东师11春《量子力学》辅导纲要（4）

久爱奥鹏晓林

《量子力学》辅导纲要（4）
25  一个电荷为 、质量为 和角频率为 的线谐振子，受到沿 方向恒定弱电场 的作用，即 ，求基态能量，近似到二级修正、波函数到一级修正。
   已知：  
解：

在线性谐振子的情况下，利用

得



可见，只有

带入微扰公式得基态能量一级修正

基态能量二级修正

基态一级修正

26．求自旋角动量在任意方向 （方向余弦为  ）的投影算符
              
的本征值和相应的本征矢。
解：





得   


当 时，



  归一化后为

当 时，




归一化后  

27．氢原子在 时刻处于状态
              
式中， 为氢原子的第 个能量本征态。
（1）        计算归一化常数 ；
（2）        计算 时能量的取值及相应的几率与平均值；
（3）写出任意时刻 的波函数 ，能量的取值及相应的几率与平均值。
解：（1）利用 的正交归异一型性，可得。 得
（2）因为 是 的本征态，所以其系数模方即相应能量本征值几率。如此得能量的可能取值为 ，

      （3）                                                 （4）
由于 能量守恒，所以能量的取值及，取值几率与平均值都与 时相同。
28．作一维运动的粒子，当哈密顿算符为 时，能级是 ，如果哈密顿算符变成 （ 为实参数），求变化后的能级 。（提示，用动量表象求解）。

解：在动量表象中




， 。
29．质量为 的粒子处于一维谐振子势场 的基态，
若弹性系数 突然变成 ，即势场变成 ，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场 基态的几率；(只列出详细的计算公式即可)
解：粒子的波函数 随时间的变化满足  方程
      
对时间区间 积分得

可见，当 发生突变（由 ）、但变化量有限时， 不变。以 和 分别表示 场和 场的基态波函数，当势场突然由 变成 后，粒子的波函数仍为 。由于 已变为 ，新势场 中的基态是 。于是随即测量粒子的能量，则测得粒子处于 态的概率为 ，即粒子能量为新基态能量 的概率为 。
将 和 写成标准形式：

可得    ，又有：

其中
因此
所求概率为
30． 已知二维谐振子的哈密顿算符为 ，在对其施加微扰 后，利用微扰论求 第一激发态能量至一级修正。
提示： ，其中， ，而 为线谐振子的第 个本征矢。
解：若选
        （1）
则
                          （2）
已知 的本征解为
           （3）
令
                       （4）
则零级近似能量本征值可写成
                       （5）
第一激发态 ，简并度为 。在简并子空间中，相应的零级近似解为
                 （8）
能量一级修正满足的本征方程为
                   （9）
相应的久期方程为
                      （10）由         （11）
可以求出微扰矩阵元
                            （12）
而
（13）
将（13）和（14）的矩阵元代入久期方程（10），得到
                       （14）
显然，能量一级修正已使第一激发态的能级劈裂成两条能级，即将二度简并完全消除。
为了求出近似本征矢，将 代回本征方程
               （15）
得到
                             （16）
由归一化条件可知
                            （17）
于是，得到相应的零级本征矢为
                （18）
同理可得， 相应的零级本征矢为
                    （19）
31．已知 ，求证   
证明：用数学归纳法证明。
当n=1时，  
      假设当指数为n=k时，也成立。即：  ，则当指数为n+1时，  
成立，所以      

32．一个三维运动的粒子处于束缚态，其定态波函数的空间部分是实函数，求此态中的动量平均值。

解：定态波函数的一般形式为

为能量。由题可知 。由于是束缚态，必定有 （当 ）。于是可计算动量平均值，如
                =
                 = =
对 也有同样结果。

   33．质量为 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于 的状态 上，求其动量 与动能 的几率分布及平均值。
解：做一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为

显然两者相互对易，有共同完备本征函数
        
分别满足
        
将 向 展开，即
      
展开系数
     
只有当 时， ，利用归一化条件
         
可知归一化常数为
         
于是归一化后的展开系数为

动量的取值概率为
  
平均值为

动能的取值概率与动量相同，而平均值为
   



34．对于一维运动，求算符 的本征值和本征函数， 。
解：在 表象中，

  ， ，
，
,
因为  本征值 为任意实数。
35．用狄拉客符号导出由F表象到G表象的表象的波函数及其算符的变换公式，写出么正变换矩阵。
解：  

在F表象中，

，
。
是么正变换矩阵元。
36．在能量表象中，一维谐振子在t＝0时的状态为
求
（1）(6’)能量的可能值及相应几率;
（2）(4’)能量平均值;
（3）(8’)t时刻粒子的波函数.
解：（1）首先将这个波函数归一化并对能量本征态展开，由 可得，
      
由 ，可得能量可能测值为 对应的几率分别为
（2）用 来求得平均值为  ，或

    （3）而 时刻波函数 。
37． ，ε=ε*<<1，求：
1. H的近似到 的能量本征值；
2. 和近似到ε的波函数（用微扰法）
解：将矩阵改写成  
能量的零级近似为
能量的一修正为
利用能量二级修正公式
求出能量二级修正的具体结果是
近似到二级的能量为
利用波函数一级修正的公式
可以求出波函数的一级修正为

