《量子力学》辅导纲要（1）

久爱奥鹏晓林

《量子力学》辅导纲要（1）

第1章 量子理论的实验基础
主要内容：
1．实验与传统理论的尖锐矛盾，提出新理论的必要性。
2．深刻理解哪些实验验证了哪些新物理概念。由此认识到这些实验
为建立新理论奠定了基础。
3．普朗克假设的物理意义及其对黑体辐射的解释；
4．德布罗意波假设的物理意义及戴维孙－戈末实验；
5．由 解释康普顿散射及光电效应。
重点掌握：
1.黑体辐射与普朗克的量子假设
绝对黑体是指能吸收投射到它表面上各种波长全部辐射的物体，简称黑体。
维恩公式
                                （1）
式中， 为常数。该公式在高频时与实验符合，在低频时与实验不符。
瑞利和金斯利用电动力学和经典统计理论导出了另一个黑体辐射公式，
                                     （2）
式中， 是光速， 是玻耳兹曼（Boltzmann）常数。瑞利-金斯公式与维恩公式刚好相反，只在低频时与实验结果符合，而在高频时与实验结果不符。容易看出，在频率趋于无穷大时，辐射能量也将趋于无穷大。这显然不合理。   
普朗克的能量子假说，即，物体只能以 为能量单位吸收或发射频率为 的电磁波，这里 是一个普适常数。由此他推出
                              （3）
        称为普朗克常数，现在测得其值为
                                          
更方便的是用
                                       
的量纲为
                                                      
即 具有角动量的量纲，也是作用量纲。能量子这一概念显然不可能由经典物理学推出。这是一个突破性的新概念，是量子力学的起点。
普朗克公式在高频时与维恩公式一致，在低频时与瑞利-金斯公式一致。            
2．普朗克－爱因斯坦光量子假说      
    爱因斯坦认为电磁辐射是由光量子组成，每个光量子的能量 与辐射频率 的关系是
                                              （4）
此即爱因斯坦的光量子假说。由此他推出了解释光电效应的公式
               （5）
根据光的动量和能量的关系 ，爱因斯坦进一步指出光量子有动量，
                            （6）   
康普顿（Compton）散射实验证实了这一设想是正确的。
3．康普顿效应
在轻元素的原子中，电子的束缚能和动能都很小。将X-射线入射到这种轻元素的物质中，忽略电子的束缚能和动能，可将电子对X-射线的散射近似看作静止电子对光子的散射。由此可得散射光频率的改变量是
      ，     。   （7）
按经典物理，散射光的频率等于入射光的频率，是不可能解释康普顿效应的。康普顿效应很好地验证了爱因斯坦的光量子假说。
4．原子光谱及玻尔模型   
    原子光谱的巴耳末公式
                                       （8）
其中， ，称为里德伯（Rydberg）常数， 为频率， ，且 和 皆为整数。
原子的线状光谱和原子的稳定性不可能由经典理论解释。按经典理论，在原子中作加速运动的电子必将产生辐射，其辐射频率应该是连续的，而非线状的；电子通过辐射放出能量后，会沿着螺旋线不断地落向原子核，最终会掉到到原子核上去，这样原子就不可能是稳定的。可是，事实并非如此。
为解释这些实验结果，1913年，年轻的丹麦物理学家玻尔（Bohr）提出了两个重要的假设：
① 定态假设： 原子能且只能稳定地存在于与分立的能量相应的一系列状态中，这些状态称为定态。原子能量的任何变化，都只能在两个定态之间以跃迁的方式进行。
② 跃迁假设： 原子在能量分别为 和 （ ）的两个定态之间跃迁时，发射或吸收的电磁辐射的频率 满足如下的关系式
                   。                    （9）
5．角动量量子化条件：作圆周运动的电子的角动量 只能是 的整数倍，
                                   （10）
索末菲将其推广到不限于圆轨道的周期过程和多自由度情况，
                            （11）
其中， 为一对共轭的正则坐标和正则动量， 表示对一个周期运动的积分。（11）被称之为玻尔-索末菲量子化条件。
玻尔的量子论不但解释了实验上已发现的氢原子的光谱系，而且，预言的新譜系也被莱曼在实验中观测到,预言的 光谱也被证实。玻尔理论也直接解决了原子稳定性问题，并且与普朗克－爱因斯坦的光量子假说相一致（原子定态的能级差和光量子的能量都是量子化的）。
玻尔量子论的局限性和存在的问题是，它无法解释复杂原子的光谱结构；不能给出处理譜线强度的方法；不能处理非束缚态的问题。
6．德布洛意物质波假设与戴维逊－戈末实验   
     德布洛意假定：所有粒子都如同光子一样，既有粒子性，也有波动性。表征其粒子性的能量 ，动量 和表征其波动性的频率 ，波矢量 的关系为（称之为德布洛意关系）
              。                  （12）
与自由粒子相联系的波 称为物质波或德布洛意波，
，                             （13）
式中 是波振幅。
7．戴维逊和革末实验  戴维逊和革末在1927年用实验直接证明了粒子的波动性（即波动特有的干涉和衍射现象）。他们用具有一定动量（从而具有一定波长）的电子垂直入射到磨光镍单晶的一个晶面上，测量不同角度的反射波强度。其结果与X-光在光栅上的衍射现象相似。在这里，磨光的镍单晶晶面等效于一个反射光栅。不同取向的晶面，光栅常数 不同。当电子波长 ， 与角 （反射电子动量与晶面法线的夹角）满足
，                                    （15）
时，反射波加强，电子密度极大。实验结果与理论预言完全一致。
此后的大量实验证实，中子，原子，分子等也都具有波动性。波动性是物质粒子的普遍属性。

