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12春福师《实变函数》在线作业一

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发表于 2012-6-5 22:20:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
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5 a  _# B- J; N- `$ R2 s
* p  M( k- b: s6 S3 w; O一、判断题(共 37 道试题,共 74 分。)V 1.  对R^n中任意点集E,E\E'必为可测集.$ w; y. f: c9 M
A. 错误- ?* R+ ^; }3 `) ^
B. 正确/ c" K# H/ V3 D+ g* Q4 Q
      满分:2  分  m: w( g: b. u$ g  z- D
2.  对任意可测集E,若f在E上可积,则有Lim_{n->+∞} n·M[E(|f|>=n)]=0.$ C+ `7 G- g2 N# e" P- O) }+ ?0 \
A. 错误: A! E) G3 S0 v& k
B. 正确  I4 ^4 d5 x8 `3 w5 U
      满分:2  分, Y$ e' g% ?+ Z; M
3.  一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
4 U$ [8 N  z; l1 i1 k, UA. 错误. L; p3 G+ a: l' _$ A
B. 正确
7 M* j. {/ |1 U8 [6 x      满分:2  分
0 p9 }: _; Y1 N1 [( j/ E4.  f,g∈M(X),则fg∈M(X).
, f( B+ u+ f# n' DA. 错误
; E( l+ u' O- Q/ u8 X8 jB. 正确0 a9 Z/ W1 [; t
      满分:2  分# a6 ?: O9 w+ h/ L
5.  当f在[a,b]上R可积时也必L可积,而且两种积分值相等.+ Y8 z( m/ j# z, P) u1 u  X( r
A. 错误* y/ S! N& ^# D$ G0 U1 z
B. 正确
( [: \; }5 R; w6 U      满分:2  分7 S4 L" l# t" P( ~9 r3 W
6.  若f广义R可积且f不变号,则f L可积.9 P. I+ ^3 [) p0 u0 T# x
A. 错误
! p( O! E7 t' O0 \, D3 a5 |B. 正确
' u0 L% p" x( R; L( [$ a) n/ i      满分:2  分
' }4 S; K( |/ {* X5 I6 n( p$ C' y, X7.  利用有界变差函数可表示为两个增函数之差,可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数:几乎处处可微而且导函数可积。( P+ W/ t, w- l4 K
A. 错误/ D$ U2 ~* }$ S% l
B. 正确" n7 R6 B+ j3 D) |# g$ w
      满分:2  分7 E6 V0 @" O" ?2 p+ J% p. t3 o
8.  若f_n与g_n分别测度收敛于f与g,且f_n<=g_n,a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.1 K1 L/ [7 I6 p7 \6 K9 W+ ]
A. 错误' V! L' u6 S6 J" p- w# k% C3 n
B. 正确" n! J' ~8 s: G$ n/ }4 x( D6 F
      满分:2  分7 h& L& k( e% ~7 K( W
9.  可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集,但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集9 A4 S- Z* f  c* I4 h5 y2 d$ p/ U1 b
A. 错误6 Q' ^8 r1 x6 R( i/ n5 f8 X. w" p1 L
B. 正确1 K7 n$ N, `6 ~
      满分:2  分8 O; ?" \( j* A% k5 p2 N
10.  若A交B等于空集,则A可测时必B可测.
! w- E& C6 X6 x' L8 dA. 错误/ G% A# K5 J: o9 X/ }
B. 正确0 C+ F9 B  s& `" S
      满分:2  分
1 O2 \$ J: X3 Z  f11.  存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .8 P8 n; b* `( O: P! _# O
A. 错误5 c; V& ]) @2 M3 E
B. 正确
( b0 L% r& ]" k; X2 o0 D      满分:2  分# I" V5 \0 ^/ g+ ~8 M* b7 h
12.  无论Riemann积分还是Lebesgue积分,只要|f|可积,则f必可积.
