|
|
谋学网: www.mouxue.com 主要提供奥鹏作业资料，奥鹏在线作业资料，奥鹏离线作业资料以及奥鹏毕业论文，致力打造中国最专业远程教育辅导社区。$ v: R9 e, j9 ^. O7 N5 D
6 p9 U& B, l$ a; ?0 R: v2 ^% s, c
一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）V 1. 对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
# @, y1 E& ~7 J3 BA. 错误
3 l' j2 q3 N A* BB. 正确
2 v6 _& M2 p+ V8 O* s 满分：2 分
5 c& f3 c+ O) l4 M" u, ~ g2. 对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n->+∞} n·M[E(|f|>=n)]=0.
+ y( ~# v1 i9 ]! @: m# KA. 错误
" Z1 G) ^$ k8 Z; q- ^: O4 g/ M/ TB. 正确
% \: [2 l+ g+ c$ f: s& Q 满分：2 分
- J8 B7 e q# J; A/ F, H4 r3. 一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
8 _/ X, ]: V/ ^* j) X. c ^A. 错误
% E4 ?0 Q, L Q w% x5 ]B. 正确3 \, z V8 [9 p, ], I& I' X
满分：2 分
i/ _$ k' m9 g! M2 b- x, S( v4. f,g∈M(X),则fg∈M(X).
& {6 z" p" Q6 n- UA. 错误1 O% ]- d2 L9 U# p) y2 r0 B
B. 正确
" R0 C0 g/ z+ @# {+ z2 U 满分：2 分( V4 k5 A, J+ s5 l( w
5. 当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
4 ?' @. i) q/ {A. 错误
1 D2 J% L, o: ]3 g/ T9 qB. 正确
7 O d$ Q) p, P* L* T 满分：2 分8 y, N' N: B9 @6 e3 F. }
6. 若f广义R可积且f不变号，则f L可积.! O5 G6 R" T. H/ u9 O$ n( z
A. 错误( j- A4 H! s" k* j& q# L
B. 正确8 l2 A- R" t. X; c i: g% H" q" ]
满分：2 分
; J8 H& D! l6 \0 K1 N- z& P. r' T7. 利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
" c! h/ C" Y* T8 FA. 错误) A9 x" N% B: b }
B. 正确
6 ?, K* M) p; y$ g; Y 满分：2 分1 G2 `; k5 r: o* Q
8. 若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
+ I% o' u+ l- R1 OA. 错误+ ]( ?- E# v' O1 N9 p( Y
B. 正确3 z, W5 |( P2 N2 ]: q. \
满分：2 分/ }8 m, q% j& ]4 ~3 X- _
9. 可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集1 y9 b& `3 J8 V+ X( i
A. 错误
6 o8 s8 C9 B. f. f5 \7 f, n8 HB. 正确
- f. ~/ s- T# q1 R 满分：2 分
) p& |* t3 U5 D$ h% p10. 若A交B等于空集，则A可测时必B可测., [" ^' H+ y% j! H
A. 错误
3 G, e* E4 p3 VB. 正确+ E; P( X% K; I6 A
满分：2 分
" ]* G" b' J% g+ e11. 存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
, T; j# D, l, H' X- qA. 错误
2 W: D L- T7 H4 OB. 正确* C9 @4 N; S2 W% ^/ }/ L) Q
满分：2 分
Q3 F0 o& Y% g/ _12. 无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.; @& n) f" K& L: |& x
A. 错误) Z* v) q( ?- ?4 m3 e( _. r! w
B. 正确* ~3 B9 O b, j) z/ G. X5 f
满分：2 分
! Q# l/ i6 B( V- K8 S/ z13. 设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
' q; V6 Y/ J" u, S) CA. 错误
9 }6 W- v, a, K6 J0 A& hB. 正确
4 H, g1 g+ Q" M9 | 满分：2 分
) r$ N! I7 h- Z3 D0 `0 r14. 若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。 w2 Z u$ n/ p; Z+ ~
A. 错误1 I$ B3 e9 P- `' [: p
B. 正确
! D; b6 g0 |- l7 p' [$ } 满分：2 分' [4 _4 A' \. d( U6 l2 k% D6 Q
15. 若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
