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东师《数学建模课程》练习题辅导资料

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发表于 2015-3-8 21:16:54 | 显示全部楼层 |阅读模式
谋学网
《数学建模课程》练习题一
一、填空题
1. 设开始时的人口数为 ,时刻 的人口数为 ,若人口增长率是常数 ,那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为                        。
2. 设某种商品的需求量函数是 而供给量函数是 ,其中 为该商品的价格函数,那麽该商品的均衡价格是        。
3. 某服装店经营的某种服装平均每天卖出110件,进货一次的手续费为200元,存储费用为每件0.01元/天,店主不希望出现缺货现象,则最优进货周期与最优进货量分别为                      。
4. 一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是                      .
5.设开始时的人口数为 ,时刻 的人口数为 ,若允许的最大人口数为 ,人口增长率由 表示,则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为          .
6. 在夏季博览会上,商人预测每天冰淇淋销量 将和下列因素有关:   
(1)参加展览会的人数 ; (2)气温 超过 ; (3)冰淇淋的售价 .
由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为          .
7、若银行的年利率是 %,则需要          时间,存入的钱才可翻番. 若每个小长方形街路的
8. 如图是一个邮路,邮递员从邮局A出发走遍所有长方形街路后再返回邮局.   
边长横向均为1km,纵向均为2km,则他至少要走          km..    A   
               
               
               
  



9. 设某种新产品的社会需求量为无限,开始时的生产量为100件,且设产品生产的增长率控制在0.1, 时刻产品量为 ,则 =                     .
10. 商店以10元/件的进价购进衬衫,若衬衫的需求量模型是 是销售单价(元/件),为获得最大利润,商店的出售价是          .
二、分析判断题
1.从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题,需要哪些数据资料(至少列举3个),要做些甚麽建模的具体的前期工作(至少列举3个) ,建立何种数学模型:一座高层办公楼有四部电梯,早晨上班时间非常拥挤,该如何解决。
2.某种疾病每年新发生1000例,患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人,到2005年将会出现甚麽结果?有人说,无论多少年过去,患者人数只是趋向2000人,但不会达到2000人,试判断这个说法的正确性.
3.一条公路交通不太拥挤,以至人们养成“冲过”马路的习惯,不愿意走临近的“斑马线”。交管部门不允许任意横穿马路,为方便行人,准备在一些特殊地点增设“斑马线”,以便让行人可以穿越马路。那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素?试至少列出3种。                  
4. 某营养配餐问题的数学模型为
minZ=4x1+3x2
s.t.
  其中 表示参与配餐的两种原料食品的采购量,约束条件(1)、(2)、(3)依次表示铁、蛋白质和钙的最低摄入量。并用图解法给出了其最优解 ,试分析解决下述问题:
(1) 假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变,会出现什么结果?
(2) 本题最后定解时,只用了直线(1)与直线(3),而直线(2)未用上,这件事说明了什么?试从实际问题背景给以解释.
5.据绘画大师达芬奇的说法,在人体躯干与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点。也就是说,这个比值越接近0.618,就越给人以一种美的感觉。很可惜,一般人的躯干(由脚底至肚脐的长度)与身高比都低于此数值,大约只有0.58—0.60左右。
设躯干长为 ,身高为 ,一位女士的身高为 ,其躯干与身高之比 ,若其所穿的高跟鞋高度为(单位与 , 相同),那么,她该穿多高的高跟鞋( =?)才能产生最美的效应值。
三、应用题
1.从厂家A往B、C、D三地运送货物,中间可经过9个转运站 .从A到 的运价依次为3、8、7;从 到 的运价为4、3;从 到 的运价为2、8、4;从 到 的运价为7、6;从 到 的运价为10、12;从 到 的运价为13、5、7;从 到 的运价为6、8;从 到 的运价为9、10;从 到 的运价为5、10、15;从 到 的运价为8、7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线。
2. 试求如表2所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用:
       表2        单位:百元/吨
     销地
产地   运价       
B1      B2      B3       B4       
产量
A1

A2

A3
        3       5       2        9

4       7       5        12

6       9       10       11        20

15

25
销量        10     20       15       15       
  

3.某工厂计划用两种原材料 生产甲、乙两种产品,两种原材料的最高供应量依次为22和20个单位;每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位,产值为3(百元)乙的需要两依次为3、1个单位,产值为9(百元);又根据市场预测,产品乙的市场需求量最多为6个单位,而甲、乙两种产品的需求比不超过5:2,试建立线性规划模型以求一个生产方案,使得总产值达到最大,并由此回答:
(1)        最优生产方案是否具有可选择余地?若有请至少给出两个,否则说明理由.
(2)        原材料的利用情况.
   