第2章 波函数与薛定谔方程

主要内容：
1．德布洛意物质波的波粒两象性本质及玻恩的概率解释；
2．德布洛意物质波的叠加原理及其与经典波叠加原理的差别；
3．薛定谔方程及基本的算符化规则；
4．由概率流及概率的连续有限性理解波函数定态解的物理条件；
5．定态薛定谔方程及其特点。
重点掌握：
1．波函数的统计解释   
波粒两象性
    德布洛意的物质波假设的实质是：每一个粒子都必然地伴随一个德布洛意波，每一个粒子都既有粒子的性质，又有波动的性质，就是所谓的波粒两象性。一个统一体怎样同时具有这两种性质呢？
从经典物理学的概念出发，有一种观点（代表人是薛定锷）认为：把电子看作为某种物质波形成的波包。这种观点的根据是波包的群速度 等于粒子的速度 。由此似乎可将粒子看作波包，但这是行不通的。因为 ，波包必然要弥散到很大的空间中去。这显然与粒子的有限大小完全不符。在迭加原理成立的线性理论中，不可能有孤立子解（不扩散且局限在空间小区域中的波包），以上分析无疑是正确的。实际上，在非线性理论中，既使孤立子解存在，也不能将粒子看作德布洛意波的波包。孤立子本质上不同于通常粒子。
另一种观点是，电子德布洛意波是由分布于空间中的大量电子形成的。这也是错误的。在戴维逊－革末实验中，如果让电子一个一个的入射，那么，开始时，底板上只有一个一个孤立的斑点，看不出任何规律，但长时间之后，底板上将出现很有规律的，与大量电子同时入射相同的干涉花样。这充分说明单个电子也有波动性，每个电子都有属于它自己的德布洛意波。氢原子只有一个电子，这一电子运动的稳定性和能级的量子化也充分说明了单个电子必然伴随有属于它自己的德布洛意波。
以上分析表明，在经典物理学基础上，很难解释清楚德布洛意波。电子不是经典物理学意义上的粒子，也不是经典物理学意义上的波。按经典物理学，所谓粒子，必具确定的电荷及质量；其运动状态由其确定的位置和动量描述，因而其运动必有确切的轨道；并且是整体性地参与相互作用。所谓波，其存在范围是非定域的，不是波动的各个部分同时参与作用，同时发生变化，而是其某一部分参与作用后，发生变化，再将作用逐渐传播开来；波动由其振幅，频率 和波矢 描述，遵循相应的经典波动方程；对于线性波动方程，迭加原理成立，因而有干涉和衍射现象；量子理论中的粒子，即伴随着德布洛意波的粒子，不可能同时有确定的动量和位置，因而不可能再有确定的运动轨迹，这不同于经典粒子；
由以上分析，我们看到，由于粒子伴随有德布洛意波，它失去了部分粒子性质（运动轨迹），仅保留有整体性这一性质；德布洛意波是一种波，但由于其伴随有粒子，它失去了部分波动性，仅保留了部分波动性（ 及迭加性）。
以上为了说明方便，我们用粒子和伴随它的德布洛意波两个概念说明新的粒子性和新的波动性。实际上，粒子和伴随它的德布洛意波是一个统一的整体，这一新的整体具有部分经典意义下的粒子性，也具有部分经典意义下的波动性。对这一整体的性质正确概括是玻恩作出的，他将德布洛意波解释为概率波。
概率波
玻恩对德布洛意波 的解释是，不论是德布洛意的物质波，还是薛定谔的波函数（见后）都不是什么实在的物理量的波动，只不过是描述粒子在空间的概率分布的概率波而已。即， 是概率波的波幅， 是粒子 时刻在 点出现的概率密度。
因为 是概率波，

