20年春福师《实变函数》在线作业一（资料参考）

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【奥鹏】-[福建师范大学]福师《实变函数》在线作业一
7 t2 A( f, s, h  D! j  |试卷总分:100    得分:100
第1题,三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
6 g) z' y- q. ^A、错误
B、正确
正确资料:
! J; x- p# k# O% ?+ P3 ?
  P0 _' [3 D! R/ A. }
& H" W; \0 W6 V: x& Q第2题,测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A、错误
$ U* f; D/ v- d+ C% s* `7 e: LB、正确
正确资料:
2 y0 G9 e5 q2 a0 E& g: B

0 R6 b4 I8 E+ ~: S3 S( d第3题,若f∈BV,则f有界。
: h/ X9 `+ P) h, SA、错误
+ {9 k7 ]' V: O' |B、正确
% p. m5 N# E; K正确资料:


( V5 K- y* B! A1 v( r' Z2 y3 p第4题,一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
. z0 r' T" l4 k7 oA、错误
1 @# S( L% B) i6 M  x# A7 {) XB、正确
6 Q1 y( K5 V6 t5 D6 v正确资料:


第5题,g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
& h8 A1 a, z4 d/ X7 \+ sA、错误
, P5 X: k8 g4 E4 r8 yB、正确
. L9 q  K( |" I/ v1 m. }9 R" u正确资料:
/ N7 U0 R8 N8 G2 E
0 m" Q5 e5 t! h6 E1 J) T6 ?* M  i
) K. {/ s: l1 D& C6 y' g$ O- H第6题,存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdxf(b)-f(a) .
A、错误
B、正确
正确资料:
5 T7 ?) i* }1 o' u" r
7 v* {5 J8 A* \( E
第7题,若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
" G1 l; [; j0 BA、错误
B、正确
正确资料:

/ B0 s/ n- y! r# |) O: ^
; Y+ C6 W( K' R# u, M7 N第8题,绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
8 U8 C( e) G* G" ]% `# }A、错误
B、正确
4 h. I$ b$ g2 m% Q+ X正确资料:

" l1 P9 e' w) t, \
第9题,集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
( ^. c* U$ i: l3 N, l3 ~1 ]A、错误
2 h/ C8 c$ O* i3 G7 l. S9 o3 YB、正确
正确资料:
0 W  [6 ~1 R0 P$ Z  a! I! v9 Z
, G6 _" J, g9 Z4 k; u3 o/ G' Z
2 @/ u( F; K, f  e第10题,若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
9 ?0 ~* `# ^. k# K7 vA、错误
B、正确
正确资料:
5 E: n7 P5 H. c% k/ j% O  V, \
" o. P# ]' t4 F6 [: z% [
" u' p0 C& N% u+ K# {, B第11题,若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A、错误
0 _; V2 r( Z+ r5 @9 \" G, tB、正确
正确资料:
) O# v& H7 Y8 ]! }) n) ]9 H% E
. z; ]$ f% p# ^- o% Z1 u# J  T0 f
第12题,存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
: a0 c& o3 J; ]& M6 wA、错误
- g/ F3 ~: g& H9 NB、正确
  t: I- t( b) g' ?$ F正确资料:
' \$ e# ^* L; E0 h" N
5 l* }# i9 j9 k, B0 F
第13题,连续函数和单调函数都是有界变差函数.
A、错误
$ Q# D; l: u  L* f8 PB、正确
, u3 p! c: Z  }4 h  d正确资料:
) Q) B& j( ?6 e9 ^

第14题,若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
: z! N2 }+ e" X$ F9 I" `& KA、错误
9 b4 ]: K1 D4 J8 r) f; PB、正确
正确资料:
* u! T4 ]$ c- l$ A* @

第15题,利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A、错误
B、正确
, G/ m+ K) _9 O+ z6 q) C) V: n+ e! X正确资料:

+ k; ?. ]5 y) B+ m" e
第16题,R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
' Z0 n* |1 \. N$ x; }A、错误
) A1 p+ k- Z  A) e6 qB、正确
正确资料:

. h! P5 A! Y' e
第17题,f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
A、错误
B、正确
正确资料:


第18题,若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
) `: m! H3 E. @6 C) E& tA、错误
1 L! E) l/ m" M3 \! OB、正确
正确资料:
3 n' O0 W9 t! X9 x# I* b
; i' p* w. |/ _- h( P! N
第19题,一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
3 p2 @3 T3 b! P) T3 q5 H/ h  qA、错误
B、正确
正确资料:
* w+ F/ x' o. A$ h
. b# |) o, i) n4 ~
! j& i3 O2 g/ Q5 w% G+ f第20题,f,g∈M(X),则fg∈M(X).
$ t& f3 e) k6 V( I% sA、错误
B、正确
- K: u3 g) Y$ Z  ]4 A正确资料:
/ I1 M% u+ l3 O, w2 i
9 X2 k% a& A6 s. h
. g$ i  S( D! B/ j' O' n& {& C第21题,若f可测，则|f|可测，反之也成立.
A、错误
# o: h  l, O$ u' ?7 Z( sB、正确
正确资料:
6 n/ t" H, |. k$ ^% z; \