4. 两个水厂 将自来水供应三个小区 每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见表.试安排供水方案,使总供水费最小?
       小区
   单价/元
水厂       
   





供应量/

        
  10         6         4           170
         
   7         5         6           200
  
需求量/
  
160       
90       
150                
5、有某种物资从城市 运往城市 .中间可以通过 七个城市运抵目的地。各城市之间的可通道路及其间距离如图所示(单位: ).试设计一个从 到 的运输路线,使得总运输路程最短,并求出最短路线.

   







《数学建模课程》练习题二
一、填空题
1. 若 则 与 的函数关系是         
2. 有人观察到鱼尾每摆动一次,鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等,则鱼尾摆动的次数 (次/秒)、鱼身的长度 和它的速度 的关系式为          .
3. 已知行星的质量与它的密度和它的半径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径的 倍,且它的平均密度是地球的 倍,则此行星质量是地球的          倍.
4. 马尔萨斯与逻辑斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了         
5. 设 表示挣的钱数, 表示花的钱数,则“钱越多花的也就越多”的数学模型可以简单表示为          .
6. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择,队1有 个顾客,每人都买了 件商品,队2有 个顾客,每人都买了 件商品,假设每个人付款需 秒,而扫描每件商品需 秒秒,则加入较快队1的条件是          .
7. 在建立人口增长问题的逻辑斯蒂克模型时,假设人口增长率 是人口数量 的递减函数,若最大人口数量记作 为简化模型,采用的递减函数是          .
8. 一次晚会花掉100元用于食品和饮料,其中食品至少要花掉40%,饮料起码要花30元,用 和 列出花在食品和饮料上的费用的数学模型是         
9. 设某种商品的需求量函数是 (万件),其中 为该商品的价格函数,那么该商品的社会最大需求量是            .
10. 设某种商品的供给量函数是 ,其中 为该商品的价格函数,那麽该商品下一时段的价格达到         ,才能迫使供给商停止供给。
二、分析判断题
1.地方公安部门想知道,当紧急事故发生时,人群从一个建筑物中撤离所需要的时间,假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离,应制定甚麽样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素,并使用数学符号表示.
2. 假设某个数学模型建成为如下形式:
                        
试在适当的假设下将这个模型进行简化.
3. 要为一所大学编制全校性选修课程表,有哪些因素应予以考虑?试至少列出5种.
   
4. 一起交通事故发生3个小时后,警方测得司机血液中酒精的含量是 又过两个小时,含量降为 试判断,当事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定(不超过80/100 .
5、为了节约用水,业内人士提出水费应按照阶梯式进行收费。譬如对于居民用水收费,在一般月用水量的平均值之内按照原价格收取,超出部分要加大收费力度。对此问题建立模型应该考虑那些问题和因素?至少列举三个。
三、应用题
1. 某铝合金加工单位要加工一批成套窗料,每套窗料含有 和 长度的料各两根,总计要加工 套,所用原料的长度均为 试建立整数规划模型以给出一个截料方案,使得所用原料最少?
2. 求如图所示网络中 到 的最短路线及其路长.

                                      

3. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料,生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位,产值为580元;生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位,产值为680元,三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案,使得总产值达到最大,并由此回答:
(3)        最优生产方案是否具有可选择余地?若有请至少给出两个,否则说明理由.
(4)        原材料的利用情况.

4. 三个砖厂 向三个工地 供应红砖.各砖厂的供应量与各工地的需求量以及各砖厂调运红砖到各工地的单价见表.试安排调运方案,使总费用最小?
       工地
   单价/百元
砖厂       
   





供应量/万块
        
  10         6         4           170
        
   7         5         6           200
        
   8
         3
         9
           150
需求量/万块        160        180         180       

5、求解以下线性规划模型,并回答所给两个问题:

(1)该模型的最优解是否唯一?为什么?若有两个以上最优解,请至少给出两个。
(2)若其中的 代表两种商品的产量,且 的销售情况比较 要差些,那么你选择哪一个最优方案?为什么?
(3)若每个约束条件的右端项依次表示生产所需三种材料,那么对于你所选择的最优解,这些材料的利用情况怎样?





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