所以其绝对振幅并不重要，相对振幅是有实际测量意义的，相对振幅决定了相对概率的大小。因为在整个空间中，找到粒子的概率必然是1，所以按这种解释，应该有
                            （１）
        称为归一化的波函数。如果 没有归一化，那么显然可以重新定义一个波函数 ， ，如此 。由于平面波不是平方可积的
，　　　　　　　　　　     　（２）
所以不能将平面波归一，而将其归为δ函数。令 ，我们有
       ，　　　　　　　　　     　　　（３） 。　     　　（４）
玻恩这种解释意味着德布洛意波存在着，有其干涉和衍射，但它却不是任何可测物理量的波动，它不是什么物质波。波函数完全确定了体系的状态，体系的状态不依赖于潜在可测的力学变量。一个物理体系的状态显然要由这一体系同时可测的物理量决定。而波函数完全确定了体系的状态，因此体系的波函数也必须完全由这一体系可测的物理量决定。此即后面将讲到的，力学量完全集完全确定了体系的状态波函数。
2．叠加原理
量子理论中的叠加原理是：如果 、 、…  是体系的可能状态，则它们的线性叠加得出的波函数
，　　　　　　　     　（5）
也是体系的一个可能状态。
    应强调指出，概率波的迭加只能是属于同一个粒子的﹑相应于不同状态的概率波的叠加，而不是不同粒子的概率波的叠加。而且，概率波的迭加是概率幅相加，而不是概率相加。因此有干涉项出现。
概率波满足叠加原理，也就是一个体系的概率波对数乘和加法运算满足封闭性，如此，一个体系的所有波函数及零矢量形成一个线性空间。   
3．薛定谔方程
                  （６）
               （7）
几点讨论：
（1）由（6），（7）可知，薛定谔方程是一个非相对论波动方程，只适用于低能粒子的体系。另一方面，这里没有讨论粒子的产生和消灭，因此方程只适合于粒子数不变的体系。
(2)薛定谔方程是一个复函数的方程，一般情况下，它的解（即波函数 ）应该也是一个时间和坐标的复函数。
  (3)由于薛定谔方程中只含有描述状态的波函数对时间的一阶微商，所以，只要初始状态 已知，那么，以后任意时刻 的状态 就确定了。可见，薛定谔方程给出了状态随时间变化的因果关系。
  (4)薛定谔方程是线性微分方程，它的解 一定具有叠加性，而这正是状态叠加原理所要求的，反映出原理之间的一致性。
4．概率密度与概率流密度
    设 已归一化，粒子在 时刻出现在 処的概率密度为
             。       （8）           
定义矢量
           （9）
为概率流密度。由（8），（9）可得
                                （10）
此即概率守恒的微分表达式。         
                                        （11）
   。        （12）
此即概率守恒。
波函数应满足的物理要求
除了满足薛定谔方程之外，波函数还必须满足以下物理要求：
单值（确定到一个任意相因子）；有限；连续且在无限远处有足够好的收敛行为。
但这是充分条件。更一般的， 可以有有限个孤立奇点，只要相应的        ‘暇积分’存在； 对非平方可积的波函数，也不再要求在无限远处有足够好的收敛行为； 可以不连续﹑不单值，只要保证 是单值﹑连续﹑有限的就可以了。
定态薛定谔方程
                                   （13）
是不含时间的薛定谔方程，称为定态薛定谔方程
本征方程 在量子力学中，若一个算符作用在一个波函数上，等于一个常数乘以该波函数，例如
                                      （14）
则称此方程为该算符的本征方程。并非任意常数都能满足这一方程，能够使这一方程有满足物理要求的解 的常数 称为算符 的第 个本征值。波函数 称为相应于本征值 的本征函数。   
   体系的能量取唯一确定值的状态称为定态，相应的波函数称为定态波函数。由本征函数的定义可知，定态就是不含时的哈密顿算符的本征态，称之为能量本征函数。
薛定谔方程的通解是一系列特解的线性组合
                      （15）
其中，组合系数 可以由初始条件确定。通常将 称之为 时刻的波函数，如果已知定态薛定谔方程的解和初始时刻的状态，则可以利用（15）式求出 时刻的波函数 。
    由以上所述，定态存在的条件是，哈密顿算符不显含时间变量 ，              
且体系的初始状态为定态，即
              。     （16）
定态的性质
（1）、粒子坐标的几率密度和几率流密度不随时间改变。　　　　　
（2）任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。
（3）、任何不显含时间变量的力学量的取值几率分布不随时间改变。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第三章 一维定态问题
主要内容：
1．以宇称及一维定态问题的几个有关定理为基础求解一维定态问题；
2．由波粒二象性理解量子力学定态解与经典力学相应问题的本质差别，特别是粒子出现在经典区域之外的概率不为零的原因。
3。通过具体问题求解，进一步理解波函数的物理要求
重点掌握：
1．宇称
设算符 的作用是将坐标 变为 ，即
                                 （1）
则称之为宇称算符。 的本征方程为
                      （2）
宇称算符 的本征值为
                          
