22春西南大学[0158]《高等代数》课程作业资料

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3 }/ B- u& [/ C1、在矩阵运算中，任何两个矩阵都可以进行加法运算。
. A.√
. B.×??
! V$ ]' w( O$ A! i( {$ m4 m
! v4 j# h- _* C7 D: t

2、A,B为两个n阶矩阵，则A+B的行列式等于A的行列式与B的行列式之和。
. A.√
. B.×??



3、设多项式f(x)|g(x)，c是一个非零常数，则cf(x)|g(x)。
. A.√??
0 x; K( b9 `) K5 p. B.×
. v& w2 s8 Y  X5 n: `* W& q
. H  o$ A  w- P4 |9 n% T& k, A7 Y

4、设A是矩阵，A的秩等于3，则A的列向量一定线性相关。
. A.√??
' z, T! e+ R' m% |' P( }. B.×


( |2 |, p* F7 q; W
5、一个齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的一个解向量。
. A.√??
7 q: I6 n+ \* Q  ^2 q  p$ F3 I, w7 M. B.×

  i  T/ o" k6 o9 D' V7 W
; m  a0 e+ B+ H
6、设A是n阶矩阵，如果A可经过初等行变换变成单位矩阵，那么A是可逆的。
. A.√??
; b. s& T+ |" e. B.×

2 _2 i- N" t5 n+ z8 I% R. p2 X
6 y4 t7 V" n5 H
7、在一个n阶行列式中，若有某两行的元素相同，则行列式的值等于零。
. A.√??
. B.×
0 y. J& w( w  g) [+ s
% J7 l' h9 s% t, J" e4 k' o

" U5 M* |. x3 V3 V1 [! ^% m3 V  B8、设A是n阶矩阵，若非齐次线性方程组AX=B无解，则|A|=0。
. A.√??
. B.×

, E- k) {  ~6 V, ^4 ]
. O, b' j* j4 j, p" {# D) S, i- l7 B
; X% f6 K$ V7 q* o; K7 \9、设A是5阶矩阵，A的秩等于3，则A的4阶子式全为零。
. A.√??
% s9 K1 p6 g$ _# ^8 C) o" q4 G. B.×
) ?  \% M5 H3 G( i" R# R0 J' o# x


9 c: G# k/ r4 A6 k: q0 Y" F; D10、矩阵
. A.√
9 x5 J; w( N, g4 v. B.×??
2 a$ t5 B9 T1 x! f' a+ N


) g+ x5 `$ {7 P11、在一个n阶行列式中，若有某两行的元成比例，则行列式的值为零。
. @0 o2 ?+ }8 V. A.√??
7 K% K; O. E8 W' G' g. B.×


$ U4 ~* ?- T8 M4 U% @
12、一个n阶矩阵如果能与一个对角矩阵相似，那么它一定有n个互不相同的特征值。
# [! D1 l( C5 X: h- M. A.√
. B.×??

. ~4 p4 c8 n$ k' _7 b

( w: x9 m" V: `* a/ l13、在欧氏空间中，两个单位向量的和向量一定不是单位向量。
2 R- z' e' F0 B! o  E1 |3 u. A.√
. B.×??
- k% w3 _  @' S+ h+ L* Q6 R2 w, b

2 J) i2 W; B' S( U. d- g
3 T$ Y' D; e0 A  R& p14、设V是n维线性空间，W是V的m维子空间，是V的基，则是W的基。
3 q4 W" j  A) A. r: l6 V# ~2 ]. A.√
. B.×??



' n1 A5 B3 o8 }8 M- q15、设A是可逆矩阵，交换A的第一行和第二行得矩阵B，则B也是可逆矩阵。
. A.√??
  k' {! ?1 ~; q5 ~. B.×

$ f) z8 G# u. x5 P9 T% ~: Q/ Y. u

0 o, |. a. _* m16、设A，B为n阶矩阵，r(A)表示A的秩，则r(AB)=r(A)r(B)。
6 N# X: \/ @  C% A- G5 O5 j. A.√
. B.×??



17、根据Eisenstein判别法，多项式在实数域R上是不可约的。
& o! m* r* F; a6 c1 V' L. A.√
' c; D, }4 V! A5 v  D/ D. B.×??

2 C0 e" c& _/ g
5 U) d0 X$ p3 S6 u; S
18、根据整除的定义可知，零多项式只能整除零多项式。
& G1 f3 t& R/ w- i% k! g- f1 ~. A.√??
- J& n2 {- @" f. B.×
" `" p0 r1 |- q+ F! g

9 a4 ]2 B% \+ h$ c% }* z8 j
19、一个非齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的解向量。
. A.√
. B.×??


