南开15春《运筹学》期末复习资料

谋学网 · 发表于 2015-9-6 21:14:45

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课程名称运筹学
教
材
信
息教材名称《实用运筹学》—运用Excel2010建模和求解
出版社中国人民大学出版社
作者叶向
版次 2013年5月第2版
注：如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点
一、客观部分：（单项选择、多项选择、判断）
（一）多选题
1．线性规划模型由下面哪几部分组成？（ABC）
   A决策变量  B约束条件  C目标函数  D 价值向量

★考核知识点: 线性规划模型的构成.（1.1）
附1.1.1（考核知识点解释）：线性规划模型的构成：实际上，所有的线性规划问题都包含这三个因素：
（1）决策变量是问题中有待确定的未知因素。例如决定企业经营目标的各产品的产量等。
（2）目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述。例如利润最大、成本最小等。
（3）约束条件是指实现问题目标的限制因素。如原材料供应量、生产能力、市场需求等，它们限制了目标值所能到达的程度。

2．下面关于线性规划问题的说法正确的是（AB）
A．线性规划问题是指在线性等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。
B．线性规划问题是指在线性不等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。
C．线性规划问题是指在一般不等式的限制条件下，使某一线性目标函数取得最大值（或最小值）的问题。
D．以上说法均不正确

★考核知识点: 线性规划模型的线性含义.（1.1）
附1.1.2（考核知识点解释）：所谓“线性”规划，是指如果目标函数是关于决策变量的线性函数，而且约束条件也都是关于决策变量的线性等式或线性不等式，则相应的规划问题就称为线性规划问题。


3．下面关于图解法解线性规划问题的说法不正确的是（ BC ）
A在平面直角坐标系下，图解法只适用于两个决策变量的线性规划
B 图解法适用于两个或两个以上决策变量的线性规划
C 图解法解线性规划要求决策变量个数不要太多，一般都能得到满意解
D 以上说法A正确，B，C不正确

★考核知识点: 线性规划图解法的条件. （1.2）
附1.1.3（考核知识点解释）：线性规划图解法的条件：对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标上作图.

4．在下面电子表格模型中，“决策变量”的单元格地址为

（ AB ）
   A . C12       B .  D12       C . C4    D. D4

★考核知识点: 电子表格中如何建立线性数学模型. （1.3）
附1.1.4（考核知识点解释）：电子表格中的数学模型的建立：（1）要做出的决策是什么？（决策变量）；（2）在做出这些决策时有哪些约束条件？（约束条件）；（3）这些决策的目标是什么？（目标函数），将对应的问题数据放在相应的电子表格中即可.


5．通常，在使用“给单元格命名”时，一般会给（ABCD ）有关的单元格命名
A  公式    B 决策变量          C 目标函数       D 约束右端值
                                                                     ★考核知识点: 给单元格命名的原则. （1.3）
附1.1.5（考核知识点解释）：给单元格命名的原则：
一般给跟公式和模型有关的四类单元格命名。例如：在例1.1电子表格模型中，单元格命名如下：
（1）数据单元格：单位利润（C4

4）、可用工时（G7:G9）；
（2）可变单元格：每周产量（C12

12）；
（3）输出单元格：实际使用（E7:E9）；
（4）目标单元格：总利润（G12）。

6．按下面指定的括号填入下面所给的正确选项（BCD）
一般在给“单元格命名”时，应在（  ）菜单中，单击指向（  ），再选择（  ）
A视图          B插入             C名称          D指定

★考核知识点:单元格命名的步骤. （1.3）
附1.1.6（考核知识点解释）：给单元格命名的步骤：
（1）选定需要命名的区域，把行列标志（名称）也包含在内；
（2）在“插入”菜单中，指向“名称”，再选择“指定”选项；

7．线性规划问题求解的结果有（ ABCD  ）
A唯一解          B无穷多解          C无解       D无界解

★考核知识点:线性规划解的结果分类，（1.4）
附1.1.7（考核知识点解释）：线性规划解的结果分类：唯一解、无穷多解、无解和无界解.

8．下面关于线性规划的灵敏度分析的说法正确的是（ABC ）
A 分析系数的变化，以决定是否需要调整决策；探讨在原线性规划模型的基础上增加一个变量或者一个约束条件对最优解的影响
B  分析系数的可能变化，以决定是否需要调整决策；探讨在原线性规划模型的基础上增加一个变量或者一个约束条件对最优解的影响
C  分析的可能变化，以决定是否需要调整决策；探讨在原线性规划模型的基础上增加一个变量或者一个约束条件对最优解的影响
D  以上说法均不正确。

★考核知识点:灵敏度分析定义。（2.1）
附1.1.8（考核知识点解释）：灵敏度分析的定义：
（1）灵敏度分析研究的一类问题是对于线性规划模型的各系数cj、bi、aij都有可能变化，需要进行进一步对其进行分析，以决定是否需要调整决策。
（2）灵敏度分析研究的另一类问题是探讨在原线性规划模型的基础上增加一个变量或者一个约束条件对最优解的影响.

9．根据下面的灵敏度报告，

试分析，在最优解保持不变的情况下，下面说法正确的是（ AB  ）
A 门的单位利润允许变化的范围为[0，750]；
B 窗的单位利润允许变化的范围为[200，+∞）；
C 门的单位利润允许变化的范围为[150，750]；
D窗的单位利润允许变化的范围为[0，+∞）。

★考核知识点:单个目标函数系数变动对最优解的影响（2.2）
附1.1.9（考核知识点解释）：单个目标函数系数变动对最优解的影响：

10. 目标函数系数同时变动的百分之百法则的具体含义是指（AD）
A 如果目标函数系数同时变动，计算出每一系数变动量占该系数允许变动量的百分比，而后，将各个系数的变动百分比相加，如果所得的和不超过100%，则最优解不会改变；如果超过100%，则不能确定最优解是否改变。
B 如果目标函数系数同时变动，计算出每一系数变动量占该系数允许变动量的百分比，而后，将各个系数的变动百分比相加，如果所得的和超过100%，则最优解不会改变。
C 如果目标函数系数同时变动，计算出每一系数变动量占该系数允许变动量的百分比，而后，将各个系数的变动百分比相加，如果所得的和不超过100%，则最优解不会改变；如果超过100%，则确定最优解一定会发生改变。
D 如果目标函数系数同时变动，计算出每一系数变动量占允许的增量（或允许的减量）的百分比，而后，将各个系数的变动百分比相加，如果所得的和不超过100%，则最优解不会改变；如果超过100%，则不能确定最优解是否改变。

★考核知识点:单个系数变动的百分之百法则。（2.2）
附1.1.10（考核知识点解释）：单个系数变动的百分之百法则的定义：
如果目标函数系数同时变动，计算出每一系数变动量占该系数允许变动量（允许的增量或允许的减量）的百分比，而后，将各个系数的变动百分比相加，如果所得的和不超过100%，则最优解不会改变；如果超过100%，则不能确定最优解是否改变，只能通过重新规划求解来判断了.

11．下面关于影子价格的说法正确的是（ AD  ）
A 在给定线性规划模型的最优解和相应的目标函数值的条件下，影子价格是指约束右端值增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数量。
B 在任何情况下，影子价格是指约束右端值增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数量。
C 在任何情况下，影子价格是指价值系数增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数量。
D 影子价格是一种机会成本，在纯市场经济条件下，买进资源的条件是资源的市场价格低于影子价格.