相应于 的状态叫作正宇称态，相应的本征函数是任何一个偶函数，即， 。 的状态称为负宇称态，相应的本征函数是任何一个奇函数，即， 。显然任何一个函数都可以用 的本征函数展开，
                 
式中， 是偶函数， 是奇函数。
2．几个定理
下面的定理适用于一维定态薛定谔方程
                             (3)
其中，位势满足 。
定理1  设 是上述方程的一个解，则它的复共轭 也是该方程的一个解，并且，与 对应同一个能量本征值 。
定理2  对于一维定态薛定谔方程，如果 和 是对应同一个能量本征值 的两个独立的解，则有
            (4)
是任意常数。
定理3  设势场 无奇点，如存在束缚定态，则其能级必是非简并的。
推论  一维束缚定态一定是实函数（整体复常数系数除外）。
定理4  设一维势能无奇点，具有空间反演不变性，则其束缚定态都有确定的宇称。
3．一维势阱中的粒子
3．1无限深方势阱                 
  2. 能量本征值和本征函数
由于空间波函数是实波函数，所以概率流必处处为零，能量本征值
          （5）
   （1）、对称势阱和态的宇称
    （3.2.18）式也可以按 的奇偶不同写为如下形式
               （6）
     （7）
    上述波函数具有如下的特点，当坐标变量由 变为 时，若量子数 为奇数，波函数不变，否则，波函数改变一个负号，通常把前者称为偶（正）宇称态，把后者称为奇（负）宇称态。这与定理4是一致的。
（2）、 的不连续性
在 処，微商是不连续的，例如， 。
但是，由于 是实波函数，概率流比为零，因此这解满足物理要求。
（3）、非对称势阱
  若宽度为2 的无限深方势阱的形式为非对称的，即
                             （8）
平移坐标 ,可求得能量本征值与相应的本征函数为
                         （9）
             （10）
由于该势能不具有空间反演对称性，波函数 中的自变量 只能在 区域内取值，故这时的波函数无确定的宇称。   
3．2  势与波函数的连接条件
  一维 势为
                                  （11）
，为势阱； ，为势垒。在 函数的诸多性质中，有一条需注意，就是 函数量纲。例如，由于 ，因此以坐标 为自变量的 具有 的量纲。波函数连续性
                  （12）
处波函数一阶导数的连接条件为
                 （13）
由上式可以清楚地看出，对于 位势而言，除非 ，否则，函数的一阶导数是不连续的。                                          
3．3谐振子
谐振子的势能为
                     