7 G2 @- V( [+ c- z, LA. 错误
  P5 Q6 b6 x, y3 T+ YB. 正确5 p$ U& J/ D& B( f/ c+ M7 Y
      满分:2  分7 P7 p9 Y( Q: r7 M/ b' B, A4 @
13.  设f为[a,b]上增函数,则存在分解f=g+h,其中g是上一个连续增函数,h是f的跳跃函数., E0 L& h: d* ?9 `
A. 错误# E0 F* R" s4 Y% a) f* w
B. 正确; n% r$ Y2 ]* M" H6 E/ i6 R: T
      满分:2  分
' ?- c# {$ r& T' I& ~1 `14.  若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。6 ?& S5 Y1 f7 e  q& ^, d" M
A. 错误
; y" \" R* z0 \B. 正确# L! j* _1 C' O, b- k0 v, \
      满分:2  分
1 D6 s$ r% f- q0 d. q15.  若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.% Y" x5 K) i) z$ ^0 J2 j
A. 错误" V% T+ D' K7 u* z" Y7 {& a& U
B. 正确
% x; U+ Y6 Z2 n      满分:2  分8 F; ~$ w9 [, h9 @  k  }4 g
16.  若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f., j  R$ \) D4 g( `1 {8 F. w6 _9 F: L
A. 错误0 U/ B0 }+ e2 I+ L( {4 @. c' @
B. 正确
' u1 X" M) [7 U8 I% v* h      满分:2  分+ d, H6 h! X0 w
17.  设f:R->R可测,f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
; u3 f+ R% R5 n, x: A) c. HA. 错误
. [2 D1 }2 V5 Y9 n1 sB. 正确
9 v- J7 `2 ], M" V2 z' X      满分:2  分
3 T9 @# G+ s$ H18.  函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.. ]" K/ Q; d7 F* @$ H4 S0 ]
A. 错误
& C7 S) b6 L! `0 t0 ]B. 正确" j6 F7 v. P& p" `, A" R; e- u
      满分:2  分
# J7 s, [! t/ \- T0 [) x19.  R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.$ y6 b$ V' t$ i# B5 K0 V
A. 错误6 E; ^2 u% X! c% I1 I+ f
B. 正确# P  l+ f. I) T2 {
      满分:2  分
  B! \7 Q$ U1 N  b0 Y$ S2 r2 F20.  连续函数和单调函数都是有界变差函数.( F! Y. \7 v- j: z) `
A. 错误
; s4 f1 L( p; B6 S% O6 J( i9 r, SB. 正确9 t1 r, {! h" |8 e
      满分:2  分+ K4 V9 h5 R& L0 V
21.  三大积分收敛定理包括Levi定理,Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
8 e) h! S3 N% {3 l2 {A. 错误  ~0 ?# _: A( a- a% z( ^9 K
B. 正确! {" T% w5 j' n& h
      满分:2  分
; S5 x! y$ o% \: I22.  f∈BV,则f至多有可数个间断点,而且只能有第一类间断点.
( _( B' T7 e$ F6 m4 g  s* u: F6 XA. 错误
0 E" Q; _7 C& F4 I9 qB. 正确
. ?; y* p- \& n) y      满分:2  分
5 S8 A7 a# \+ o+ x5 {. o23.  f∈BV,则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.- M* P# i0 z% J) J
A. 错误! `9 P' K* X. ^: X, r' I) n
B. 正确! d% C! [$ t3 X! w; P% y( @; B
      满分:2  分
  N7 a( Z2 s+ j% `1 @2 `2 |24.  若f∈C1[a,b](连续可微),则f∈Lip[a,b],f∈AC[a,b].
& k: v2 R6 A, m& kA. 错误
4 t5 e0 ^5 \4 W/ M$ x3 v* i  RB. 正确
4 H* ^$ c4 M9 x' `  o' ?% W      满分:2  分$ G* [- H% F! J" N1 ?# @5 i
25.  积分的引进分为三个递进的步骤:非负简单函数的积分,非负可测函数的积分,一般可测函数的积分.
+ x; w# ]/ H8 s8 U  X9 SA. 错误& [: v! m1 I+ C- V2 f0 `5 s
B. 正确* j4 \# C8 U4 r, V/ V( ^- M
      满分:2  分
- {8 x& F6 y8 q( N26.  利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
. L) g0 M. l( hA. 错误0 q. _6 U3 ^7 ~- p, ^& R' v5 d
B. 正确
7 X( K7 C) b0 B$ J      满分:2  分: q) Y8 d1 _0 C. o$ [( u  {1 `, C
27.  可数集的测度必为零,反之也成立.% _: s6 {& d. I. N3 I; v8 @
A. 错误) |0 \! x+ P" {; V; z% L
B. 正确4 [7 C, s( L: E8 q" ]
      满分:2  分
& U( ]0 m1 f2 H5 m, K28.  若f,g∈BV,则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。  O) n! I! _9 \/ k/ p, m3 A2 |5 n
A. 错误- u+ t( U& q: |
B. 正确
1 a( M& Y% ~# o! w      满分:2  分8 R: F% n+ T' @, |+ {: |( ?