★考核知识点:影子价格的定义。（2.9）
附1.1.11（考核知识点解释）：影子价格的定义：
（1）基础定义：在给定线性规划模型的最优解和相应的目标函数值的条件下，影子价格是指约束右端值增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数量；
（2）经济学定义：资源的影子价格实际上是一种机会成本。在纯市场经济条
件下，当资源的市场价格低于影子价格时，可以买进这种资源，反之，可以卖出。随着资源的买进和卖出，它的影子价格也将随之发生改变，一直到影子价格与市场价格保持同等水平，才处于平衡状态。
当资源的影子价格为0时，表明该种资源未得到充分利用。当资源的影子价
格不为0时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。可以利用影子价格计算产品的隐含成本（单位资源消耗量×相应的影子价格后求和）。当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利，可计划安排生产；否则用这些资源生产别的产品更为有利。

12．在纯市场经济条件下,买进资源的条件是（ AD  ）
A资源的市场价格低于影子价格             B 资源的市场价格高于影子价格
C 资源的市场价格等于影子价格             D  选项A正确，BC不正确

★考核知识点:影子价格的定义。（2.9）
附1.1.12（考核知识点解释）：影子价格的定义（同附1.1.11（2））。

13．资源分配问题所收集的数据包括（ABC）
A资源的可供量；                      B每一活动所需要的各种资源的数量；
C每一种活动对总的绩效测度（如总利润）的单位贡献（如单位利润）
D以上说法均不正确

★考核知识点:资源分配问题的数据收集。（3.1）
附1.1.13（考核知识点解释）：资源分配问题的数据收集：对任何资源分配问题，有三种数据必须收集：
（1）每种资源的可供量；
（2）每一种活动所需要的各种资源的数量, 对于每一种资源与活动的组合,单位活动所消耗的资源量必须首先估计出来；
（3）每一种活动对总的绩效测度（如总利润）的单位贡献（如单位利润）。

14．下面关于成本收益平衡问题的说法正确的是（ AB ）
A成本收益平衡问题的模型中每一约束均为收益约束
B完成的水平³最低可接受的水平
C 完成的水平£最低可接受的水平
D 以上说法均不正确

★考核知识点:成本收益平衡问题的理解。  （3.2）
附1.1.14（考核知识点解释）：成本收益平衡问题的理解：成本收益平衡问题与资源分配问题的形式完全不同，这种差异主要是因为两种问题的管理目标不同而造成的。
对于成本收益平衡问题，管理层采取更为主动的姿态，他们指明哪些收益必须实现（不管如何使用资源），并且要以最低的成本实现所指明的收益。这样，通过指明每种收益的最低可接受水平，以及实现这些收益的最小成本，管理层期望获得成本和收益之间的适度平衡。因此，成本收益平衡问题是一类线性规划问题，这类问题中，通过选择各种活动水平的组合，从而以最小的成本来实现最低可接受的各种收益水平。成本收益平衡问题的共性是，所有的函数约束均为收益约束，并具有如下的形式：（1）完成的水平³最低可接受的水平（2）如果将收益的含义扩大，所有以“³”表示的函数约束均为收益约束。在多数情况下，最低可接受的水平是作为一项政策由管理层制定的，但有时这一数据也可能是由其他条件决定。（3）成本收益平衡问题需要的三种数据：
1）每种收益的最低可接受水平（管理决策）；
2）每一种活动对每一种收益的贡献（单位活动的贡献）；
3）每种活动的单位成本。

15．下列为平衡运输的条件的是（ABCD）
A  明确出发地、目的地、供应量、需求量和单位成本
B 每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到目的地
C每一个目的地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出发地满足。即“总供应＝总需求”
D 从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本与所配送的数量成线性比例关系。

★考核知识点:平衡运输的条件。  （4.2）
附1.1.15（考核知识点解释）：平衡运输的条件：
（1）.明确出发地（产地）、目的地（销地）、供应量（产量）、需求量（销量）和单位成本。
（2）. 需求假设：每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出发地满足。即“总供应＝总需求”。
（3）. 成本假设：从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本与所配送的数量成线性比例关系，因此成本就等于配送的单位成本乘以所配送的数量（目标函数是线性的）。
16．下面是一个运输问题的模型

该问题应该属于（CD）运输问题。
A 产大于销          B 销大于产       C供求平衡    D 平衡

★考核知识点:平衡运输问题的标准形式。  （4.2）
附1.1.16（考核知识点解释）：平衡运输问题的标准形式：

17．下面是一个运输问题的模型,

该问题应该属于（BD）运输问题。
A 产大于销          B 销大于产       C供过于求       D供不应求

★考核知识点:销大于产运输问题的标准形式。（4.2）
附1.1.17（考核知识点解释）：销大于产运输问题的标准形式：

18．下列属于指派问题假设条件的是（ABCD）
A人的数量和工作的数量相等；
B每个人只能完成一项工作，每项工作只能由一个人来完成；
C每个人和每项工作的组合都会有一个相关的成本；
D目标是要确定如何指派才能使总成本最小。

★考核知识点:指派问题的假设条件。（4.5）
附1.1.18（考核知识点解释）：指派问题的假设条件：
（1）人的数量和工作的数量相等；
（2）每个人只能完成一项工作；
（3）每项工作只能由一个人来完成；
（4）每个人和每项工作的组合都会有一个相关的成本（单位成本）；
（5）目标是要确定如何指派才能使总成本最小。

19．网络最优化问题包括（ABCD）
  A最小费用流问题  B 最大流问题 C 最短路问题 D 最小支撑树问题

★考核知识点:网络最优化问题的主要类型。（5.1）
附1.1.19（考核知识点解释）：网络最优化问题的主要类型：
（1）最小费用流问题；
（2）最大流问题；
（3）最短路问题；
（4）最小支撑树问题；
（5）货郎担问题和中国邮路问题等。

20．下列关于用Excel求解整数规划的说法正确的是（ABC）
A 基本步骤与求解一般线性规划问题相同 B 需在约束条件中添加一个“整数”约束
C在Excel规划求解的“添加约束”对话框中，用“int”表示整数
D 以上说法均不正确

★考核知识点:整数规划的EXCEL的求解步骤。（6.2）
附1.1.20（考核知识点解释）：整数规划的EXCEL的求解步骤：
用Excel求解整数规划的基本步骤与求解一般线性规划问题相同，只是在约束条件中添加一个“整数”约束。在Excel规划求解的“添加约束”对话框中，用“int”表示整数。因此，只要在该对话框中添加一个约束条件，在左边输入要求取整的决策变量的单元格地址，然后选择“int”。

21．下列关于非线性规划问题的叙述正确的是（AB）
A 目标函数中有一个是决策变量的非线性函数
B 约束条件中有一个是决策变量的非线性函数
C 目标函数是决策变量的线性函数，而约束条件中有一个是决策变量的线性函数
D 以上说法均不正确

★考核知识点:非线性规划问题。（8.1）
附1.1.21（考核知识点解释）：非线性规划问题：
在规划问题中，如果目标函数或约束条件中有一个是决策变量的非线性函数，则这类规划问题称为非线性规划问题。

（二）单项选择题

1．下列数学模型为线性规划模型的是（A）
A．                      B


C．                D.



★考核知识点: 线性规划模型的特点. （1.1）
附1.2.1（考核知识点解释）：
线性规划模型有如下特点：（1）决策变量表示要寻求的方案，每一组就是一方案；（2）约束条件是用等式或不等式表述的限制条件；（3）一定有一个追求的目标，或希望最大或希望最小；（4）所有函数都是线性的.

2. 用图解法求线性规划问题时，要求决策变量的个数为（B）

   A．1    B．2       C．3          D．4

★考核知识点: 线性规划图解法的条件. （1.2）
附1.2.2（考核知识点解释）：线性规划图解法的条件：对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标上作图.

