东师《高观点下中学数学——分析学》练习题辅导资料

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《高观点下中学数学——分析学》练习题一
一、        填空题
1.若 ，则 .
2.若 ，则 .
3.设 ，若 ，则称 为从 到 上的      .
4.若复数 是某个整系数多项式方程的根，则称 是     数.
5.设 ，则 .
6.设函数 定义在开区间 内，对于 ，有 ，则称 是 内的      函数.
7若 ，则 .
8.若 ，则 .
9.设 ，若 ，有 ,则称 为从 到 上的      .
10.含有     的等式叫做函数方程.
11.设 ，则 .
12.设函数 定义在开区间 内，对于 ，有 ，则称 是 内的      函数.
13．                   。
14．设 ，则 。
15．设 是非空实数集， 当且仅当1）         ，2） 有 。

二、单项选择题
1.设 ， ，有 .                                       
      A.              B.             C.           D.  
2. 设R是X中的关系，若 ，则称R为（      ）
  A. 反身的         B. 对称的       C. 反对称的    D. 传递的
3.  是一集合，对于 ，规定 则 是一（      ）.
  A. 全序集         B. 半序集       C. 有序域      D. 序完备集
4. 集合 ，则（       ）
  A.           B.         C.         D.  
5. 函数 在开区间 内可导，则 在开区间 内（      ）.
  A. 有界            B. 连续          C. 导数有界        D. 有任意阶导数
6.设 是 内充分光滑的严格下凸函数，则（    ）
A.  在 内必取到最小值  B.  在 内必取到最大值
C.   在 内有   D. 前三个结论都不对
7.设 ， ，有 .
A.      B.        C.       D.     
8自然数集 ，是（    ）
A.  有限集   B.  可列集   C.   不可列集   D.  空集
9设 定义在 上， 是 的极小值点，则（    ）
A.          
B.         有  
C.    当 时，有
D.   
10.设 是二元函数，且 使得 ，则函数 是（   ）
A.有理函数   B.   无理函数  C.   代数函数  D.  超越函数
11.设 是 内的严格上凸函数，则（    ）
A.  在 内必取到最大值  B.  在 内必取到最小值
C.   在 内有   D. 前三个结论都不对
12.  在 内连续可导，且 ，使得 ，则 是（    ）
A.   稳定点   B. 极值点   C. 拐点  D.  临界点
13． ，当 （     ）时， ，有
A．连续  B．可导    C．是满射    D．是单射
14．按教材中定义，0是（      ）
A．自然数  B．整数而不是自然数  C．奇数   D．超越数
15．定义实数集 上的两个函数 与 ，它们之间的关系是（    ）
A．相等   B． 不相等   C．线性无关   D．相似

三、计算题
1.设 ，求
2.设 ，求
3.求函数 的极值
4.已知 重根号），求
5设 ，求 .
6.已知 的曲线经过点 ，且曲线上任意点的切线的斜率是该点横坐标的2 倍，求 .
7.已知 ，求 .
8.已知 ，求 .
9．设 与 是两个复数，求 ，并说明几何意义.
10．已知 ，求 .
四、证明题
1.证明（1）
      （2）
2.证明 设数集 与 均有上界，则集合 有上界，且

3.证明 设 ，有

4.证明 设 是从 到 的连续函数，则存在点 ,使得 .

5设 定义在 上，对于任意的 ，有 ，则 是常值函数.
6.证明（1）    (4分)
(2)    （4分）
7.若函数 在闭区间 上连续，且 皆属于 ，则至少存在一点 ，使得