5 [6 Q/ s; ^* {5 ^' z' jA. 错误; e$ H2 n* ~2 B$ j2 j
B. 正确5 w: K* \" I( f( k3 I: M+ A
满分：2 分( {' N( {" ~8 F$ k9 [0 k1 N( \+ R
16. 若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
/ m; b$ h6 M- y1 R% g! J7 _3 RA. 错误. ^9 h3 n; r# M+ b. c2 F, I* l
B. 正确1 Y5 j5 a, L" ^* u
满分：2 分
7 T0 C4 _; F$ D/ l+ u" b E3 s17. 设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax2 d$ c3 J0 Q! S. S' `
A. 错误% B; o7 Z/ A2 E. y$ u4 l" e
B. 正确5 L2 K8 p& E: D% ^' a+ Y: T
满分：2 分9 T9 n' y/ O3 E3 k/ ~% C. f
18. 函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.) d6 I& A' x3 X5 l, @1 w N
A. 错误8 U; }: h! e0 C1 }
B. 正确
" }( c- q! _# ] 满分：2 分3 l- W2 t' F7 u! ?9 R1 C& z
19. R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.- e$ F2 h% ?) p, x9 N; V! _
A. 错误
, p% e7 Z7 z; ^) x- }+ l4 Q' b: oB. 正确
/ T N9 s3 Z) O& @" `/ T 满分：2 分
1 ~ ^: n8 r" s9 R7 S20. 连续函数和单调函数都是有界变差函数.
: X, O- N& ^4 R9 vA. 错误
1 t+ U3 ~/ k+ ~+ ?, Z' AB. 正确
, f# A6 F. ?: e! T5 W l P) Z) f4 U 满分：2 分
, i2 v5 G9 w$ ]0 Y( g21. 三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
0 S4 }% L z* L3 o0 |3 gA. 错误. b) v- b6 o \. x- |2 `
B. 正确
% }8 Z" y+ H! h2 n 满分：2 分
* S% A2 W6 }. V3 G% O22. f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.8 z9 Z# v. N$ w/ |2 z' b! v/ s" ]' l4 [
A. 错误" e9 M7 H$ h4 k5 U w& }' y" c# {
B. 正确
5 `; j5 r9 T9 B! X" | 满分：2 分
' n) z) g! K6 i, Z4 B. H! h23. f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
) d; Y- X) Q$ L0 b& O! {" v# p \+ ^A. 错误, F+ C7 X7 M! c# G" u* r
B. 正确
: h( L2 P9 [% e' t- Y 满分：2 分- r0 u# R; {1 q$ n$ e
24. 若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b]." Z* h1 e) |. B' ^5 J5 B; s! ^
A. 错误
" A+ d% L- B: p J( D$ l2 S5 W! B/ O4 iB. 正确 {6 O: b2 l9 ^3 e9 x+ M( C
满分：2 分
H1 [6 L4 f) h* H25. 积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.. @ q$ C+ |6 d& ^4 y, U5 n
A. 错误' E3 U% Y1 ] I9 \8 Q
B. 正确. e2 Y$ r! h( E( p
满分：2 分4 |' |. m! o! @# D
26. 利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
2 e9 V, O% e; N( s( G) I" L2 i1 nA. 错误
, T; I( L$ n1 E V/ JB. 正确/ F& d- j8 {1 g3 W3 U) f7 U* e
满分：2 分
( O! K1 L2 T( \* t27. 可数集的测度必为零，反之也成立.( p' I, x: p5 j
A. 错误% n+ ]8 I0 ~2 ?' `2 o6 y
B. 正确$ Z# h9 [; S. v/ ~5 s7 o7 N' b
满分：2 分1 R- b* L+ J2 L7 a0 C s1 P. d+ ]0 m
28. 若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
3 y% l# d# g" d! uA. 错误
' u5 S3 }3 v) ~8 ]( ~* sB. 正确
9 s D: Z5 n: \& b' K6 N4 s% q I 满分：2 分
5 B3 U$ i$ a4 o+ f6 _4 ?29. 集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测! p6 A6 a# j7 G7 W& O' f- s8 C0 t
A. 错误; U. Y$ }$ @: v# u