; ^- n6 A" @) u) K! P
, e& |' v5 ^; I! h9 X20、设是线性空间V的两个子空间，若。
. A.√
. B.×??



, Y! W- |( W; e( k21、设W是线性空间V的子空间，。
. A.√??
  l9 q2 v- ?9 N1 s' p. B.×
- k1 g0 u3 s% X" K* a- c


22、设A是n阶矩阵，|A|=0，E是n阶单位矩阵，则|A+E|=1。
. A.√
: \& Q5 F3 Z  e7 B, s; N7 ]. B.×??
- Y5 |  f) C) u) c8 s
  b3 s$ U& V) R1 M

, u5 R: W1 ]8 w/ P6 K; o, G23、在一个n阶矩阵中，若它的行向量线性相关，则它的列向量也线性相关。
. A.√??
. B.×

& R* h* p4 K+ B
2 F, G) q$ }3 E- ^2 ]
24、在一个5维线性空间中，两个2维子空间的和空间一定是4维的。
. A.√
. B.×??

7 `. Y  f- I  |" k+ y4 n1 H

0 V& S. x' r, d; `9 T% t25、若多项式g(x)|f(x)，则g(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式。
. A.√??
2 b8 i, t, g' `. B.×

- \, U2 ~7 {3 P4 [

26、如果一个向量组线性相关，那么它的任一部分组也线性相关。
9 M" r+ P/ v/ }' G5 P7 ^9 W& Y. A.√
' W1 }; H$ d( C8 ^. S. ~/ M, J. B.×??


" P1 ]  Y- |( O2 |7 B: k- l
27、若2为n阶矩阵A的特征值，3为n阶矩阵B的特征值，则5为矩阵A+B的特征值。
" S, ?# h3 U7 f6 E: ^9 p; Z7 o. A.√
3 H' @- n; _# c! N8 M& n. B.×??


9 N% {# g, y0 S5 H3 s- K
28、在欧氏空间中，正交变换把正交的向量变成正交的向量。
5 u- d- H( x+ T& L) x& F$ e. A.√??
- F$ B- g0 r* [* }. ^* c7 Q; j! o* S+ Y. B.×
  F& s0 K8 \8 r3 W; K9 B7 N
3 M- L% I3 d# u5 t  V0 R8 R

2 M% S6 @. n. b( U1 h/ u29、若向量组线性相关，则
% w0 \1 P7 o% \( N$ U1 E( @& B. O. A.√
& }8 f7 c" ]3 R' R. B.×??



30、设为一个向量组，由于，所以线性无关。
. A.√
) ~6 [8 r$ z- j% H1 z( O. B.×??
# P. D$ W0 V9 U8 \8 Z6 `4 l" r, w


31、如果一个二次型是正定的，那么它的函数值恒大于零。
. A.√
+ K% G" F1 l- m' d. B.×??
0 R3 j  \  e0 f


9 @: A% g; H! H32、设A是线性空间V的线性变换，若有非零向量，则A不可逆。
5 s4 k+ U6 e9 h+ p' x# n. A.√??
. B.×


) @  L( Z; {! I9 ?& O4 T1 ]( O
33、由代数基本定理可知实数域上n次多项式一定有n个实根。
. A.√
. B.×??
' n5 S# |+ y' r/ C/ p


) L$ R+ ?& @5 Z! C8 t34、数域P上两个不可约多项式的积一定是可约多项式。
# V% P9 b2 t1 _2 m. A.√??
3 \/ t  \, Y: ]5 C; v# U! l  T' Z. B.×
! Q# F: y: K7 ]/ x8 ?/ ~! v

9 J7 u# M+ O4 [
  m: n/ o! o/ W& P. K; `35、如果两个n阶矩阵的秩相同，那么它们一定合同。
: G# e$ n  e5 E3 C- ]* b+ ^% _. A.√
0 E1 m' l# q& c5 o" X, N+ c. B.×??