近似到一级波函数为
38．计算对易关系 ，其中， 。
解：
               （1）
                       （2）
同理可得
     ;                  （3）
       ;                （4）
39．已知在 和 的共同表象中，算符 的矩阵形式为
；
求其本征值及相应的本征函数。
解：在 和 的共同表象中， 满足的本征方程为
                   （1）
相应的久期方程为
                    （2）
于是，得到 满足的代数方程
                       （3）
显然， 。当 时，将其代回方程（1），得到
                    （4）
由上式可知
                             （5）
                          （6）
                            （7）
于是，有
                           （8）
利用归一化条件
                （9）
得到
                    （10）
当 时，本征函数的矩阵形式为
                          （11）
同理可以求出 时相应当本征波函数的矩阵形式分别为
；                  （12）
容易验证上式三个波函数是相互正交，而自身是归一的。
40．求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。
提示：偶极近似的情况下， 。 。
解：在只考虑电场作用，即，偶极近似的情况下， 。跃迁几率 与矩阵元 成正比。
            
在线性谐振子的情况下，利用

得


可见，要使 ，必须
                        或         
由此得
                 
此即线性谐振子偶极跃迁的选择定则。
41．求算符 在动量表象中的矩阵表示。
    解：本题既可以在坐标表象下进行，也可以在动量表象下完成，得到的结果是完全相同的，只要一种解法即可。
解法1，在坐标表象中计算。
这时，有
                           （1）
                  （2）
在动量表象中 的矩阵元为
          （3）
解法2。在动量表象中计算。
这时，有
        （4）
                        （5）
在动量表象中的矩阵元为
                  （6）
上式的最后一步用到
                               （7）
或者，利用 矩阵元的厄米性质
                                            （8）
亦可得到同样的结果。
42．设粒子在宽为 的非对称的一维无限深势阱中运动，若粒子处于状态
                 
求粒子能量的可能取值与相应的取值几率。
解：已知在无限深势阱中运动的粒子的能量本征解为
                （1）
                         （2）
由展开假设可知
                          （3）
其中，展开系数为
       （4）
其中，用到下列三角函数公式
                 （5）
由（4）式知，波函数 是归一化的。于是，能量的可能取值为 ，其相应的几率为
   ；                    （6）
取其它值的几率为零。
43．耦合谐振子的哈密顿算符为
           
.
（1）求其零级定态波函数的简并度。
（2）试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数。已知
    。                  
解：若选
        （1）
则
                          （2）
已知 的本征解为
                       （3）
令
                       （4）
则零级近似能量本征值可写成
                       （5）
   为了看清能级的简并情况，将 与 的关系列在下面：
       （6）
显然，第 能级的简并度
                               （7）
第一激发态是 ，简并度为 。在简并子空间中，相应的零级近似解为
                 （8）
能量一级修正满足的本征方程为
                   （9）
相应的久期方程为
                      （10）由         （11）
可以求出微扰矩阵元
                            （12）
而
                    （13）
将（13）和（14）的矩阵元代入久期方程（10），得到
                       （14）
显然，能量一级修正已使第一激发态的能级劈裂成两条能级，即将二度简并完全消除。
为了求出近似本征矢，将 代回本征方程
               （15）
得到
                             （16）
由归一化条件可知
                            （17）
于是，得到相应的零级本征矢为
                （18）
同理可得， 相应的零级本征矢为
                    （19）
44．对于一维运动，求算符 的本征值和本征函数。
解：在 表象中，
  ， ，
，解得
45．已知算符 满足
，
证明 ，并在 表象中写出 的矩阵表示。
解：由题中所给条件可知
      （1）
设算符 满足的本征方程为
                                （2）
则有
                            （3）
由（1）式可知
                             （4）
显然，有
                              （5）
在自身表象中，算符 的矩阵形式为
                           （6）
46．类氢原子中，电子与核的库仑相互作用能为   ，当核电荷由 时（  衰变），相互作用能增加了 。
( )试用微扰论讨论体系的基态能量的一级修正；
    ( )计算结果与严格解比较。

解：
             （1）
的基态解为
，                    （2）
能级的一级修正

                            （3）
严格解：            
                    
当 较大时，微扰论可得到较好的近似。
47．电荷为 的原子核发生β-衰变，核电荷变成 。对于衰变前原子 中的一个 电子（ 层电子），衰变后仍保持为新原子的 电子的几率等于多少？

解： 由于原子核的β-衰变是突然发生的，可以认为核外的电子状态还来不及变化，对于原来的 电子，其波函数仍为
                                            （1）
   
而新原子中 电子的波函数应是
                                          （2）
将 按新原子的能量本征态作线性展开：
                                                          （3）
则衰变前的1s电子在衰变后处于新原子的 态的几率为
                                    （4）
因此，本题所求几率为
                                               
                               
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