3．下列哪种数据不属于成本收益平衡问题范畴的是（D ）
A．收益的最低可接受水平                B. 单位活动的贡献
C. 每周单位的活动成本                D．每种资源的可供量

★考核知识点: 成本收益平衡问题范畴. （3.2）
附1.2.3（考核知识点解释）：成本收益平衡问题范畴：成本收益平衡问题需要的三种数据如下：
1）每种收益的最低可接受水平（管理决策）；
2）每一种活动对每一种收益的贡献（单位活动的贡献）；
3）每种活动的单位成本。

4．下面为一问题的网络图，

利用Kruskal算法求得的最小支撑树的权为（ A ）
   A 14          B 15             C 16          D17

★考核知识点: 用Kruskal算法求最小支撑树的权. （5.6）
附1.2.4（考核知识点解释）：Kruskal算法步骤：
（1）选择第一条边：选择成本最低的备选边；（2）选择下一条边：从剩下的边中取一条边满足：（a）最小边；（b）不构成圈；（3）重复第（2）步骤，直到选取的边数为节点数-1。此时就得到了最优解（最小支撑树）。
处理成本相同的边：当有几条边同时是成本最低的边时，任意选择一条边不会影响最后的最优解。

5．在网络问题中，将某个点的物资或信息送到另一个点，使得运送成本最小。这属于（ B ）
A．最短路问题 B. 最小费用流问题  C. 最大流问题  D. 最小费用最大流问题

★考核知识点: 最小费用流问题的含义. （5.2）
附1.2.5（考核知识点解释）：最小费用流问题的含义：
最小费用流问题的三个基本概念：
1、最小费用流问题的构成（网络表示）
（1）节点：包括供应点、需求点和转运点；
（2）弧：可行的运输线路（节点i->节点j），经常有最大流量（容量）的限制。
2、最小费用流问题的假设
（1）至少一个供应点；
（2）至少一个需求点；
（3）剩下都是转运点；
（4）通过弧的流只允许沿着箭头方向流动，通过弧的最大流量取决于该弧的容量；
（5）网络中有足够的弧提供足够容量，使得所有在供应点中产生的流都能够到达需求点；（有解）
（6）在流的单位成本已知前提下，通过每一条弧的流的成本和流量成正比；（目标是线性的）
（7）最小费用流问题的目标在满足给定需求条件下，使得通过网络供应的总成本最小（或总利润最大）。
3、最小费用流问题的解的特征
（1）具有可行解的特征：在以上的假设下，当且仅当供应点所提供的流量总和等于需求点所需要的流量总和时（即平衡条件），最小费用流问题有可行解；
（2）具有整数解的特征：只要其所有的供应、需求和弧的容量都是整数值，那么任何最小费用流问题的可行解就一定有所有流量都是整数的最优解（与运输问题和指派问题的解一样）。因此，没有必要加上所有决策变量都是整数的约束条件。
6．在网络问题中，将某个点的物资或信息送到另一个点，使得流量最大。这属于（C）
A．最短路问题 B. 最小费用流问题  C. 最大流问题  D. 最小费用最大流问题

★考核知识点: 最大流问题的含义. 参见P155. （5.3）
附1.2.6（考核知识点解释）：最大流问题的含义：
最大流问题也与网络中的流有关，但目标不是使得流的总成本最小，而是寻找一个流的方案，使得通过网络的流量最大。除了目标（流最大化和成本最小化）不一样外，最大流问题的特征和最小费用流问题（附1.2.5）见的特征非常相似。

7．在网络问题中，从某个点出发到达另一个点，怎样安排路线使得总距离最短或总费用最小。这属于（ A）
A．最短路问题 B. 中国邮路问题  C. 最大流问题  D. 最小费用最大流问题
★考核知识点: 最短路问题的含义. （5.5）
附1.2.7（考核知识点解释）：最短路问题的含义：
最短路问题的最普遍的应用是在两个点之间寻找最短路，是最小费用流问题的一种特殊类型：源的供应量为1 、目的地（需求点）的需求量为1 、转运点的净流量为0、没有弧的容量限制，目标：通过网络到目的地的总距离最短。

8．在电子表格模型中, 用来求解基于给定样本的总体方差的函数是（A ）
A．VARP    B. SUMPRODUCT C. COVAR    D. MMULT
                                                               7-2
★考核知识点: VARP的含义. 参见P246.
附1.2.8（考核知识点解释）：在EXCEL中，VARP表示的含义：
VARP（array）：用来求解基于给定样本的总体方差。

9. 在电子表格模型中, 用来求解两个数组矩阵的乘积的函数是（ D ）
A．VARP    B. SUMPRODUCT C. COVAR    D. MMULT

★考核知识点: MMULT的含义. 参见P246.
附1.2.9（考核知识点解释）：在EXCEL中，MMULT表示的含义：
MMULT（array1，array2）：用来求解两个数组矩阵的乘积，运行后矩阵的行数等于array1的行数，列数等于array2的列数。

10．下列选项中关于目标规划的表述正确的是（ A  ）
A考虑现有的资源的条件下，就多个经营目标寻求满意解，即使得完成的目标的总体结果离事先制定目标的差距最小
B 考虑现有的资源的条件下，就多个经营目标寻求最优解，即使得完成的目标的总体结果离事先制定目标的差距最小
C考虑现有的资源的条件下，就多个经营目标寻求满意解，即使得完成的目标的总体结果离事先制定目标的差距最大
D 以上说法均不正确。

★考核知识点: 目标规划的理解. （9.1）
附1.2.10（考核知识点解释）：目标规划的含义表述：
目标规划是研究企业在考虑现有的资源的条件下，就多个经营目标寻求满意解，即使得完成的目标的总体结果离事先制定目标的差距最小。

（三）判断题
1．在平面直角坐标系下，用图解法求解线性规划问题的条件是含有两个或两个以上决策变量的线性规划。（×）

★考核知识点: 线性规划图解法的条件. （1.2）
附1.3.1（考核知识点解释）：线性规划图解法的条件：对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标上作图.

2．使用“给单元格命名”时，一般只给和模型数据有关的已知数据的单元格命名。（×）

★考核知识点: 给单元格命名的原则. （1.3）
附1.3.2（考核知识点解释）：给单元格命名的原则：
一般给跟公式和模型有关的四类单元格命名。例如：在例1.1电子表格模型中，单元格命名如下：
（1）数据单元格：单位利润（C4

4）、可用工时（G7:G9）；
（2）可变单元格：每周产量（C12

12）；
（3）输出单元格：实际使用（E7:E9）；
（4）目标单元格：总利润（G12）。


3．约束右端值的“百分之百法则”的含义是指如果约束右端值同时变动，计算每一变动占允许变动量（允许的增量或允许的减量）的百分比，如果所有的百分比之和不超过100%，那么，影子价格依然有效，如果所有的百分比之和超过100％，影子价格无效。（×）

★考核知识点: 约束右端值的“百分之百法则”的含义。（2.5）
附1.3.3（考核知识点解释）：约束右端值的“百分之百法则”的含义：
如果约束右端值同时变动，计算每一变动占允许变动量（允许的增量或允许的减量）的百分比，如果所有的百分比之和不超过100%，那么，影子价格依然有效，如果所有的百分比之和超过100％，那就无法确定影子价格是否依然有效，只能通过重新进行规划求解来判断了。

