16春福师《实变函数》在线作业一标准资料

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一、资料来源（谋学网www.mouxue.com）（共 37 道试题，共 74 分。）V 1.  f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A. 错误
+ c+ ]: ^2 M: W8 E# ]8 x  w8 n8 _B. 正确
      满分：2  分
2 u$ C8 P+ M! ~* ]  ~4 g+ `2.  若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
A. 错误
8 d* h' t1 S; n, ?) lB. 正确
      满分：2  分
3.  一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
( K- K8 L+ f, W/ }- ~A. 错误
. y) @0 q! Z$ k  EB. 正确
      满分：2  分
4.  若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
+ \) h& @! R! ~A. 错误
" s$ [$ v. c4 P" t2 zB. 正确
! F! C/ }$ u% H      满分：2  分
5.  f在[a,b]上为增函数，则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
+ [: y& V' N% ~A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
% }  X6 }, h8 A% a; A, L! d# }6.  R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A. 错误
9 e' M% Z& L, Z3 EB. 正确
5 U6 u# i% H  V3 Y. ^      满分：2  分
7.  对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n->+∞} n·M[E(|f|>=n)]=0.
* k+ p3 L$ [* V$ w8 v" k0 V7 TA. 错误
/ d8 I$ F0 {; h$ F9 j# rB. 正确
! o/ Y4 Q9 r" S" M      满分：2  分
8.  增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A. 错误
$ p* z; }% P+ J" `0 K1 r$ ZB. 正确
      满分：2  分
' j0 h( `% T& O9 C1 W9.  若f∈BV,则f有界。
, F: }  D1 E( X( |A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
10.  测度为零的集称为零测集.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
- D8 J" l* O1 J3 h  [7 n9 Q3 u7 r; {11.  积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
8 J2 R2 ^1 `9 e" t4 A% ?0 IA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
12.  当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
A. 错误
B. 正确
" S) J  F+ W) O7 v      满分：2  分
13.  有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
/ B# c7 M" H2 t5 XA. 错误
B. 正确
: i' V9 p0 h7 w% P4 G* N- R/ f      满分：2  分
14.  增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
15.  若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A. 错误
7 O  b, ^& b  \$ r) [. EB. 正确
7 |* ?) ^0 g: R# Q" z: K+ n      满分：2  分
16.  若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A. 错误
' |  f3 N) }& X% T8 @* Q# QB. 正确
0 Q" w8 @( n% ?/ ], _2 R# k6 A% C      满分：2  分
17.  设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
) z. n+ u3 _2 }: |+ B8 a3 wA. 错误
3 q9 y# Q% M4 I% a  n6 VB. 正确
$ v) C, D. G; _' y4 [      满分：2  分
. e. ~: R, \. T18.  若f有界且m(X)<∞,则f可测。
A. 错误
6 p) p) u4 b- O) d4 N1 QB. 正确
) M$ s6 p4 _1 y. n: |! L: ?      满分：2  分
19.  利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
A. 错误
B. 正确
7 w  F% ~! \2 H$ \6 a& {4 I      满分：2  分
20.  若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A. 错误
B. 正确
6 O, s  z9 L* H; ^" x! z& F; x9 b      满分：2  分
: N: H2 H' M6 a4 q! |21.  f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
) Z8 m9 y  F* @" l, c0 {9 RA. 错误
B. 正确
5 Q7 e+ l% E9 U6 I      满分：2  分
22.  若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
2 U5 x$ W1 M5 FA. 错误
B. 正确
      满分：2  分
: m- `" p- ?3 A! f# o! M+ d23.  存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A. 错误
' _7 {0 C4 O: ?$ O7 ^B. 正确
      满分：2  分
24.  存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A. 错误
B. 正确
( K. F7 u' y5 {+ U' v" G      满分：2  分
25.  若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A. 错误
B. 正确
- d* r4 h) d/ l! O7 R( T( }! C      满分：2  分
26.  可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A. 错误
3 Y" _( C4 H1 Q- z- x/ mB. 正确
* J, d0 Q  N5 z' q7 B      满分：2  分
27.  f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
28.  函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
29.  f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A. 错误
B. 正确
: \/ S0 {' a- [" T9 P      满分：2  分
30.  对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
A. 错误