B. 正确- {( y- v0 `! n: L5 e D7 y
满分：2 分( x& F6 t. I6 U3 W* [9 k1 v2 U
30. 若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
. P7 y3 b Y$ Y Y+ }A. 错误: z* ^3 g1 s4 b& O' ]5 D) m
B. 正确
0 ^3 i# P, F s 满分：2 分" r- c/ ~, s, S' j# F
31. f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。8 x6 H/ x3 G, I7 l: y
A. 错误
% M2 Y5 l" a/ F- kB. 正确+ @+ t$ P1 y' v: V0 B: e$ V
满分：2 分
6 T4 J/ d) U7 C" g5 G" l5 j; W# m32. 三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
7 r& {4 f( B" ?; w1 D; lA. 错误
' f+ I9 \7 D& z3 B8 |B. 正确, Y# Y# {! o* O( f7 s
满分：2 分- O, K; t3 D0 |% ?3 Q8 [: Z
33. f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].& \' k! D& N% K2 q5 c, a; Z% Q
A. 错误
# d6 {1 d) _% h( P& q5 c1 EB. 正确
) u+ [8 ]+ [6 i 满分：2 分
H, i+ ? Q: m34. 若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
5 P2 r( [% s; w" S1 O! LA. 错误" a1 m1 x+ j. d! F( e
B. 正确
! h, z1 X0 {7 c( w Y 满分：2 分" C, f9 V- n( N% b+ h/ |
35. 测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
; `$ [' Q( D4 aA. 错误3 d1 J. z3 T6 p" _
B. 正确3 M; l) V% F0 N% r8 E0 l; e
满分：2 分; Y& q7 l1 |5 ]1 `+ ?# ?
36. 若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
8 t! j+ T z8 GA. 错误
0 e v0 G, u3 g! T0 MB. 正确' ?0 t( J0 X. g5 |% T& ~
满分：2 分
W: w* J- I- p37. 函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
# E7 Q4 j J0 t# YA. 错误
K& Q6 k0 N- {# B/ yB. 正确; {0 s) v# C8 c2 _3 t. g
满分：2 分 6 y+ l+ r6 M8 H3 U' _5 x
O+ O0 o9 N( ^( S: k8 O& N二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）V 1. 设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
0 t5 P! s1 K6 n! L$ w. K) c/ H. P8 z9 eA. 连续函数
0 Y4 Q2 M5 w& i, P; g' |B. 单调函数
! j. m% W1 K3 Y. O( D' g L% rC. 有界变差函数
4 c& I+ Y' `" W0 D! P, OD. 绝对连续函数& n. M7 z5 ^0 [" I" I3 o9 I: o
满分：2 分
0 u. X5 I. ^ t1 l6 k: v" U: f2. fn->f,a.e.,则, x3 b, O) s E ^8 l$ D! a
A. fn依测度收敛于f
$ t7 _- q3 G8 j) Z$ @, c/ h* FB. fn几乎一致收敛于f7 ?# m: s+ D2 [. Q
C. fn一致收敛于f
' V( w8 a! N- hD. |fn|->|f|,a.e., f+ O$ f0 t" N0 M
满分：2 分5 M2 t- |. [5 b7 u. v4 g" _
3. 若f∈L(X),则
6 \: B6 m' f `, a) wA. f在X上几乎处处连续
6 x/ q# l) f! i oB. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
1 e A, a+ Y0 q: R) \$ r+ zC. 若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.; y/ ^, K) W+ @+ W$ {
满分：2 分
; f/ [ f0 H4 Z4. 有限个可数集的乘积集是（ ）% W0 t2 r: F6 j9 Q+ I7 i4 f, Z
A. 有限集
8 a, e$ |6 Q; q$ O9 PB. 可数集/ R4 j9 ~4 a$ B: M- U
C. 有连续统势的集& h) D& e* e/ f% a* {" Z
D. 基数为2^c的集# G, H6 ^! i R) k: k4 S' J5 }
满分：2 分& O: v/ H5 s8 {1 W
5. 在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.0 ]' W% t# x5 o0 W. c1 q% Q
A. mE=0