4．在指派问题中, 如遇到“某人不能进行某项工作时”，应将用决策变量将该
种情形设定为。（√）

★考核知识点:指派问题的变形。（4.6）
附1.3.4（考核知识点解释）：指派问题的变形：
经常会遇到指派问题的变形，之所以称它们为变形，是因为它们都不满足平衡指派问题所有假设之中的一个或者多个。一般考虑下面的一些特征：
（1）有些人并不能进行某项工作（相应的xij＝0）;
（2）虽然每个人完成一项任务，但是任务比人多(人少事多);
（3）虽然每一项任务只由一个人完成，但是人比任务多（人多事少）；
（4）某人可以同时被指派给多个任务（一人可做几件事）；
（5）某事可以由多人共同完成（一事可由多人完成）；
（6）目标是与指派有关的总利润最大而不是使总成本最小；
（7）实际需要完成任务数不超过总人数也不超过总任务数。

5. 整数规划一般分为两大类: 一般整数规划和0-1整数规划，其中一般整数规划要求所有变量均为整数规划。（×）

★考核知识点:整数规划的基本概念。（6.1）
附1.3.5（考核知识点解释）：整数规划的基本概念：
整数规划（Integer Programming，简称IP），是要求全部或部分决策变量为整数的规划。整数规划分为线性整数规划和非线性整数规划。本章只介绍线性整数规划，简称为整数规划。
整数规划分为两大类：一般整数规划与0-1整数规划（Binary Integer Programming，简称BIP）。

6．0-1整数规划模型的建立和求解和一般整数规划模型相同，都是求解时应在Excel规划求解的“添加约束”对话框中选择“int”即可。（×）

★考核知识点:整数规划的EXCEL的求解步骤。（6.2）
附1.3.6（考核知识点解释）：整数规划的EXCEL的求解步骤：
用Excel求解整数规划的基本步骤与求解一般线性规划问题相同，只是在约束条件中添加一个“整数”约束。在Excel规划求解的“添加约束”对话框中，用“int”表示整数。因此，只要在该对话框中添加一个约束条件，在左边输入要求取整的决策变量的单元格地址，然后选择“int”。


7．若非线性规划的目标函数为变量的二次函数，约束条件又都是决策变量的线性等式或不等式，则称这种规划为二次规划。（√）

★考核知识点:二次规划的定义. （8.2）
附1.3.7（考核知识点解释）：二次规划的定义：
若某非线性规划的目标函数为变量的二次函数，约束条件又都是线性的，就称这种规划为二次规划。

8．优先目标规划就是按照目标的先后顺序，逐一满足优先级较高的目标，最终得到一个满意解。（√）
8-2
★考核知识点: 目标规划的优先级. （9.2）
附1.3.8（考核知识点解释）：目标规划的优先级：
在多目标决策问题中，决策者往往根据自己对目标的重视程度，赋予每个目标一定的优先级，从而对所有目标进行排序：

优先目标规划就是按照目标的先后顺序，逐一满足优先级较高的目标，最终得到一个满意解。假如所有目标都得到满足，满意解就是最优解。
9．在目标规划问题中，目标的优先级越低，出现偏差的可能性就越小。（×）

★考核知识点: 目标规划的优先级. （9.2）
附1.3.9（考核知识点解释）：目标规划的优先级：同附1.3.8.

二、主观部分：
解答题部分：
（一）拉尔夫•艾德蒙（Ralph Edmund）喜欢吃牛排和土豆，因此他决定将这两种食品作为正餐的全部（加上一些饮料和补充维生素的食品）。拉尔夫意识到这不是最健康的膳食结构，因此他想要确定两种食品的食用量多少是合适的，以满足一些主要营养的需求。他获得了以下营养和成本的信息：

成分每份各种成分的克数每天需要量（克）
牛排土豆
碳水化合物
蛋白质
脂肪 5
20
15 15
5
2 ≥50
≥40
≤60
每份成本 4美元 2美元

拉尔夫想确定牛排和土豆所需要的份数（可能是小数），以最低的成本满足这些需求。
（1）建立一个线性规划模型。
（2）用图解法求解这个模型。
解：（1）设牛排和土豆所需要的份数分别为X1和X2，则
            Max 4X1+2X2
            5X1+15X2>=50;
            20X1+5X2>=40
            15X1+2X2<=60
            X1>=0, X2>=0.
（2）作出可行域，利用图解法可得最优解：
      X1=0，X2=30，
         目标函数最优值为60。

★考核知识点: 线性规划的构成（1.1）, 图解法的条件（1.2）
附2.1（考核知识点解释）：1.线性规划模型的构成：实际上，所有的线性规划问题都包含这三个因素：
（1）决策变量是问题中有待确定的未知因素。例如决定企业经营目标的各产品的产量等。
（2）目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述。例如利润最大、成本最小等。
（3）约束条件是指实现问题目标的限制因素。如原材料供应量、生产能力、市场需求等，它们限制了目标值所能到达的程度。
2. 线性规划图解法的条件：对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标上作图.

（二）下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S：

资源每单位产品资源使用量
可用资源
产品A 产品B
Q
R
S 2
1
3 1
2
3 2
2
4
利润/单位 3000美元 2000美元

满足所有线性规划假设。问应如何安排生产, 利润最大? 要求:
（1）建立一个线性规划模型。
（2）用图解法求解这个模型。

解:  (1) 假设：X1=生产产品A单位数, X2=生产产品B单位数。
   目标函数：Max Z=3000X1+2000X2 (利润最大)
   约束条件：2X1+X2≦2          (资源Q)
            X1+2X2≦2          (资源R)
3X1+3X2≦4          (资源S)
            X1≥0，X2≥0       （非负约束）
（2）最优解为X1=2/3, X2=2/3, 此时最大利润为10000/3美元.

其中①---资源Q约束; ②---资源R约束; ③---资源S约束.

同（一）是同一种题型，涉及知识点相同，即：
★考核知识点: 线性规划的构成（1.1）, 图解法的条件（1.2）
附2.2（考核知识点解释）：1.线性规划模型的构成：实际上，所有的线性规划问题都包含这三个因素：
（1）决策变量是问题中有待确定的未知因素。例如决定企业经营目标的各产品的产量等。
（2）目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述。例如利润最大、成本最小等。
（3）约束条件是指实现问题目标的限制因素。如原材料供应量、生产能力、市场需求等，它们限制了目标值所能到达的程度。
2. 线性规划图解法的条件：对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标上作图.

（三）某企业生产3种产品甲、乙、丙，产品所需的主要原材料为A、B两种，每单位原料A可生产产品甲、乙、丙的底座为12、18、16个；每个产品甲、乙、丙需要原料B分别为13kg、18kg、10kg，设备生产用时分别为10.5、12.5、8台时，每个产品的利润分别为1450元、1650元、1300元。按月计划，可提供的原料A为20个单位，原料B为350kg，设备正常的月工作时间为3000台时。
（1）建立实现总利润最高的数学模型，并依据下面已给出的电子表格模型，写出该模型的最优解；
（2）依据下面给出的电子表格模型，试写出“F7”和“H12”单元格所定义的公式。

解：（1）设甲乙丙的生产台数分别为，其数学模型为：
      Max  =

      s.t.    ≤
               ≤
.                ≤
               ≥ 0
从电子表格模型中得到：企业每月生产产品乙43.75个，产品甲和丙不生产时，总利润最高，最高为72187.50元。

（2） F7单元格应输入：
“=sumproduct(C7:E7，C12:E12) ”
H12单元格应输入：
“=sumproduct(C4:E4，C12:E12) ”
★考核知识点:资源分配问题的数据收集（3.1）. sumproduct函数的使用（1.3）
附2.3（考核知识点解释）：1.资源分配问题的数据收集：对任何资源分配问题，有三种数据必须收集：
（1）每种资源的可供量；
（2）每一种活动所需要的各种资源的数量, 对于每一种资源与活动的组合,单位活动所消耗的资源量必须首先估计出来；
（3）每一种活动对总的绩效测度（如总利润）的单位贡献（如单位利润）。
2. sumproduct函数：对相等行数和相等列数的两个单元格区域中的对应单元格分别相乘后在求和.