第22题,L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A、错误
; G7 @: {5 L1 ]B、正确
# Z& |7 A' ^3 s1 k1 {) J2 v. n正确资料:


第23题,若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
7 l' T7 [& B3 U7 ^9 W# g7 rA、错误
B、正确
正确资料:

6 U# S1 A: D+ A
( a1 s' B+ g$ o: {; w' a2 K, u第24题,设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A、错误
  N2 h# J) \1 t3 v5 X4 g, b* w4 O! LB、正确
( A$ y4 |4 M; m  d# b. t正确资料:

& t# P" m9 r4 X
7 @% \3 ~) s/ B. f9 P# X& P& Y2 o第25题,零测度集的任何子集都是可测集.
( A6 i2 `) g) B/ R8 @A、错误
B、正确
0 ^% T9 p" m& I2 L3 p正确资料:
2 g" P' S. b( p. `" S9 t
0 X/ V: o4 a. h$ Z1 M. E
1 |: f2 J, e+ O# i+ g第26题,闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A、错误
B、正确
5 K( V3 _% s( w$ I! p) g正确资料:
. J$ l3 E" [2 o/ V# C

第27题,增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
A、错误
4 O& F7 c( ~* D# M; i+ r. q+ \B、正确
0 c; d$ _, ]* }1 Q# c: J正确资料:
7 Q  w* {* T( D' i

2 U7 i7 f3 W1 G7 K- d第28题,若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A、错误
" K5 T. _$ w( z  Z: Y! |5 Z$ [& fB、正确
$ v3 t$ ^: E" u正确资料:


第29题,可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
2 w* X# H& c8 ?  g0 W1 Q  U+ r! R' bA、错误
B、正确
正确资料:
5 k2 Y5 B# Z( U

第30题,测度为零的集称为零测集.
A、错误
B、正确
1 _2 J0 I, p, P. x4 {; }1 J" A正确资料:

8 G# V" {# K9 K! L+ V% d( ~
第31题,若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A、错误
& Q1 ?' @/ t0 Z# w" K- }/ nB、正确
$ u2 I0 e: w% A正确资料:
0 c) x1 D  r9 R5 e# P& Q  U0 H
" u3 w2 z9 A2 y5 o
第32题,利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
* k4 q0 f4 V3 W. ?: |A、错误
: g2 S$ u/ J' B2 w. wB、正确
* K& Z! a* C4 J4 q, {5 d6 D正确资料:


第33题,L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
+ w0 x- w" z% b7 C$ f% _A、错误
B、正确
! `0 u3 U6 y% I& f! [正确资料:


+ C  o6 d/ F. ]+ i1 [3 Z, N  O第34题,若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A、错误
) F- B# E- ^* O7 F6 D9 EB、正确
* w/ w- U7 }3 s! |. o4 n) f正确资料:
" ~8 i" d! b$ p4 M4 k  m, g
7 l- z6 O% d/ d6 i6 U/ i) l! N( D
第35题,若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
+ n) k0 S5 K) R0 dA、错误
! Y5 y( a: Q) V$ y3 d, x7 NB、正确
$ z" H' \. }( w6 |正确资料:

$ r0 B- ?# d4 b5 d
% g% y, T& T1 f0 N; b8 \+ w第36题,无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
* e- h3 w: o7 QA、错误
* k9 q) |. }" JB、正确
$ f7 L3 U) v% W" N. ]正确资料:
0 ?& _  U9 B, X  d
1 \' N  {- O/ b0 x  s& q$ j
$ p; x! O  T+ d$ Y! U第37题,f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A、错误
B、正确
正确资料:


第38题,下列关系式中不成立的是（ ）
A、f(∪Ai)=∪f(Ai)
' D5 w: T) Y# bB、f∩(Ai)=f(∩Ai)
( d# Y7 a7 ^4 ]' Q* a  IC、(A∩B)0=A0∩B0
D、(∪Ai)c=∩(Aic)
) e. M& u; ^% H4 ~* C; n) \9 F% U1 d正确资料:

- a9 U/ U0 y! `5 s
2 s( _0 L0 q, n& X' N* B. v5 I第39题,开集减去闭集其差集是（ ）
5 b3 R, i' Y- O3 TA、闭集
- j% I. K' E, O. K2 c2 r' p/ i* _B、开集
C、非开非闭集
D、既开既闭集
正确资料:
: b7 M0 w" J" b; [% I/ t  H
' P! D/ y" I. D6 ?
第40题,在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
. v, l: B, i- S* A/ ]& _1 wA、mE=0
/ _! p2 K4 B' H! f) r+ e' o) ?B、0mE+∞
! p, P/ l, {# U6 h/ H) `& b8 lC、mE=+∞
D、0=mE=+∞
正确资料:

' Y! @8 ]/ L* E1 B4 C* u
第41题,fn∈L(E),则fn-0,a.e.是∫Efndx-0（ ）
1 p3 y5 J+ x& ~4 jA、充分条件
B、必要条件
C、充要条件
D、非充分非必要条件
* `7 l& M$ _7 @4 L/ ]. Q正确资料:

! g6 S3 p/ F( {' r( d: x
9 u" T, z: j% U( ?# h6 r第42题,若f∈L(X),则
3 ^# M* v  _2 bA、f在X上几乎处处连续
B、存在g∈L(X)使得|f|=g
C、若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
9 x% U; c5 v! T$ d; s& `2 W正确资料:


第43题,在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A、f在R上处处不连续
5 C# T6 t# x2 [* `: m& ^B、f在R上为可测函数
  w9 H( q$ }2 k, x) lC、f几乎处处连续
3 N0 E4 n: I0 X8 N2 t/ _% aD、f不是可测函数
9 S4 ^5 o. e% l* ?6 a) o3 [正确资料:,B


; Z6 `" m. k9 I第44题,设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A、几乎处处可微
B、L可积
& Q( p7 V: K3 d; F! cC、f'可积
5 C+ z# J! u. g7 v+ q7 RD、区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
正确资料:,B,C
% V3 o) H1 o# s0 I$ U
% ~- [* Q: G, H/ I
第45题,f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A、有L积分值
B、广义R可积
C、L可积
# ^0 h- A0 j2 L% v7 o8 @D、积分具有绝对连续性
& k' f& o' d' O3 c$ p! j正确资料:,D


2 h9 H* j/ G5 ]+ R8 M8 ^. o第46题,A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A、f^-1(f（A）)=A
" Y  G9 ?% a2 I1 r* A3 lB、f^-1(f（A）)包含A
C、f(f^-1（A）)=A
D、f(A\B)包含f(A)\f(B)
正确资料:,C,D


第47题,若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
1 P) _4 Y1 {' j: x  A8 X2 oA、f+g不可测
$ e3 M( T& o% A2 g& J% r7 |B、fg不可测
1 J, k% f# z! N/ R; @! D* Q; R& p9 PC、g^2可测
8 `2 {1 a% M* w1 u$ eD、|g|可测
1 V) ?6 [9 L) w9 x" Z! w正确资料:,C,D
+ z  H0 `" O) a; R0 d
8 e7 D! f0 d8 F* @3 k' r' P
6 ?4 q. T# `8 L第48题,设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A、有界函数
$ i& U6 N7 I: E  Z8 u0 sB、可测函数
C、有界变差函数
, W  {# L, s4 b. fD、绝对连续函数
$ \$ l' k' ?5 A: M5 w正确资料:,B,C
0 W% y3 Y. }8 P
4 ~* d- J6 k7 h  w
第49题,设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A、是L可测函数
$ R& U8 o: u8 ~- BB、不是L可测函数
6 M3 p9 f$ O0 R" _* aC、有界函数
  Z9 N: b( y, g% Y# N1 qD、连续函数
, \$ M: _/ h- D" A5 c# F; F5 J! z正确资料:,C
. T7 L6 f9 B1 M* j5 Z: m$ l( @# `
9 ?7 {3 C" X7 f* R' Z+ t
) s' A+ p* f* P& b6 K1 e9 y第50题,设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
( @# s  t* n* A: d" {0 d" vA、fn测度收敛于|f|
" |& L( z0 l- E. _9 M0 g" iB、afn+bgn测度收敛于af+bg
. n9 N4 k, V; R/ G* a4 Z: X& fC、(fn)^2测度收敛于f^2
7 ]& U$ }; M4 T$ v) S! tD、fngn测度收敛于fg
5 c7 K. s& J, x0 A# R2 W$ q正确资料:,B
$ Q0 z! z" d" Y6 `

: K+ h: ~  D+ x" P


" c, E7 R! f; @$ ~


* y1 m& Q, g% x9 ~1 T


, V4 ]6 N1 T! E/ s2 w2 v+ a
3 ^7 f% R, B) b% ]