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A. 错误
; G5 @- }. D1 j) x. m5 i1 s2 o: T  fB. 正确
' S, C% W5 x; x( C      满分：2  分
6 j' o( g) |9 g6 F2 R37.  f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
8 k; t6 l; t) b1 c6 I3 d8 b
二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）V 1.  若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A. |A∪C|=|B∪D|
7 p2 B- X( @& c& J3 aB. |A∩C|=|B∩D|
, A: K8 k5 M3 WC. |A\C|=|B\D|
D. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
      满分：2  分
2.  下列关系式中不成立的是（ ）
A. f(∪Ai)=∪f(Ai)
B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
- O5 [% a1 a7 G" L. D/ GC. (A∩B)0=A0∩B0
D. (∪Ai)c=∩(Aic)
      满分：2  分
# x3 d" F2 \* P7 }3.  若f∈L(X),则
8 \  x" u5 R3 F6 cA. f在X上几乎处处连续
8 ^% S+ h$ I+ P( o% uB. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
C. 若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
/ _! C' I* H) d" E% {+ |! z8 a' V      满分：2  分
2 ]4 k- P- ^8 h. @. |4.  在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A. mE=0
! G7 S# m/ j3 R# V9 C+ f' QB. 0<mE<+∞
# \( x+ G, o9 }2 J7 v: x0 ^) OC. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
      满分：2  分
5.  设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A. 连续函数
* m* B9 ~% w; U% T9 g# nB. 单调函数
C. 有界变差函数
5 r* z# c, K* C$ E: @% XD. 绝对连续函数
1 p  j. c6 S6 r1 w* ^. g      满分：2  分
$ }: a, U6 j# x1 D) g
三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）V 1.  设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
! o% p' v0 _2 @" rA. 是L可测函数
B. 不是L可测函数
: k) g: Q5 K" a- ~C. 有界函数
D. 连续函数
3 u0 T: v9 w, F9 o      满分：2  分
. N1 f% N5 u; W4 S& ?" v/ x" A2.  若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A. f可测
' e0 x0 {' T+ H& I% EB. |f|可积
C. f^2可积
D. |f|<∞.a.e.
      满分：2  分
) O3 a" \; r1 l3.  设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
4 E! C2 g% N' O  W$ P6 d& l( S" H% sA. fn测度收敛于|f|
& E# O4 q5 r" t4 ?  y  }; KB. afn+bgn测度收敛于af+bg
. G9 Q! g; C8 s3 B9 e4 Z, B' G) WC. (fn)^2测度收敛于f^2
D. fngn测度收敛于fg
      满分：2  分
4.  设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
+ }6 e" L2 d( A/ G$ bA. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
: l  }) g7 ?  m. Y# wB. 若E1包含于E2,mE1<=mE2
4 u, X- A# y4 |1 SC. 若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
      满分：2  分
5.  若f∈AC[a,b]，则（ ）
A. f∈C[a,b]
B. f∈BV[a,b]
C. f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt
! ^" F, U7 R, E) T2 m$ |$ F3 ED. f∈Lip[a,b]
( [" u0 H5 p, m4 f/ ?5 e; p      满分：2  分
) G" l' T6 T# r) U$ d8 v: l6.  f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A. 广义R可积
0 P9 J: s  ?# m6 }2 E& r) D7 |B. 不是广义R可积
C. L可积
D. 不是L可积
      满分：2  分
. Q/ {3 n2 m8 t5 Q7.  若f∈BV[a,b]，则（ ）
* U  u1 r! N2 o8 C9 ZA. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
* m- B3 f" S9 X2 Y8 b: D8 N. W4 ~7 JD. f至多有可数个第一类间断点
      满分：2  分
: [! u- V7 i3 x2 y# Q6 |8.  A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
- a" T. J' j+ YA. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
( m; w; ]/ ?4 Z3 v6 E" r2 J/ ~: KC. f(f^-1（A）)=A
! Y. D- N9 e/ J6 I! yD. f(A\B)包含f(A)\f(B)
      满分：2  分
  a( {( o$ `+ M) ?8 w
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