- L  w) j( V# T6 y& q# t0 ^8 v# ~/ Z36、两个向量组等价的充要条件是它们的秩相等。
. A.√
. B.×??
' G% U) ?7 P$ T% }* }! [8 L/ R4 l  D+ W

9 Z% Q8 m+ ~$ M
  L6 h6 h! m! M37、在线性空间中，如果一个线性变换把子空间变成子空间，则它一定是可逆线性变换。
/ X  K+ s9 K, F. A.√
  N; P, {1 j( D/ K/ @) E/ q& r. B.×??
# F9 q! Q+ Z/ v: V
% t8 j( G5 @' x- m
; R! g, L4 W+ h- S! y) s; E
38、设，若f(x)与g(x)互素，则(f(x),g(x))=1。
. A.√??
0 t  J( v! ~9 R% F* q9 r4 a1 a. a. B.×
$ P+ S1 T& b: h2 d- s4 m9 J
) G9 s( ^  e9 _
0 E' {! ^/ T; A; h( h
# I- G) Q$ f. c$ k! {3 m/ ?$ [$ {! i39、设为一个向量组，若，则线性相关。
. A.√??
. B.×
2 j* E* j9 k% m( L% q# \


40、一个3维线性空间只有4个不同的子空间，它们的维数分别为0，1，2，3。
. A.√
( B( Q0 ^. B2 @6 S2 P7 G. B.×??
  b2 ^" i, j+ X: v# ^0 p

& P$ U" w- K. K
41、在线性空间V中，若向量线性无关，线性无关，则也线性无关。

/ j  v; I1 R+ Z5 J# K) M. U. A.√
( l7 }( }+ J( Y* b7 c7 ^. B.×??
4 O+ \, `' G  u. ^2 d

& ]% c2 e% F0 x' Z7 k4 M) W
42、若A，B为n阶对角形矩阵，则AB=BA。
. A.√??
. B.×
+ F$ `1 F" ?3 h: A

* a! ~' k- M- Z2 A! F# `主观题
43、四级排列4321的逆序数是?? ? ? ? ?。
* |4 K6 a/ R/ n# c  `1 p1 E参考资料：
6
( _& U2 d7 f$ V/ F. U, Z+ n
' Z6 w/ v. r! {3 b
1 g( L* E9 d! J# z* M. o6 T/ x* u
; r, X( I8 O! Y9 G9 a9 Y4 V% v44、设A是3阶矩阵，|A|=2，则|3A|=?? ? ? ??。
! P# ~. Q* }0 d, e: e参考资料：
54


% }9 N- S4 w0 J) f' H
& R( }4 ^2 c8 A: ]45、若是正定二次型，则d满足的条件是?? ? ? ? ??。
9 s. w( j6 U$ I3 {4 ?参考资料：
  @9 P" T9 P4 N, \
$ c/ K7 \' \. w( O
( ^$ l, }4 s) E; E8 Y$ u# ^
/ U3 t6 S" `) T; H5 Q( J
5 h) m& U- R: B! j" D46、设3阶矩阵A的特征值为1，2，b，若A不可逆，则b=?? ? ? ? ? ? ?。
参考资料：
. s5 {3 F) `. g0 `0
" b6 B& G  o, R" V  R3 l/ S# R3 u


47、在向量组中，，则的秩等于?? ? ? ? ? ?。
参考资料：
2



, ?* ?0 T( r  e4 h% R8 A; I/ i  ?8 ]48、设A是n阶矩阵，|A|=5，将A的第一行的3倍加到第二行得矩阵B，则|B|=?? ? ? ? ?。
- }, C2 [/ Y: ^  t参考资料：
- M( O/ {" l' }5



49、在1，2，3，4构成的所有四级排列中，有?? ? ? ? ?个偶排列。
1 G* R$ N' q: J% f; \参考资料：
7 b+ R9 L, A" v12
. _# W9 L" ^' |1 b
) |! |, w$ U- B6 J7 {0 X$ c! X
2 ^. m/ B  ?9 Q) Y
50、设A是矩阵，B是矩阵，若AB可逆，则m，n的关系是?? ? ? ? ?。
& [% l) S4 ^8 G* v: p5 }( p8 `参考资料：
! k% \) e. q' ?