（四）普里默（Primo）保险公司引入了两种新产品：特殊风险保险和抵押。每单位特殊风险保险的利润是5美元，每单位抵押的利润是2美元。管理层希望确定新产品的销售量使得总期望利润最大。工作的要求如下：

部门每单位工时
可使用工时
特殊风险抵押
承保
管理
索赔 3
0
2 2
1
0 2400
800
1200
（1）建立一个线性规划模型。
（2）用图解法求解这个模型。
解 (1) 假设: X1---特殊风险的销售量;X2---抵押的销售量。则
      目标函数：Max  Z=5X1+2X2    (利润函数)
      约束条件：3X1+2X2≤2400;    (承保工时)
                     X2≤800；       （管理工时）
                  2X1≤1200.       (索赔工时)
                  X1≥0；X2≥0。    （非负约束）


（2）最优解为：X1=600; X2=300;  此时最大利润为3600美元。

同（一）是同一种题型，涉及知识点相同，即：
★考核知识点: 线性规划的构成（1.1）, 图解法的条件（1.2）
附2.4（考核知识点解释）：1.线性规划模型的构成：实际上，所有的线性规划问题都包含这三个因素：
（1）决策变量是问题中有待确定的未知因素。例如决定企业经营目标的各产品的产量等。
（2）目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述。例如利润最大、成本最小等。
（3）约束条件是指实现问题目标的限制因素。如原材料供应量、生产能力、市场需求等，它们限制了目标值所能到达的程度。
2. 线性规划图解法的条件：对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标上作图.

（五） K&L公司为其冰激凌经营店供应三种口味的冰激凌：巧克力、香草和香蕉。因为天气炎热，对冰激凌的需求大增，而公司库存的原料已经不够了。记这些原料分别为：牛奶、糖和奶油。公司无法完成接收的订单，但是为了在资源有限的条件下使利润最大化，公司需要确定各种口味产品的最优组合。
巧克力、香草和香蕉三种口味的冰激凌的销售利润分别为每加仑1.00美元、0.90美元和0.95美元。公司现在有200加仑牛奶、150磅糖和60加仑奶油的库存。这一问题代数形式的线性规划表示如下：
假设：C=巧克力冰激凌的产量（加仑），V=香草冰激凌的产量（加仑），B=香蕉冰激凌的产量（加仑）
最大化：利润=1.00C+0.90V+0.95B
约束条件
牛奶：0.45C+0.50V+0.40B≤200（加仑）
糖：  0.50C+0.40V+0.40B≤150 （磅）
奶油：0.10C+0.15V+0.20B≤60 （加仑）
且 C≥0，V≥0，B≥0
使用Excel求解，求解后的电子表格和灵敏度报告如下图所示（注意，因为在（6）中将会讨论牛奶约束，所以该部分在下面的图中隐去了）。
不用Excel重新求解，尽可能详尽地回答下列问题，注意，各个部分是互不干扰、相互独立的。
A B C D E F G
1 　巧克力香草香蕉　　　
2 单位利润 1 0.9 0.95 　　　
3 　　　　　　　
4 原料每加仑冰激凌所用原料所需原料　可用原料
5 牛奶 0.45 0.5 0.4 180 <= 200
6 糖 0.5 0.4 0.4 150 <= 150
7 奶油 0.1 0.15 0.2 60 <= 60
8 　　　　　　　
9 　巧克力香草香蕉　　总利润
10 产量 0 300 75 　　 341.25
Microsoft Excel 12.0 敏感性报告
工作表 [K&L.xlsx]Sheet1
报告的建立: 2010/12/9 11:27:57
可变单元格
　　终递减目标式允许的允许的
单元格名字值成本系数增量减量
$B$10 产量巧克力 0 -0.0375 1 0.0375 1E+30
$C$10 产量香草 300 0 0.9 0.05 0.0125
$D$10 产量香蕉 75 0 0.95 0.021428571 0.05

约束
　　终阴影约束允许的允许的
单元格名字值价格限制值增量减量
$E$5 牛奶所需原料
$E$6 糖所需原料 150 1.875 150 10 30
$E$7 奶油所需原料 60 1 60 15 3.75

（1）最优解和总利润是多少？
（2）假设香草冰激凌每加仑的利润变为1.00美元，最优解是否改变，对总利润又会产生怎样的影响？
（3）假设香蕉冰激凌每加仑的利润变为92美分，最优解是否改变，对总利润又会产生怎样的影响？
（4）公司发现有3加仑的库存奶油已经变质，只能扔掉，最优解是否改变，对总利润又会产生怎样的影响？
（5）假设公司有机会购得10磅糖，总成本15美元，公司是否应该购买这批糖，为什么？
（6）在灵敏度报告中加入牛奶的约束，并解释如何增加各种产品的产量？

解: （1）最优解是生产香草口味的冰激凌300加仑，生产香蕉口味的冰激凌75加仑，不生产巧克力口味的冰激凌。此时，最大的总利润是341.25美元。
（2）最优解将发生改变. 总利润将会改变（增加）。
（3）最优解不变，总利润将会减少0.0375=2.15美元。
（4）最优解改变，总利润将减少13=3美元。
（5）应该购买，将获利1.87510=18.75美元，扣除成本15美元，还有3.75美元的利润。
（6）数据如下所示：
$E$5 牛奶所需原料 180 0 200 1E+30 20
优先考虑通过增加糖和牛奶的供应量，来增加各产品的产量。

★考核知识点:灵敏度分析定义, （2.1）, 单个系数变动的百分之百法则, 影子价格的定义（2.9）及本章附录
附2.5（考核知识点解释）：
1.灵敏度分析的定义：
（1）灵敏度分析研究的一类问题是对于线性规划模型的各系数cj、bi、aij都有可能变化，需要进行进一步对其进行分析，以决定是否需要调整决策。
（2）灵敏度分析研究的另一类问题是探讨在原线性规划模型的基础上增加一个变量或者一个约束条件对最优解的影响.

2.单个系数变动的百分之百法则的定义：
如果目标函数系数(约束右端项)同时变动，计算出每一系数变动量占该系数允许变动量（允许的增量或允许的减量）的百分比，而后，将各个系数的变动百分比相加，如果所得的和不超过100%，则最优解不会改变；如果超过100%，则不能确定最优解是否改变，只能通过重新规划求解来判断了.

