地大15春学期《线性代数》正考模拟题（开卷）

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《线性代数》模拟题

一．单项选择题
1．设 为 阶矩阵，且 ，则 （  C   ）。
A．         B．               C．               D．4
2． 维向量组  （3 £ s £ n）线性无关的充要条件是（  C   ）。
A． 中任意两个向量都线性无关
B． 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
C． 中任一个向量都不能用其余向量线性表示
D． 中不含零向量
3．下列命题中正确的是（  D   ）。
A．任意 个 维向量线性相关        B．任意 个 维向量线性无关
C． 个 维向量线性无关            D．任意 个 维向量线性相关任意
4．n元非齐次线性方程组AX=B有唯一解的充要条件是（  B   ）。
A．r(A)=n       B．r(A)=r(A,B)=n     C．r(A)=r(A,B)<n      D．r(A)=r(A,B)
5．矩阵A的特征值为1,2,3，则其行列式|A|为（  A   ）。
A．6           B．18               C．36               D．72
6．方阵A与B相似，则下列说法错误的是（  A   ）
A．方阵A与B有相同的特征向量         B．方阵A与B有相同的特征值
C．方阵A与B有相同的行列式           D．方阵A与B有相同的迹
7．三元非齐次线性方程组AX=B的解向量 满足 ，则其导出组AX=0的一个解为（  C   ）
A．      B．         C．        D．

二．填空题
1．          18          。
2．若齐次线性方程组 只有零解，则 应满足 。
3．当k=     k=4       时，向量组 线性相关。
4． ，则A-1=             。
5．矩阵A的特征值分别为1, -1, 2, 则|A2+2I|=        24           。
6．写出二次型 对应的对称矩阵
。

三．计算题
1．问 取何值时，下列向量组线性无关？ 。
解：

即 时向量组线性无关.
2．求 的全部特征值和特征向量。
解：

特征值 。
对于   ，特征向量为 ；
对于  ,特征向量为 。

3．求行列式 的值。
解：

4．已知矩阵 ，求 。
解：
因为 ， ,
           
，所以  
5．求向量组  的极大无关组，并用极大无关组表示其余向量。
解：
，
因此，极大无关组为  且  。
6．已知矩阵 ，求正交矩阵T使得 为对角矩阵。
解：
1) 首先求其特征值： ，
其特征根为：
      2) 求各特征值的特征向量，当 时求得特征向量为 ，将其正交化得 ， 再将其单位化得

     当 时特征向量为 ，将其单位化得 .
       3）所得正交矩阵 ，
为对角矩阵.
四．证明题
1．设n阶方阵A满足 ，求证A和(A-I)都可逆并求其逆。
证明：因为 ，所以有
           ，
即 ，由定义可知A和(A-I)都可逆，且
            

2．设n阶方阵A满足 ，求证A-2I和A+I都可逆。
证明：因为 ，故 ，即
       ，由定义可知A-2I和A+I都可逆。