29.  集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测% l5 k+ _, f9 M8 m4 o" w
A. 错误" g' T# R& g1 J$ s- F( @/ H8 E
B. 正确
) {2 L9 p( g; ?4 s" n5 \! k! V      满分:2  分
( H3 T1 k. D3 s7 e30.  若f,g∈BV,则f+g,f-g,fg均属于BV。8 W" V4 y1 a, {& ~* u0 J& s, B
A. 错误7 j( E2 w/ j# Z
B. 正确
7 q2 V% J/ R6 D, `, @3 J      满分:2  分* p6 T: n- x. i  [, Y5 Q# a; Y
31.  f可积的必要条件:f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。: {* _* a: P+ v. [6 X) m. t
A. 错误
4 d% R8 ^- j. I' w4 ~* j7 dB. 正确2 a: [8 l5 [3 x8 F
      满分:2  分
( J" _$ F6 c; T" @+ f- d5 _& R32.  三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
" Z  s- ~* J: g. o! k; \4 P, h+ ~: }+ sA. 错误
! h# {2 D9 j4 @& I8 U4 EB. 正确0 V' u! _) B' ]7 h. s
      满分:2  分
* _- s# |1 d8 K: _6 P3 @) r33.  f在[a,b]上为增函数,则f的导数f'∈L1[a,b].: g; R- B8 |3 d
A. 错误& r- D' s  o8 }, R$ N- [
B. 正确# Y3 v, I7 |* K8 t
      满分:2  分' u7 }' w7 a' `2 _2 r
34.  若f,g∈BV,则f/g(g不为0)属于BV。8 w7 A: G# |' j( W! S
A. 错误7 \% m( X; c8 b8 R8 n
B. 正确  J* C7 ^. e' z: B0 y! h+ o
      满分:2  分6 y4 G9 O, e/ U& b9 U
35.  测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积.
  T; a" L- Z- z! m- zA. 错误
3 p) T5 ^3 a* A0 N5 WB. 正确- J$ ^7 [4 _, g- y! Q
      满分:2  分) B8 f& ^1 D# }' A/ `
36.  若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定,则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.  E4 L# P' M5 `# W
A. 错误. W; w5 l8 K6 C, _* D$ {
B. 正确
+ x* ]2 a( \8 `- ]6 q      满分:2  分& b7 @0 C. S/ E, ^* ?9 S6 X
37.  函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
7 w) y6 Y) K. b' T- p" \A. 错误( v4 _1 ]8 B# I0 O5 V
B. 正确
# N6 Y) U' d: O. H) b. ~+ G! a$ Q      满分:2  分 ; f, T! h0 w/ ^, T
  Q0 k  u) `. J! E2 P
二、单选题(共 5 道试题,共 10 分。)V 1.  设g(x)是[0,1]上的有界变差函数,则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
5 z$ e6 B2 S% B) c7 ?A. 连续函数- T9 e8 r- ^' q. F0 ^; K3 @
B. 单调函数$ U. P3 W/ }  x, @. T
C. 有界变差函数
7 K3 q9 ?: p+ T! i. MD. 绝对连续函数
8 z3 m  p: k/ u1 u1 Y      满分:2  分/ \# ?+ X+ y. S) E+ B5 I
2.  fn->f,a.e.,则+ G5 \0 X( f6 r3 G- _) r
A. fn依测度收敛于f4 G% `4 y4 [- y9 N  Q
B. fn几乎一致收敛于f
( V" v" }' S- `; z5 kC. fn一致收敛于f' o# k; ?7 a& Y& ?2 n* y4 X
D. |fn|->|f|,a.e.
7 W* m6 V4 J0 Q  ~      满分:2  分6 I" o( |2 l# Z* Q
3.  若f∈L(X),则3 Z0 j; _; @, Z' K. U
A. f在X上几乎处处连续
* t( W: K9 m1 m8 n  KB. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
# ~& E3 O4 N# t/ ~' f  S3 d5 F+ R, OC. 若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
- |( W6 T* k3 j0 n. N6 E8 |      满分:2  分
  O& h4 e( r$ R+ Z2 P- p* w4.  有限个可数集的乘积集是( )( d, o" Q6 F/ @; g9 v
A. 有限集
3 F+ Q" r6 K- U3 |2 I1 x- i4 iB. 可数集9 `7 o( L5 k; S0 s8 P% p3 W
C. 有连续统势的集
  t/ U- L1 O6 F* I( J' Q& KD. 基数为2^c的集5 j+ d8 A9 n# H8 L
      满分:2  分- ?+ O/ q2 r0 Q0 L5 N; N9 ^
5.  在( )条件下,E上的任何广义实函数f(x)都可测.