3.影子价格的定义：
（1）基础定义：在给定线性规划模型的最优解和相应的目标函数值的条件下，影子价格是指约束右端值增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数量；
（2）经济学定义：资源的影子价格实际上是一种机会成本。在纯市场经济条
件下，当资源的市场价格低于影子价格时，可以买进这种资源，反之，可以卖出。随着资源的买进和卖出，它的影子价格也将随之发生改变，一直到影子价格与市场价格保持同等水平，才处于平衡状态。
当资源的影子价格为0时，表明该种资源未得到充分利用。当资源的影子价
格不为0时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。可以利用影子价格计算产品的隐含成本（单位资源消耗量×相应的影子价格后求和）。当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利，可计划安排生产；否则用这些资源生产别的产品更为有利。

（六）大卫、莱蒂娜和莉迪亚是一家生产钟表的公司业主以及员工，大卫、莱蒂娜每周最多工作40个小时，而莉迪亚每周最多能工作20个小时。
该公司生产两种不同的钟表：落地摆钟和墙钟。大卫是机械工程师，负责装配钟表内部的机械部件；而莱蒂娜是木工，负责木质外壳的手工加工；莉迪亚负责接收订单和送货。每一项工作所需时间如下表所示：

任务所需时间（小时）
落地摆钟墙钟
组装机械配件
雕刻木质外壳
运输 6
8
3 4
4
3

每生产并销售一个落地摆钟产生的利润是300美元，每个墙钟为200美元。现在，三个业主希望能够得到各种产品产量的最优组合，以使得利润最大化。使用Excel求解，求解后的电子表格和灵敏度报告如下图所示：

A B C D E F
1 　落地钟摆墙钟　　　
2 单位利润 300 200 　　　
3 　　　　　　
4 任务所需时间所需时间　工作时间
5 组装机械配件 6 4 33.33333 <= 40
6 雕刻木制外壳 8 4 40 <= 40
7 运输 3 3 20 <= 20
8 　　　　　　
9 　落地钟摆墙钟　　　
10 产量 3.333333 3.333333 　利润 1666.667

可变单元格
　　终递减目标式允许的允许的
单元格名字值成本系数增量减量
$B$10 产量落地钟摆 3.33 0.00 300 100 100
$C$10 产量墙钟 3.33 0.00 200 100 50

约束
　　终阴影约束允许的允许的
单元格名字值价格限制值增量减量
$D$5 组装机械配件所需时间 33.33 0.00 40 1E+30 6.67
$D$6 雕刻木制外壳所需时间 40.00 25.00 40 13.33 13.33
$D$7 运输所需时间 20.00 33.33 20 10 5
（1）如果落地摆钟的单位利润从300美元增加到375美元，而模型的其他不变，运用灵敏度报告，最优解是否会改变。如果墙钟的单位利润也从200美元变动到175美元，而模型的其他不变，运用灵敏度报告，最优解是否会改变。
（2）为了增加总利润，三个业主同意增加他们三个人中的一个人的工作时间，增加该人的工作时间必须能够最大限度地增加总利润。运用灵敏度报告，确定应该选择哪一个人（假设模型的其他部分没有任何变动）。
（3）解释为什么有一个人的阴影价格是0。
（4）如果莉迪亚将工作时间从每周的20小时增加到25小时，是否可以用影子价格分析该变动对结果的影响？如果阴影价格有效，总利润将增加多少？

解：（1）最优解不变；
（2）莉迪亚，她的阴影价格最大；
（3）大卫，其工作时间没有用完；
（4）阴影价格有效，总利润将增加533.33=500/3美元。

★考核知识点:灵敏度分析定义,（2.1）, 单个系数变动的百分之百法则, 影子价格的定义（2.9）及本章附录
附2.6（考核知识点解释）：
1.灵敏度分析的定义：
（1）灵敏度分析研究的一类问题是对于线性规划模型的各系数cj、bi、aij都有可能变化，需要进行进一步对其进行分析，以决定是否需要调整决策。
（2）灵敏度分析研究的另一类问题是探讨在原线性规划模型的基础上增加一个变量或者一个约束条件对最优解的影响.

2.单个系数变动的百分之百法则的定义：
如果目标函数系数(约束右端项)同时变动，计算出每一系数变动量占该系数允许变动量（允许的增量或允许的减量）的百分比，而后，将各个系数的变动百分比相加，如果所得的和不超过100%，则最优解不会改变；如果超过100%，则不能确定最优解是否改变，只能通过重新规划求解来判断了.

3.影子价格的定义：
（1）基础定义：在给定线性规划模型的最优解和相应的目标函数值的条件下，影子价格是指约束右端值增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数量；
（2）经济学定义：资源的影子价格实际上是一种机会成本。在纯市场经济条
件下，当资源的市场价格低于影子价格时，可以买进这种资源，反之，可以卖出。随着资源的买进和卖出，它的影子价格也将随之发生改变，一直到影子价格与市场价格保持同等水平，才处于平衡状态。
当资源的影子价格为0时，表明该种资源未得到充分利用。当资源的影子价
格不为0时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。可以利用影子价格计算产品的隐含成本（单位资源消耗量×相应的影子价格后求和）。当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利，可计划安排生产；否则用这些资源生产别的产品更为有利。

（七） G.A.T公司的产品之一是一种新式玩具，该产品的估计单位利润为3美元。因为该产品具有极大的需求，公司决定增加该产品原来每天1000件的生产量。但是从卖主那里可以购得的玩具配件（A,B）是有限的。每一玩具需要两个A类配件，而卖主只能将其供应量从现在的每天2000增加到3000。同时，每一玩具需要一个B类的配件，但卖主却无法增加目前每天1000的供应量。
因为目前无法找到新的供货商，所以公司决定自己开发一条生产线，在公司内部生产玩具配件A和B。据估计，公司自己生产的成本将会比从卖主那里购买增加2.5美元每件（A,B）。管理层希望能够确定玩具以及两种配件的生产组合以取得最大的利润。
将该问题视为资源分配问题，公司的一位管理者为该问题建立如下的参数表：

资源每种活动的单位资源使用量可获得的资源总量
生产玩具生产配件
配件A
配件B 2
1 -1
-1 3000
1000
单位利润 3美元 -2.5美元
使用Excel求解，求解后的电子表格和灵敏度报告如下图所示:

A B C D E F
1 生产玩具生产配件
2 单位利润 3 -2.5
3
4 资源单位资源使用量所需资源可获得的资源总量
5 资源A 2 -1 3000 <= 3000
6 资源B 1 -1 1000 <= 1000
7
8 活动量 2000 1000 总利润 3500

Microsoft Excel 12.0 敏感性报告
工作表 [K&L.xlsx]Sheet3
报告的建立: 2010/12/13 22:05:49
可变单元格
　　终递减目标式允许的允许的
单元格名字值成本系数增量减量
$B$8 活动量单位资源使用量 2000 0 3 2 0.5
$C$8 活动量生产配件 1000 0 -2.5 1 0.5
约束
　　终阴影约束允许的允许的
单元格名字值价格限制值增量减量
$D$5 资源A 所需资源 3000 0.5 3000 1E+30 1000
$D$6 资源B 所需资源 1000 2 1000 500 1E+30

（1）用Excel建模时，单元格F8的输入是什么？
（2）针对第一个活动（生产玩具），运用Excel敏感性报告，给出该活动单位利润从3美元增加到4美元时问题的最优解和总利润。
（3）运用Excel敏感性报告来找到每个活动单位利润的允许变动范围（即最优范围）。
（4）运用Excel敏感性报告来给出每个约束的阴影价格，分别对其进行解释。

解：
（1）SUMPRODUCT(B2:C2, B8:C8);

（2）最优解：生产玩具2000件，生产配件1000件；总利润是5500件；

（3）生产玩具单位利润允许变动范围（2.5，5）；
   生产配件单位利润允许变动范围（-3，-1.5）；

（4）约束1的阴影价格为0.5，其解释为：配件A的可获得量增加1个单位，目标函数最优值（即总利润）将增加0.5美元；
   约束2的阴影价格为2，其解释为：配件B的可获得量增加1个单位，目标函数最优值（即总利润）将增加2美元；
★考核知识点: sumproduct函数的使用（1.3），灵敏度分析定义（2.1），单个系数变动的百分之百法则，影子价格的定义（2.9）及本章附录
附2.7（考核知识点解释）：
1.sumproduct函数的使用：
对相等行数和相等列数的两个单元格区域中的对应单元格分别相乘后在求和.