0 L/ q$ T0 ~) K$ Z- z5 j& g0 QB. 正确
. D. G; ]1 ^5 }; ?      满分：2  分
31.  若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A. 错误
& N; q& ]! {( U3 Z/ I" f6 j+ xB. 正确
      满分：2  分
32.  若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A. 错误
" x7 T' |, S2 X3 A! N$ yB. 正确
      满分：2  分
33.  无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
2 t/ U- ~6 p- z7 M; w( G2 y" i/ p4 ~A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
34.  闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
+ l% ?2 e. `, }# _1 Z3 PA. 错误
9 Q8 O& P& b3 j0 y* W" G0 uB. 正确
4 H/ W  U' [1 j6 x$ P      满分：2  分
/ m) v1 o& }+ x9 O35.  f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
36.  对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A. 错误
# m+ @0 y, L/ L: P- j0 OB. 正确
0 T- \+ ?6 t. Z      满分：2  分
. I* V9 V+ o6 ~7 {9 k" d$ f" g$ s$ H. K37.  f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A. 错误
B. 正确
, J. a7 w7 ]" E0 ~: H( P( w      满分：2  分
二、资料来源（谋学网www.mouxue.com）（共 5 道试题，共 10 分。）V 1.  设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
; C! k/ z% [+ u, D- xA. 连续函数
B. 单调函数
# {, ?& _' w: i: H  a# w: B( S# mC. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
      满分：2  分
2.  在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A. mE=0
B. 0<mE<+∞
; B* K  w. u- |- @C. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
9 A* a$ }8 l7 C3 W6 }- M      满分：2  分
0 |# Q, \' Z. `* K( Z& V/ Y3.  若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A. |A∪C|=|B∪D|
B. |A∩C|=|B∩D|
C. |A\C|=|B\D|
4 F* H, x0 f" v+ d# O+ e# S1 mD. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
      满分：2  分
1 ?; ~, {+ ]. s+ w* T4.  fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A. 充分条件
& ]; |% X! M$ q# _/ V& k3 WB. 必要条件
1 ?! j$ U" I" q6 e! Q7 l( z& FC. 充要条件
  l7 c, v8 o% U5 j5 s. X8 i' FD. 非充分非必要条件
9 x- T! S8 V; `( W8 c! c& U      满分：2  分
' k5 T) j/ ]6 q# c% z5.  有限个可数集的乘积集是（ ）
A. 有限集
B. 可数集
& k$ ], I- ~" ]C. 有连续统势的集
4 X8 b" d  ~( q# {" B  }! KD. 基数为2^c的集
; w2 Y! X8 K2 v      满分：2  分
三、资料来源（谋学网www.mouxue.com）（共 8 道试题，共 16 分。）V 1.  在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
6 ^; L3 B6 ?3 r3 R$ x& FA. f在R上处处不连续
B. f在R上为可测函数
# y  |! S- j8 uC. f几乎处处连续
* Z# I( F% w/ ]D. f不是可测函数
      满分：2  分
* t/ c  H' H6 X6 z% h! w, l2.  若f∈AC[a,b]，则（ ）
- Z5 E7 u) T' ~0 D( m/ MA. f∈C[a,b]
6 n( [* `0 G  M; pB. f∈BV[a,b]
) l2 r7 H; H; ZC. f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt
D. f∈Lip[a,b]
& a( ^. [9 v  ^  O      满分：2  分
6 M! n3 }; J) z! ]( c3.  A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
' K/ L8 r/ T) }- gD. f(A\B)包含f(A)\f(B)
3 @4 G) r1 u6 ^5 g      满分：2  分
+ o2 N4 e6 h3 \) {! S4.  若f∈BV[a,b]，则（ ）
) p3 v. j" J( YA. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
      满分：2  分
$ {3 f& Z, Z4 z* c( e' q7 B5.  若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A. g可积
" A4 O, |* G. w* `B. g可测
( R! p. u. N, ]C. g<∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
      满分：2  分
- f' q& I$ n" D6 i) w0 u& a; O6.  f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
; T; N, c5 X; |% g. ]2 T6 z' B$ VA. 广义R可积
$ K- R4 K  b! ~$ v& f6 LB. 不是广义R可积
* X: W! X. D! b. sC. L可积
1 G. I4 @7 b& J  B$ ]! P9 QD. 不是L可积
      满分：2  分
7.  设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A. 有界函数
4 M/ ^: K) R% `" k. @: o; D! MB. 可测函数
1 `/ N8 U9 o$ C* U. HC. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
0 W5 @$ L5 J5 h! m% l$ m  R' T      满分：2  分
. I. m# ~# c. k% J) Z" G8.  f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
! @) t1 Y% ]6 h- S: S$ WA. 有L积分值
B. 广义R可积
. ~# E* g4 d5 _$ u- p  iC. L可积
# H% I, G5 h) f3 c% H8 V. zD. 积分具有绝对连续性
      满分：2  分

5 J: x4 Y. W2 D( |  C  A

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