, @) q' x) G# j2 ^+ e; A+ O$ y2 cA. mE=0
6 W1 X9 ~- M5 ~  \1 l9 YB. 0<mE<+∞
3 j$ K. ]; |3 xC. mE=+∞" P0 }/ s: e8 c- a1 Q! Q4 W5 y0 C5 I
D. 0<=mE<=+∞/ y  [; Y* ?' u, z2 ^6 ?$ v
      满分:2  分 $ R' R1 ^" L1 ^' z; o
4 Y+ g% u7 f4 z9 ~- ~% w
三、多选题(共 8 道试题,共 16 分。)V 1.  若f∈BV[a,b],则( )
" b+ e+ i6 o2 l) sA. f为有界函数4 d- s" T, b: m" w7 a1 O
B. Vax(f)为增函数2 p8 z5 Z( k3 {3 m
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)7 C! _/ T6 Y/ K9 Y* n. |; f7 e! B
D. f至多有可数个第一类间断点2 e) f$ W, P" a& k  V- w
      满分:2  分
; i' D: ]0 V, v* f  y2.  设f为[a,b]上增函数,则f为( )
- f; _) g2 w" G" d6 mA. 几乎处处可微
7 z  T* y  _  ~# a2 Y+ `B. L可积
& U  u9 ]" F, Y' [/ }+ m. E8 _C. f'可积
9 h! n0 S5 y8 m7 q3 ZD. 区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
) r: L" O  }5 Q, H" u/ V      满分:2  分
. \3 [% [" g, A. j& \3 |% B3.  若0<=g<=f且f可积,则( )
# N5 T. {. i$ z3 R: i( y- C2 n- GA. g可积
3 W; M& E6 K9 d2 _- AB. g可测
$ t+ L* }, k6 K8 Z6 b  [: IC. g<∞,a.e.( U, o& p9 {9 T0 ~& g
D. 当g可测时g必可积
  m& `6 `* l; H  W% M& `) N      满分:2  分
6 ?; C% u5 S9 P3 i' m$ ?5 v5 U4.  f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上9 d" A3 e, \- g; g& a# _# G
A. 有L积分值8 c. O+ I! G0 q' w) D
B. 广义R可积
, C  x5 c7 I& W) VC. L可积+ ^# p% A/ o" O. {, n# a$ u) R
D. 积分具有绝对连续性" L# v( {$ D1 M" K, z
      满分:2  分' e: _- D2 J2 Y$ |. L+ m- ~
5.  若A 和B都是R中开集,且A是B的真子集,则( )
9 X4 H& r" S' k4 vA. m(A)<m(B)
/ ?: t# v: \( [8 r5 EB. m(A)<=m(B)& M6 h8 T) K& B5 [5 @" V: m0 @4 W5 g( W
C. m(B\A)=m(B)-m(A)% Q( [- w- I2 ^* N& N6 ^4 R
D. m(B)=m(A)+m(B\A). t  m3 ^2 k$ s7 A( y
      满分:2  分1 M# k, G- f, G) L8 D+ T" B% ^$ _
6.  设E为R^n中的一个不可测集,则其特征函数是
5 _+ B8 k  f* D* O2 wA. 是L可测函数: T( O9 f1 K8 U- }# ~$ a
B. 不是L可测函数- v* X5 @' N' G( H( ?
C. 有界函数
5 u3 r, ]  G8 c/ _; l/ g( RD. 连续函数
. |+ T, U& G6 |/ F8 c      满分:2  分
! A6 ]" q$ Q! a7 e1 Y! [7.  设E1,E2是R^n中测度有限的可测集,则2 W6 j1 _0 r  q1 K# S# |( M0 r
A. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2( A: P4 L0 E$ B& B' P; h  L
B. 若E1包含于E2,mE1<=mE2
% z$ \* R; m% r4 t* k9 b* p8 PC. 若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
$ L* p3 h1 p9 l& [6 d# }      满分:2  分
& R( e1 E/ k8 B, d8.  设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g,则( )
7 m# u: x) w. OA. fn测度收敛于|f|
! k/ B, S+ A. v" O8 E: g7 rB. afn+bgn测度收敛于af+bg' |' ]' `  [- `7 W& `, v8 \, C
C. (fn)^2测度收敛于f^2* ^, \3 @  w5 Y; G; u! Z
D. fngn测度收敛于fg/ g& c. O" [+ V" Q
      满分:2  分
* y; F  w4 j+ _  ]+ x8 S/ n( J" U3 T. v
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