2.灵敏度分析的定义：
（1）灵敏度分析研究的一类问题是对于线性规划模型的各系数cj、bi、aij都有可能变化，需要进行进一步对其进行分析，以决定是否需要调整决策。
（2）灵敏度分析研究的另一类问题是探讨在原线性规划模型的基础上增加一个变量或者一个约束条件对最优解的影响.

3.单个系数变动的百分之百法则的定义：
如果目标函数系数(约束右端项)同时变动，计算出每一系数变动量占该系数允许变动量（允许的增量或允许的减量）的百分比，而后，将各个系数的变动百分比相加，如果所得的和不超过100%，则最优解不会改变；如果超过100%，则不能确定最优解是否改变，只能通过重新规划求解来判断了.

4.影子价格的定义：
（1）基础定义：在给定线性规划模型的最优解和相应的目标函数值的条件下，影子价格是指约束右端值增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数量；
（2）经济学定义：资源的影子价格实际上是一种机会成本。在纯市场经济条
件下，当资源的市场价格低于影子价格时，可以买进这种资源，反之，可以卖出。随着资源的买进和卖出，它的影子价格也将随之发生改变，一直到影子价格与市场价格保持同等水平，才处于平衡状态。
当资源的影子价格为0时，表明该种资源未得到充分利用。当资源的影子价
格不为0时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。可以利用影子价格计算产品的隐含成本（单位资源消耗量×相应的影子价格后求和）。当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利，可计划安排生产；否则用这些资源生产别的产品更为有利。

（八）考斯雷司（Cost-Less）公司从它的工厂向它的四个零售点供应货物，从每一个工厂到每一个零售点供应货物，从每一个工厂到每一个零售点的运输成本如下所示：

   零售点

工厂单位成本（美元）
1 2 3 4
1
2
3
4 500
200
300
200 600
900
400
100 400
100
200
300 200
300
100
200

工厂1、2、3、4每个月的生产量为10、20、20、10个运输单位。零售点1、2、3、4每个月所需货物量为20、10、10、20个运输单位。
配送经理兰迪•史密斯现在需要确定每个月从每一个工厂要运送多少给相应零售点的最佳方案。兰迪的目标就是要使总的运输成本最小。
（1）把这个问题描述为一个运输问题并写出相应的出发地、供应量、目的地、需求量和单位成本。
（2）建立该运输问题的数学模型。(不要求求解)

解  （1）出发地为工厂1、2、3、4, 其供应量分别为10、20、20、10. 目的地为零销点1、2、3、4, 其需求量分别为20、10、10、20。单位成本见上表。

（2）设从第i（i=1,2,3,4）个工厂向第j(j=1,2,3,4)个零销点运输Xij单位，
则
Min Z=500X11+600X12+400X13+200X14+200X21+900X22+100X23+
300X24+300Xx31+400X32+200X33+100X34+200X41+100X42+300X43+200X44
            S.T.  X11+X12+X13+X14=10;
               X21+X22+X23+X24=20;
               X31+X32+X33+X34=20;
               X41+X42+X43+X44=10;
               X11+X21+X31+X41=20;
               X12+X22+X32+X42=10;
               X13+X23+X33+X43=10;
               X14+X24+X34+X44=20;
            Xij≥0.
★考核知识点:平衡运输的条件，产销平衡运输模型的标准形式（4.2）
附2.8（考核知识点解释）：1.平衡运输的条件：
（1）.明确出发地（产地）、目的地（销地）、供应量（产量）、需求量（销量）和单位成本。
（2）. 需求假设：每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出发地满足。即“总供应＝总需求”。
（3）. 成本假设：从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本与所配送的数量成线性比例关系，因此成本就等于配送的单位成本乘以所配送的数量（目标函数是线性的）。

2. 产销平衡运输模型的标准形式：
具有m个产地Ai（i＝1,2,¼,m）和n个销地， Bj（j＝1,2,¼,n）的运输问题的数学模型为：

（九）四艘货船要从一个码头向其他的四个码头运货（分别记为1、2、3、4）。每一艘船都能够运送到任何一个码头。但是，由于货船和货物的不同，装船、运输和卸货成本都有些不同。如下表所示（单位：美元）：

   码头

货船相关成本（美元）
1 2 3 4
A
B
C
D 500
600
700
500 400
600
500
400 600
700
700
600 700
500
600
600

目标是要把这四个不同的码头指派给四艘货船，使总运输成本最小。
（1）请解释为什么这个问题符合指派问题模型。（本步5分）
（2）建立该指派问题的数学模型。(不要求求解) （本步15分）

解：（1）将码头视为任务，将货船视为人，问题等价于将四个不同的任务指派给四个不同的人来完成，使总的效率最高（即成本最小）。

（2）假设：Xij=1------将第j个码头指派给第i个货船，否则取Xij=0。其中（i，j=1、2、3、4）.

Min  Z=500X11+400X12+600X13+700X14+600X21+600X22+700X23+500X24+700X31
+500X32+700X33+600X34+500X41+400X42+600X43+600X44.

S.T.  X11+X12+X13+X14=1;
         X21+X22+X23+X24=1;
         X31+X32+X33+X34=1;
         X41+X42+X43+X44=1;
         X11+X21+X31+X41=1;
         X12+X22+X32+X42=1;
         X13+X23+X33+X43=1;
         X14+X24+X34+X44=1;
         Xij=0或者1，（i，j=1、2、3、4）。
★考核知识点:指派问题的理解（4.5）
附2.9（考核知识点解释）：指派问题：

1.在现实生活中，经常会遇到指派人员做某项工作（任务）的情况。指派问题的许多应用是用来帮助管理人员解决如何为一项即将开展的工作指派人员的问题。其他的一些应用如为工作指派机器、设备或工厂等。
指派问题也称分配问题，主要研究人和工作（任务）间如何匹配，以使所有工作完成的效率实现最优化。形式上，指派问题给定了一系列所要完成的工作以及一系列完成工作的人员，所需要解决的问题就是要确定出指派哪个人去完成哪项工作。
2.指派问题的假设：
（1）人的数量和工作的数量相等；
（2）每个人只能完成一项工作；
（3）每项工作只能由一个人来完成；
（4）每个人和每项工作的组合都会有一个相关的成本（单位成本）；
（5）目标是要确定如何指派才能使总成本最小。
3.平衡指派问题的数学模型为
设决策变量xij为第i个人做第j项工作，而已知目标函数系数cij为第i个人完成第j项工作所需要的单位成本。

（十）张、王、李、赵4位教师被分配教语文、数学、物理、化学4门课程，每位老师教一门课程，一门课程由一位老师教。根据这四位老师以往教课的情况，他们分别教这四门课程的平均成绩如下表：

语文数学物理化学
张
王
李
赵 92    68    85    76
82    91    77    63
83    90    74    65
93    61    83    75

四位教师每人只能教一门课，每一门课只能由一个教师来教，要确定哪一位教师上哪一门课，使四门课的平均成绩之和为最高。请建立该指派问题的数学模型。(不要求求解)

解：记：第1个教师------张；第2个教师-----王；第3个教师-----李；第4个教师-----赵。
      第1门课程----语文；第2门课程----数学；第3门课程----物理；第4门课程----化学。
   假设：Xij=1------安排第i个教师去教第j门课程。（i,j=1,2,3,4）  则
Max  Z=92X11+68X12+85X13+76X14+82X21+91X22+77X23+63X24+83X31+90X32+
74X33+65X34+93X41+61X42+83X43+75X44.