/ t; t& F& ]- l8 }! i; \
- A' `2 C: I5 O9 x# E6 y! w' @
/ N9 S& X- f" m7 b; h. w  j51、设，则f(x)的所有系数的和等于?? ? ? ??。
参考资料：
3
$ w7 q# k( C0 R! B" F


: J# U- Z: M- l' q52、若，则c=?? ? ? ? ? ? ? ??。
! n9 R: P5 j3 H6 P! @# g: @+ k参考资料：
  |0 D* \2 H; N-1
; Y9 n! E/ g# K$ t( j0 G
" M' J+ a1 W! Z% ~" q

53、设A,B为3阶矩阵，A是可逆的，B的秩等于2，则AB的秩等于?? ? ? ? ??。
" N' ^* ^/ j# \; Q0 c# K1 J参考资料：
2


' T; C0 Q3 Z& r9 h% O& x
/ e2 ]0 N5 U8 ^3 s& a2 r8 `7 Y54、在3维线性空间中，向量(2,0,-1)的负向量是?? ? ? ? ??。
参考资料：
7 m# S7 R2 h8 z8 f- v" n! F4 ]4 w: |(-2,0,1)


% ~1 @1 Y5 s+ }  r; h. }6 p& M6 _% x8 i! x
! ]5 T: c* z" G55、设，求g(x)除f(x)的商式和余式。
& m1 Y/ ^0 P9 M& m# ?6 w! k" M
参考资料：
2 [" e- d' v4 l7 h  x  e" U9 M* S& }解：做综合除法：
　　　　　　1   -6   3   16
6 u6 S9 z: [* d7 j      3      3   -9   -18
　　　　　1   -3   -6   -2
' Z2 Q) ?8 Z1 B9 P8 ~. S# K0 j所以g(x)除f(x)的商式为：，余式为：-2。……15分
4 C+ j! A: m/ T" t
) Z$ ]3 f" i/ B( \6 f! D) k

6 C0 }  D: x$ W) \  _
& R* z. `8 |6 D' M$ ^
8 E: n' E; @: l+ u: Q& g5 E# L8 @) n. v
/ b* ]8 ~9 _9 K9 m, Q! c/ O5 b56、设，为A的一个特征向量，求a的值。

参考资料：
解：设是A的属于特征值的特征向量，则，……6分
于是
- S6 b2 p8 |9 I- R; c/ i7 [，……10分
, C, a4 d8 f3 d& D* [+ }" R4 c所以，解得，所以a = 3。……15分

6 Y4 _7 I* i& p
2 u& W1 e8 Q3 w- z) Y; b6 O7 c0 @

) A4 v# @4 t" ]1 ^1 u8 B3 w
3 g9 M7 v8 D6 o( D8 @57、设(1,1,1,1)是下面的线性方程组的一个解：，求a，b，c的值。
% E0 a4 ^  d5 ?; w4 a' M6 q( U0 d3 ?
参考资料：
% f! Z" X' w& N1 V$ g. `解：由(1,1,1,1)是方程组的一个解得：
1 s) h7 L1 H" y/ F* {: j. p! U1 _5 f- x1 T，…………8分
所以a = 0，b = 3，c = -2。…………15分
* @& j& m3 t9 x: {
$ a1 f8 b9 J2 H9 M

) P. o+ l! R# H+ L
: K; ~! S: y- R: ?( [8 F
# V5 o. n# F9 L3 g( ^  Z58、设，2阶矩阵X满足，求X。

" \, F- ^- l" d9 x: Z: R参考资料：
! N  A$ d. B* E! a/ [0 i! R解：因为，而，所以是可逆的。……5分
- t' V9 f" N8 n# }; S0 z+ l又，于是
9 }2 I! r( I; {, A。……10分
由于，所以
% ~5 g+ n4 W' f" y& a; J" o2 I=。……15分
59、设是齐次线性方程组AX = 0的两个解向量，证明也是AX = 0的解向量。

参考资料：
& ?& |" w8 U9 A' c证明：由已知条件有，……3分
9 i# {9 k. X% \# k/ Q0 r所以
2 J( T! b' ~* ~0 {，……7分
所以是AX = 0的解向量。…………8分
" Q7 N/ ?# j3 e* d* W2 o1 u. z  e

# d! A2 @0 Z9 f' P
' k4 [( k5 _% m


60、设A是线性空间V的线性变换，，证明：若线性无关，则线性无关。
  g0 S' D8 l; V& z# c5 X2 B证明：设，则
5 j2 y3 Y7 L( B3 a，……4分
" ]0 }; E! ^- ]由于线性无关，所以，
0 Y, s5 `& T- a! o/ Q9 P: `所以线性无关。…………8分
  F6 k- M  w9 p: }4 J
* p9 S' u" s/ S1 F' i
3 Q- l7 B- R* M3 o
5 c  x3 o9 Y8 ]% |$ n


6 R% ]( K- |5 z; z
5 n; a+ x4 w( k. z7 `( g1 E5 l