  
      
能量本征值为
                （14）
相应的本征波函数为
                         （15）
或者
                  
其中，归一化常数
                                      （16）
3．4 讨论
能级
（1）能量本征值 由正整数 决定，是量子化的。
  （2）最低的能量为 ，称为零点能。经典振子的零点能为零，玻尔-索末菲量子化条件的结果为 。
（3）能级是等间距的，间隔都是 。
（4）全部能级都是非简并的，这与定理三是一致的。
波函数
   （1）波函数为零处的坐标称为波函数的节点，  有 个节点。
   （2） ，由定理4可知，它必有确定的宇称。由厄米多项式的性质可知
               （17）
即，波函数宇称为 。
（3）处于基态的线谐振子的坐标几率密度为
                            （18）
这是一个高斯（Gauss）型分布，在原点（ ）处发现粒子的几率
最大，而经典振子出现在原点的几率是最小的。
（4）由（3.4.1）和（3.4.3）可知，与基态能量相同的经典谐振子
的振幅为 。基态中的粒子在经典区之外的概率为
。
粒子在经典区之外的势能当然大于基态能量，而基态是定态，由此能
否说动能为负呢？当然不能。简单地说，由于在量子力学中，坐标
和动量不能同时有确定值，即 ，因此
在量子力学中无意义，因此不能说动能为负。
4．求解一维束缚定态问题的基本步骤：
由势能曲线图容易判断是否存在束缚态解，即，仅当两个最外端势能高于中部势能时才能有束缚态解。这里仅讨论束缚态解。
1．如果 不连续，但差是有限的，则将 分为不同区间。
然后分区列出方程，分区求解相应的方程。
2．此时 及 是连续的。列出连接条件及边界条件方程，再利用归一化条件，可确定能级和 中的待定参数。
3．对于 函数位势，
                                     (19)
不连续，这时要求波函数一阶导数满足
                      (20)
4．在宽度有限的势能为无限大的区域，   不连续不连续，如无限深势阱。
6．方势垒的散射
方势垒可表示为
            
透射系数 和反射系数 分别为，
                    
         
第四章  力学量的算符表示

主要内容：
1．应深刻理解在量子力学中用算符代替力学量的必要性；
2．算符之间的对易关系是算符之间的基本代数关系，重要算符的
本征方程，本征值，本征函数必须理解掌握，独立推导。
3．由对易关系的定义，基本对易关系的公式，结合归纳法，参数法
的运用，适当地做些典型题，就能熟练地推导对易关系。
4．厄米算符的性质很重要，其本征值的实数性，本征函数的正交归
一性（连续谱归一为 函数），本征函数系的完备性，都要通过推导
很透彻地理解。
5．通过推导不确定关系及所给出的讨论不确定关系的实验，深刻理
解在量子力学中不确定关系存在的必然性，由此也能掌握利用不确
定关系解决问题。
6．初等量子力学中很多算符都是与时间无关的，这时判定其守恒性
就归结为计算 。应能熟练地用此式判定一个物理量是否守恒。
重点掌握：
1. 1  算符
线性算符；算符相等；单位算符；算符之和；算符之积；                                                          算符之逆；转置算符；复共轭算符；厄米算符；幺正算符。定理1  若算符 对任意波函数 都有
                          
则 。      
1. 2  对易关系
对易关系
为了描述两个算符 与 之积的交换关系，定义
                  
为算符 与 的对易关系。算符 与 的反对易关系定义为
               
对易关系的计算
（1）、对于最基本的对易关系，通过定义直接计算。
（2）、利用对易关系的运算规则计算。
对易子代数的运算规则如下：
                 
        
（3）．用归纳法等方法计算
1. 3轨道角动量算符 ，其中，
               
或简写为
            
角动量平方算符
。                              
1．4 厄米算符的性质
定理2 算符 为厄米算符的充要条件是在任意状态下，
其本征皆为实数值
推论：厄米算符的本征值为实数
定理3 厄米算符的本征函数无简并时满足如下关系：
                     