S.T.  X11+X12+X13+X14=1;
         X21+X22+X23+X24=1;
      X31+X32+X33+X34=1;
      X41+X42+X43+X44=1;
      X11+X21+X31+X41=1;
      X12+X22+X32+X42=1;
      X13+X23+X33+X43=1;
      X14+X24+X34+X44=1;
      Xij=0或者1，（i，j=1、2、3、4）。

★考核知识点:指派问题的假设和模型（4.6）
附2.10（考核知识点解释）：指派问题：

1.指派问题的假设：
（1）人的数量和工作的数量相等；
（2）每个人只能完成一项工作；
（3）每项工作只能由一个人来完成；
（4）每个人和每项工作的组合都会有一个相关的成本（单位成本）；
（5）目标是要确定如何指派才能使总成本最小。
2.平衡指派问题的数学模型为
设决策变量xij为第i个人做第j项工作，而已知目标函数系数cij为第i个人完成第j项工作所需要的单位成本。

（十一）某医院的护士分4个班次，每班工作12小时。报到的时间分别是早上6点、中午12点、下午6点、夜间12点。每班需要的人数分别为19人、21人、18人、16人。问：
（1）试建立每天最少需要派多少护士值班的数学模型。
（2）如果早上6点上班和中午12点上班的人每月有120元加班费，下午6点和夜间12点上班的人每月分别有100元和150元加班费，那么应如何安排上班人数，使得医院支付的加班费最少？试建立此种情形的数学模型。
解：（1）设分别表示4个报到时间开始上班的人数。

数学模型为：

（2）设分别表示4个报到时间开始上班的人数

★考核知识点:指派问题的变形（4.6）
附2.11（考核知识点解释）：指派问题的变形：
经常会遇到指派问题的变形，之所以称它们为变形，是因为它们都不满足平衡指派问题所有假设之中的一个或者多个。一般考虑下面的一些特征：
（1）有些人并不能进行某项工作（相应的xij＝0）;
（2）虽然每个人完成一项任务，但是任务比人多(人少事多);
（3）虽然每一项任务只由一个人完成，但是人比任务多（人多事少）；
（4）某人可以同时被指派给多个任务（一人可做几件事）；
（5）某事可以由多人共同完成（一事可由多人完成）；
（6）目标是与指派有关的总利润最大而不是使总成本最小；
（7）实际需要完成任务数不超过总人数也不超过总任务数。

（十二）某造船厂根据合同要求从当年起连续三年末各提供三条规格型号相同的大型客货轮。已知该厂这三年内生产大型客货轮的能力以及每艘客货轮成本如下表3所示，已知加班生产时，每艘客轮成本比正常生产时高70万元。如果客轮当年不交货，每艘客轮每积压一年的积压损失为40万元。在签订合同时。该厂已存了两艘客轮，而该厂希望在第三年未完成合同后还能储存一艘。问该厂应如何安排生产量使总的生产费用加积压损失最少？（只建模不求解）
表3：

解：设为年正常生产在年交货的客货轮数，其中表示上年库存在年交货的客货轮数；为年加班生产在年交货的客货轮数。
数学模型为：

★考核知识点:指派问题的变形（4.3）
附2.12（考核知识点解释）：运输问题的变形：
现实生活中符合产销平衡运输问题每一个条件的情况很少。一个特征近似但其中的一个或者几个特征却并不符合产销平衡运输问题条件的运输问题却经常出现。
下面是要讨论的一些特征：
(1) 总供应大于总需求。每一个供应量（产量）代表了从其出发地中
配送出去的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。
(2) 总供应小于总需求。每一个需求量（销量）代表了在其目的地中所接收到的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。
(3)一个目的地同时存在着最小需求和最大需求，于是所有在这两个数值之间的数量都是可以接收的（≥,≤）。
(4) 在配送中不能使用特定的出发地—目的地组合（xij=0）。
(5) 目标是使与配送数量有关的总利润最大而不是使总成本最小。（Min－>
Max）

（十三）某电子公司制造四种不同型号的电子计算器：。这四种计算器可以分别由五个不同的生产车间单独制造，但这五个车间单独制造一个计算器所需要的时间是不同的，如表5所示。该公司的销售人员已经规定：型号的生产数不能多于1400个；型号的生产数至少为300个，但不能超过800个；型号的生产数不能超过8000个；型号的生产数至少为700个，而且在市场上畅销，根据该公司的生产能力，无论生产多少都能卖出去。该公司的财会人员报告称：型号每个可得利润25元；型号每个可得利润20元；型号每个可得利润17元；型号每个可得利润11元。这五个车间可用于生产的总时间如表6所示，试建立一个数学模型，使得该公司总利润最大。
表5：

表6：

解：设为电子计算器由车间生产的数量（i=1,2,3,4; j=1,2,3,4,5）。


★考核知识点:指派问题的变形（4.3）
附2.13（考核知识点解释）：运输问题的变形：
现实生活中符合产销平衡运输问题每一个条件的情况很少。一个特征近似但其中的一个或者几个特征却并不符合产销平衡运输问题条件的运输问题却经常出现。
下面是要讨论的一些特征：
(1) 总供应大于总需求。每一个供应量（产量）代表了从其出发地中
配送出去的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。
(2) 总供应小于总需求。每一个需求量（销量）代表了在其目的地中所接收到的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。
(3)一个目的地同时存在着最小需求和最大需求，于是所有在这两个数值之间的数量都是可以接收的（≥,≤）。
(4) 在配送中不能使用特定的出发地—目的地组合（xij=0）。
(5) 目标是使与配送数量有关的总利润最大而不是使总成本最小。（Min－> Max）

（十四）速达（Speedy）航空公司中有一架班机将从西雅图（节点SE）直飞伦敦（节点LN）。由于天气因素的影响，在明确选择路线时存在一定的灵活性。风力对于飞行的时间（以及燃油的耗用）是有很大影响的。根据最新的气象报道，各条航线飞行时间（以小时计算）标注在弧线上，因为燃油十分昂贵，速达（Speedy）航空公司的管理层，需要制定一套方案，选择飞行时间最短的航线。在电子表格中建立该问题的规划模型并求解最优方案如下图（其它节点分别代表不同的途经地点）。

试完成下列问题：
（1）根据上图所示的EXCEL规划求解模型，划出该问题的航空路线图，并表示完整；
（2）写出单元格G2中所输入公式；
（3）写出单元格G9中所输入公式；
（4）写出单元格C16中所表达目标函数的公式。
解：（1）该问题的航空路线图如下：

（2）B2+B3+B4；       （3）-B12-B13-B14；
（4）SUMPRODUCT（D2：D14，C2：C14）。

★考核知识点:最短路问题的理解（5.5）
附2.14（考核知识点解释）：运输问题的变形：
1.最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。许多优化问题可以使用这个模型，如设备更新、管道铺设、线路安排、厂区布局等。最短路问题的最普遍的应用是在两个点之间寻找最短路，是最小费用流问题的一种特殊类型：源的供应量为1 、目的地（需求点）的需求量为1 、转运点的净流量为0、没有弧的容量限制，目标：通过网络到目的地的总距离最短。
2.最短路问题的推广：对于有多个实际目的地或有多个实际出发地的最短路问题的处理方法：当网络中有多个实际目的地时，在每个实际目的地和虚拟目的地之间插入一条长度为0的弧，从而使得网络中仍然只有一个目的地。同样地，如果网络中有多个实际出发地，可以增加一个虚拟出发地，虚拟出发地到实际出发地的弧长也是0。

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