8.设 证明
9． 是集合 中的两个等价关系。证明：若 是等价关系，则 = 。
10．证明方程 在 内有且仅有一实根。



《高观点下中学数学——分析学》练习题二
一、        填空题
1．集合 中的关系 同时为反身的、对称的、（   ），则称关系 为等价关系。
2．一个集合若不能与其一个真子集建立一个（      ），则称该集合为有限集。
3．函数 在点 的邻域内有定义，若（      ），则称函数 在点 处连续。
4．设 是从 到 上的连续函数，满足：
1）（            ）；
2）对于 有 ,则 是以 为底的对数。
5．若函数 是定义在 上的连续函数，且满足：
1）（   ）；
2） ，当 时， ；
3） ,则分别称 是正弦函数与余弦函数。
6．设 为从集合 到集合 中的关系，若 ,有唯一的 ，使（    ），则称 为（从 到 中的）映射。
7、集合 中满足（     ）的二元关系称为序关系。
8、设 是非空数集，若存在实数 ，满足：1） 有 ；2） ，有（   ），则称 是数集 的上确界。
9、函数 在点 的某个邻域内有定义，设在 处的改变量是 ，相应的函数改变量 = ，若 存在，则称函数 在点 （      ）。
10、若 是定义在 上的非零连续函数，且满足方程（       ），则称 是指数函数。
11、函数 是 上的连续函数，且满足：
1）（   ）；
2） 有最小正根 ；
3） ，则分别称 是余弦函数.
12、既上凸又下凸的函数是 （    ）.
13．致密性定理是：有界数列 必有                        。
14．对于 ，令 ，则对于 ，有 。
15．设 ，则 。

二、单项选择题
1．
A．=   B．     C．    D．
2．实数集 是（      ）
A．有限集  B．可列集  C．不可列集   D．空集
3． 是从 到 的映射，且 ， ，则
A．=   B．     C．    D．
4．函数 在点 处（   ）
A．间断    B．连续   C． 可导   D．取得极小值
5．函数 与 在 上有界，且 ，则 在 上（      ）。
A．有界    B．无界  C．有下界而无上界  D．结论不定
6．下面结论（   ）是正确的。
A．若 是单调函数， 也是单调函数，则 是单调函数。
B．若 在数集 上可导，且 有界，则 在 上有界
C．若 是周期函数， ，则 是周期函数
D．若 在数集 上有界且可导，则 在 上有界
7、   。
A．=   B．     C．    D．  
8、复数集C是（      ）。
A．可以成为有序域   B．不能成为有序域   C．不能成为有序集   D．前三个结论都不对
9、 是从 到 的映射，且 ， ，则 。
A．    B．     C． =  D．  
10、函数 ，在点 处（      ）。
A．可导    B．连续   C．间断   D．前三个结论都不对
11、函数 在开区间 内连续，则（      ）正确。
A． 在 内有界     B． 在 内可导
C． 在 内取得极值    D．前三个结论都不对
12、函数 定义在区间 内，且在点 处连续，则结论（       ）正确。
A．  在点 的某个邻域内有界   B．  在 内有界
C．  在点 处可导      D． 在点 处取得极值.
13．设 是其定义域内的严格单调增加函数，则（   ）
A． 不一定有反函数；              B． 有连续的反函数；
C． 有反函数且反函数严格单调增加； D． 有反函数且反函数严格单调减少。
14．设 是其定义域内可导，则（      ）.
A．  在其定义域内有界；    B． 在其定义域内有界  
C． 在其定义域内有界       D．前三个结论都不对
15．设 是一非空有界闭凸集， 是严格下凸函数， 是极小值点，则（      ）.
A． 是最小值点.             B． 不一定是最小值点
C．还可能有其他的极小值点     D．前三个结论都不对

三、计算题
1．求过抛物线 上的点 的切线方程。
2．已知 ，求 。
3．已知 ，求 的最小值。
4．若 ，求 。
5、求过椭圆 上的点 的切线方程。
6、已知 ，求 。
7、已知 与 是复数，且 ，求  。
8、已知 ，且 ，求 的最大值。
9．求 为何值时， 是严格单调增加函数？.
10．在第一象限内有定点 ，过点 做线段 ，点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上， 为坐标原点。求点 与点 的坐标各为多少时 的面积最小，最小面积是多少？.

四、证明题
1．设有映射 ，证明：
（1）若 是满射，则 是满射．
（2）若 是满射，且 是单射，则 是满射．
2．若 在点 处连续，则 在点 处也连续．
3．证明：方程 在区间 内有且仅有一个实根。
4．证明 不是周期函数。
5、设有映射 ，若对于任意的 ，有 ，则 是单射， 是满射。
6、若 在 上连续，且 ，则 在 上有界。
7、证明：两个多项式
,
在区间 内相等（ ）当且仅当
8、证明：若 ，则   。
9．证明：当 时，有 .
10．设 为三角形三内角，则 .