福师10秋学期《实变函数》在线作业1

久爱奥鹏晓林

福建师范大学
福师10秋学期《实变函数》在线作业一
2 d& p7 ]' \7 {单选题
; y+ _' Z9 l0 P8 G4 e! [2 F1.若f∈L(X),则
& k7 S, c6 _5 ]5 vA. f在X上几乎处处连续
B. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
9 C, b1 _3 z0 R. [0 R0 s( r# k$ y9 x' TC. 若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
资料：B
2.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
% S/ x) V3 X: V6 \& EA. 连续函数
B. 单调函数
. `' @/ i5 o6 W1 k) O) x' M- E0 JC. 有界变差函数
, d8 B: R7 Q2 c3 uD. 绝对连续函数
资料：C
3.fn->f,a.e.,则
8 i' l8 @9 y5 ?. a- \A. fn依测度收敛于f
B. fn几乎一致收敛于f
C. fn一致收敛于f
: C$ c1 D1 i/ S$ dD. |fn|->|f|,a.e.
资料：D
4.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
2 n/ v( _6 j. v- }& AA. mE=0
B. 0<mE<+∞
C. mE=+∞
0 A+ C% O4 t' R9 j" _D. 0<=mE<=+∞
5.有限个可数集的乘积集是（ ）
A. 有限集
B. 可数集
C. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
6 |- w/ V5 P7 q) |' y多选题
1.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A. g可积
B. g可测
3 T8 G. [/ L8 [" o& F& |8 K. tC. g<∞，a.e.
2.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
5 w, V# N7 Q5 R2 i+ nA. 是L可测函数
B. 不是L可测函数
) _- X, y. P3 b- x: l/ Y# tC. 有界函数
D. 连续函数
3.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
A. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B. 若E1包含于E2,mE1<=mE2
C. 若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
4.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
+ i5 j" p, l7 s5 }0 g0 g% Z* u+ KD. 积分具有绝对连续性
4 e5 t0 n0 _9 M$ k+ B$ c5.若f∈BV[a,b]，则（ ）
A. f为有界函数
: y, `1 H6 e$ L" s% s6 ~/ VB. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
6.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A. fn测度收敛于|f|
B. afn+bgn测度收敛于af+bg
5 M* [) J  u5 }( EC. (fn)^2测度收敛于f^2
D. fngn测度收敛于fg
7.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
6 Z9 B8 a# B0 ?5 BA. m(A)<m(B)
: m/ R+ C% X! {0 d1 j+ {' j$ vB. m(A)<=m(B)
C. m(B\A)=m(B)-m(A)
" W: A, s, J) Y9 S$ G6 w8 V$ yD. m(B)=m(A)+m(B\A)
8.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
3 J% u9 ^; l! _1 f% Z, ZA. 几乎处处可微
B. L可积
C. f"可积
D. 区间[a,b]上积分值∫f"(x)dx=f(b)-f(a)
/ H$ \/ C: [0 k6 m判断题
8 c, u1 m1 z$ m$ ?+ y) I1.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
1 e( p9 F; W  y: s; G/ }A. 错误
* B( ]) H% [0 }: q0 p5 Y( x/ lB. 正确
; u  _* N3 U2 A; ^4 \- U: ^# y2.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
6 t# L4 s) l& R& D& C9 W. s; PA. 错误
- C$ H1 d& `- e( a, g: MB. 正确
3.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
' q/ y- ^! t! rA. 错误
B. 正确
4.可数集的测度必为零，反之也成立.
A. 错误
B. 正确
5.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
+ w) n7 T+ M* {- R' T) oA. 错误
B. 正确
6.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
5 ]- o7 q! Q& `: ]% x" v) hA. 错误
B. 正确
, D+ e' B- S4 p8 d7.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
% f6 _5 g7 ?1 ~4 T4 G2 lA. 错误
' ~' E  m( b2 B: F% a/ D, X" ~B. 正确
: o1 k; ]1 m. }  U6 g8 f: ]8.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
  y! D; _: J" l! z0 Y/ nA. 错误
- D6 d4 s% J! Y5 i3 ?/ N: r3 |2 W. bB. 正确
9.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
+ r7 I0 o- m3 O; C. Q0 }A. 错误
B. 正确
. N5 A5 U: m. p; B% H5 A10.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A. 错误
B. 正确
11.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A. 错误
3 J  O  K& x; M5 P5 vB. 正确
12.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
A. 错误
B. 正确
0 n) `8 s4 v9 j4 _2 x13.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A. 错误
# Q! Z2 N& X, |. B0 n. QB. 正确
14.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
5 Y' @# d. n* p  w! f, yA. 错误
/ k7 L3 b3 J/ I4 N& [. wB. 正确
15.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A. 错误
" R3 \8 `" V  L# TB. 正确
16.对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n->+∞} n·M[E(|f|>=n)]=0.
) A& Q  Q! _# n: ^A. 错误
  E5 O, f4 R# z" ZB. 正确
1 D' z1 z- p& [17.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
" b' I) K, M; V2 T" U' }A. 错误
B. 正确
$ b/ n; d6 W3 _, F# T18.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
1 \# d# R1 |+ d" g1 \* |A. 错误
7 v$ x; d* H' tB. 正确
19.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A. 错误
& B$ O  u2 K' r' v6 @# S( r1 i: `B. 正确
20.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
" C4 [& ]8 A+ P$ NA. 错误
B. 正确
4 f- o, p# m! C7 F21.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
# j+ o8 k: i* DA. 错误
( K! R% g1 f! Q! \B. 正确
22.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A. 错误
B. 正确
23.对R^n中任意点集E，E\E"必为可测集.
/ I7 U8 l8 Z5 T9 m/ G7 lA. 错误
) p- U6 S7 W% w% |! lB. 正确
; |+ E3 b* c8 ~# e* @24.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
6 Z+ D6 y9 t: F% q  CA. 错误
B. 正确
25.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
: @! n/ @& P; }7 F$ R. o# r; G& a  DA. 错误
B. 正确
. m) s! c( I. h& d, O: V1 r26.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
4 C5 `7 f) k3 L6 P4 H9 v- _- B  ZA. 错误
' `- r2 [. r! T$ X& Q/ UB. 正确
0 ]9 C3 V  g0 f/ q* M1 |8 {0 X9 i27.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A. 错误
5 C% X  y# a8 m$ p% C  `B. 正确
28.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
' Z6 J5 K( F& ~! LA. 错误
B. 正确
29.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
A. 错误
: S# k' M7 J4 D. c* ?B. 正确
2 {$ J' o5 n8 N0 v30.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
1 e/ o7 `( y8 M5 M0 A) p$ tA. 错误
B. 正确
31.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A. 错误
B. 正确
32.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f"(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A. 错误
& Q7 `! x& {" C0 y9 K/ ]; G9 PB. 正确
33.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f"∈L1[a,b].
( ^$ l. u4 R* BA. 错误
B. 正确
34.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
. y, z" |' K0 e! \9 E% C, wA. 错误
4 q7 R9 F+ f# a9 q& [* ^9 hB. 正确
2 B; l. f/ e5 v  M35.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
! z7 J6 p' E% a8 D- L& LA. 错误
! {2 ^! o* D( x! L  s  }. rB. 正确
36.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
8 y5 n9 k. s- B! G6 D  YA. 错误
B. 正确
37.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
0 _5 T, U; A' b! C% ?" bA. 错误
2 X: e. ^8 |# X4 @B. 正确