! i( l; o: ~8 v1 ZB. 0<mE<+∞
+ a8 u5 N- H% z; s7 ~C. mE=+∞
8 B4 q' n8 j0 }* E8 [8 E3 \" mD. 0<=mE<=+∞
# u) f% z: Z/ u5 `( }" \1 g 满分：2 分
& u8 L. B' U- ?3 p8 D0 b( s8 v6 e8 L
三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）V 1. 若f∈BV[a,b]，则（ ）
& C# O- Q, p1 h0 {A. f为有界函数5 y& l T' L( q. s9 z
B. Vax(f)为增函数# W- c; X* d1 o4 {. \: |8 G
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
) H- d* _% _3 K( oD. f至多有可数个第一类间断点5 z7 P( M/ ^# y4 i- j
满分：2 分
7 a% b% F3 b) R0 E# R' ]. A2. 设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）' z7 V; L6 O, y* I6 P# | ]
A. 几乎处处可微
" Z _' g: o# b0 u, qB. L可积
$ Z: Z# Z/ K2 D; i; uC. f'可积
6 p. X/ t1 Q x9 O$ v* e3 ^D. 区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)! ?( d" y+ B; o) G; S8 y4 s1 b
满分：2 分
% z! u7 P U7 W8 ~, ]% g/ X4 K3. 若0<=g<=f且f可积，则（ ）
$ |( W( V/ [" q" xA. g可积7 i8 s4 Q' x) h1 k, _9 [
B. g可测
9 p8 L- N6 f3 w" BC. g<∞，a.e.% f; O1 ?4 k$ z" z
D. 当g可测时g必可积
0 s* D! X3 L# Z6 ^* _ N% | 满分：2 分
# p" m1 x4 X2 v+ i0 P* J4. f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
& Q$ H% X {1 N. R& x) OA. 有L积分值
/ A# b% @" c' X0 w8 rB. 广义R可积
; H1 \2 g) P1 c% I7 h( g( EC. L可积9 z9 I! ?7 K& y& y
D. 积分具有绝对连续性$ v5 R& H& N# A2 X r" B
满分：2 分
& Y, e8 Q3 t, I% ]. G' B5. 若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）" q5 C. t: S4 w
A. m(A)<m(B)
$ x6 x. t( j$ d. f5 |B. m(A)<=m(B)
: g3 i- l8 m* D0 s& u$ q: A wC. m(B\A)=m(B)-m(A)0 I$ j) C- p4 X5 ~
D. m(B)=m(A)+m(B\A)
, V3 i: M3 P' B& L3 @ 满分：2 分
7 |! N! k. i3 h l& ], S$ c) Z2 k2 z$ a6. 设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是( O) S: k5 e1 J; {! @; O+ D* k
A. 是L可测函数7 @* }# m( l; x
B. 不是L可测函数6 n7 @& x( Q2 x8 ]7 J2 M1 r- }
C. 有界函数& Y, i! c5 J8 g# Y' C; J) E
D. 连续函数
S h+ V' E0 l* ]0 D& W 满分：2 分
1 P8 ?( j! T3 Y* ?7. 设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
7 \! \; n; D* l- `" UA. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
# b8 x, x. x# Y2 BB. 若E1包含于E2,mE1<=mE2: N% ~6 Z7 J/ @% X% x9 h
C. 若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
5 Y7 A2 ~' {/ G. l 满分：2 分! o% {, {1 y7 c* P
8. 设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
, @) \3 n* m O9 kA. fn测度收敛于|f|
- k8 x$ r1 h7 Z: OB. afn+bgn测度收敛于af+bg
* u" n0 ?7 D; R* E1 GC. (fn)^2测度收敛于f^2
; ?0 B# w. ^: C% A) p1 hD. fngn测度收敛于fg
# M% @; i1 q% k& a 满分：2 分 2 s+ R9 ?7 i. c9 ?
2 U$ v, d4 R3 e
谋学网: www.mouxue.com 主要提供奥鹏作业资料，奥鹏在线作业资料，奥鹏离线作业资料以及奥鹏毕业论文，致力打造中国最专业远程教育辅导社区。 |
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2012-6-5 22:20:24
微信登陆 
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
显身卡
客服一