    。               
对于有简并的情况利用施密特（Schmidt）方法可以将一组波函数化为正交归一化的波函数。
2. 1  几个常用算符的本征值和本征函数                  
  1. 坐标算符
一维坐标算符 满足的本征方程、本征值及本征函数分别为
               
                  
这时归一化条件写为
。            
算符 的本征值是连续的，取值范围是从负无穷到正无穷。
推广到三维时，坐标算符 的本征方程为
                  
本征值 对应的本征函数为
        
        
2.  动量算符
    动量算符满足的本征方程为
         
,  i=1,2,3
.
由此得
            
如同坐标算符，动量算符的本征值也是连续取值的，相应的归一化也写为
3  球坐标系中的角动量算符
在球坐标系中，角动量算符 与其平方算符 分别为
                                
    的本征值及本征函数
            

其中， 称为轨道角动量磁量子数。              
的本征值及本征函数
，
        
满足      
            
算符 与 的共同本征函数为                          
      

其中， 称为轨道角动量量子数， 是球谐函数。球谐函数满足的归一化条件为
                  
3．完备本征函数系
完备本征函数系可定义为，若在每个 处，态空间任一态矢量 总可以展开为
                  
                     
即，在每个 处，右边的无穷级数都收敛到左边的 ，则称 是完备的函数系。
任一个线性厄米算符的全部线性无关的本征矢量 构成了相应的希尔伯特空间的基矢，而且 是完备本征基矢（函数系）。
3. 2 共通完备本征函数系
定理1  若算符 与 有共同的完备本征函数系 ，即
                          
而且 是完备的，则必有
                        
定理2  若算符 与 满足对易关系 ，且算符 满足本征方程(4.5.11)的解是无简并的，则 也必是算符 的本征态。
4.力学量完全集
定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符 ，它们只有一组共同完备本征函数集，记为 ， 可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系的一个可能状态，则称 为体系的一组力学量完全集。
5.平均值和不确定关系
1.        平均值  
设力学量 具有分立谱，即
               
以 表示力学量 的平均值， 为 时刻力学量 在态中出现的概率。则 时刻力学量 在态中的平均值显然是
                                                            
在不同问题中，有时用前式方便，有时用后式方便。可归一化的态函数用两者都可以，归一为 函数的，用前式更方便。      
差方平均值为
                       
                 
6. 不确定关系
同时测量两个线性厄米算符 对应的力学量，它们的差方平均值满足关系式
               
应强调指出， 不仅仅与对易关系 有关，而且与所处状态有关，尽管 ，但在某些态上仍可能有 ，即，这种情况下，力学量 、 虽不对易，仍可能同时有确定值。仅当 时， 、 才在任何态上都不能同时有确定值。
当且仅当两个算符对易时，它们存在共同完备的本征函数系；而当两个算符不对易时，它们虽然可能有共同本征函数，但这些共同本征函数必然不能构成共同完备本征函数系。
7．力学量随时间的变化
                     
定义
                     
这样，力学量算符 的时间微商为
               
上式也称为力学量算符的运动方程。
当算符 不显含时间 ，且与体系的哈密顿算符 对易时，即
                       
时， ，称力学量 为守恒量或者运动积分。若有一个包括哈密顿算符 在内的不显含时间的力学量完全集 ，由力学量完全集定义可知，力学量 皆为守恒量，这时把它们相应的量子数称为好量子数。
无论是否在定态，守恒量的平均值不随时间改变，它的取值几率也不随时间改变。
时刻波函数是
         
利用它可以方便地由 时的波函数求出任意时刻 的波函数。
定态
为任意线性厄米算符，无论 是否为守恒量，与时间无关的算符 在定态上的平均值是不变的，而且 的任一本征值 出现的概率 也是不变的。
    如果体系不处于定态，而 又非守恒量，则一般说来 及 出现的概率 都要随时间变化。