15春福师《实变函数》在线作业一二资料辅导资料

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4 A9 v3 @, o5 A4 V1 Z% y. c) \

  d2 c/ e3 q  [3 t6 @& D% M- S* Y福师《实变函数》在线作业一
7 C) ], C9 y8 b3 M
  B/ Y; w4 @$ H$ p
8 n8 \) r/ z- a

一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）

2 g* c/ e. c9 T# m! C5 x1.  若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.
6 y7 g* Y+ L- w$ GA. 错误
B. 正确
, a+ U) `7 j  ^* R3 R正确资料：A
2.  有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A. 错误
- B' ]# W3 L8 |B. 正确
正确资料：A
3.  若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
2 B5 I/ U9 Z/ \/ Z+ LA. 错误
B. 正确
2 G) r4 o8 `, A0 s3 l' Q5 G6 a2 {正确资料：B
4.  可数集的测度必为零，反之也成立.
A. 错误
( k# [8 o+ ?( H3 l7 F1 \8 c9 dB. 正确
正确资料：A
5.  L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
0 i: E, `  |3 [# d3 q6 G4 FA. 错误
3 H! X( u- a3 }' z0 BB. 正确
正确资料：B
) p. i- i" E( H7 C0 [  J% Z) O* c4 W6.  可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
3 s' ^( L" F- n  k$ fA. 错误
# |% `5 Z8 |  p. }6 UB. 正确
正确资料：B
1 J2 f! J: m" [0 I4 ^7.  设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
( f+ s2 _( g- \# c% O; j, S, ?% UA. 错误
B. 正确
4 g( i" Y( t) F5 b! ~正确资料：B
; Q. L, N/ t5 u& F8 a8.  有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
A. 错误
+ P& f, Y; m, U1 EB. 正确
正确资料：A
9.  利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A. 错误
$ L# `4 Q. N( H5 B3 @B. 正确
正确资料：B
4 m' C# E  N9 ?# P. t10.  若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
& F' a4 t3 q" `# x/ W* F( _  G: [A. 错误
B. 正确
正确资料：B
11.  一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
5 c) t8 Z& C) q1 w+ DA. 错误
B. 正确
1 F6 c2 Z( o9 a6 O5 k正确资料：
2 {( g/ r, }# K9 h8 [% @8 J8 `12.  若f有界且m(X)<∞,则f可测。
( Z. G# G1 @/ ZA. 错误
: E% v- k, _7 |% W5 zB. 正确
9 n* I+ s7 S7 M4 d  {& T正确资料：
. n, m. M  z+ u; H5 w13.  存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
' N  t$ W3 `' D1 ]6 L4 k- a, [A. 错误
B. 正确
1 e- g9 j' @$ |; I$ w* w正确资料：
) A/ N" B% r# y% g+ N/ x( ?, r# l14.  若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A. 错误
5 F% a6 ^- B& N8 HB. 正确
正确资料：
15.  f可积的充要条件:|f|可积。
- g! u7 P! U+ n7 Y# ]& sA. 错误
B. 正确
正确资料：
16.  利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
2 n) v6 u, J6 tA. 错误
8 c8 s6 D& l6 E3 J5 V) S, t- z9 L: B  g' PB. 正确
正确资料：
$ ~( R; U" ?: `6 ?" S& q17.  若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A. 错误
; y8 T- u% S- d, H( e1 b, Y2 [5 tB. 正确
7 g* K) d* j& A( ]' y+ u正确资料：
- ~' f) k* G% P! m! |- S! _18.  有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
9 h! @  J$ V& mA. 错误
B. 正确
正确资料：
+ K" g  t3 G8 [& D+ n19.  测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
- e5 d& k2 I2 W* H/ k' mA. 错误
B. 正确
, Z) j6 W5 Q7 _) ]3 g, C2 C; X正确资料：
20.  若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
A. 错误
: E& U( D1 Q3 o8 A* W# tB. 正确
' o$ s4 ?7 @- o( q& N0 F正确资料：
21.  若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
A. 错误
4 P1 F3 y4 L% N; CB. 正确
正确资料：
# H! `( U/ t& w% F22.  若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A. 错误
4 p2 H5 \3 u' Q( _6 P; A$ @4 _B. 正确
正确资料：
23.  可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
) S* h4 S* n6 D+ J" \A. 错误
B. 正确
& p8 c  b) t3 w7 R6 N" g正确资料：
* D) R: j% H' {24.  若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
) T/ g) V) _) V8 J: VA. 错误
5 o7 P1 l# d& b% Q. xB. 正确
, M, H- ]; ^1 Z. q! }# \: G正确资料：
/ Y- h: J+ H1 [6 D: L9 b25.  增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
A. 错误
B. 正确
正确资料：
26.  f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
$ ^+ F8 Z5 N' b7 yA. 错误
B. 正确
正确资料：
27.  对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
3 x! s5 O$ @; ]! I- w1 ]1 KA. 错误
B. 正确
6 R0 w! F6 v7 I# F, x$ A正确资料：
28.  若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
A. 错误
7 d7 L2 T/ a1 a$ V$ bB. 正确
4 I' l1 p9 T( O: C* V/ B2 h: _! O正确资料：
29.  f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
5 u" h/ Q5 X; W6 a5 T4 n' eA. 错误
$ p) E6 V2 T0 G2 a8 uB. 正确
3 n' X% n7 Y6 ~( B正确资料：
7 R5 q3 f1 l7 x2 O! R7 e30.  无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
* ^8 W' e3 S' x, X# y1 i# @A. 错误
) i  m/ _0 }6 O; E2 T  SB. 正确
- C% Q* a/ y4 z. n- u正确资料：
31.  f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
# c8 o3 t  q5 l/ @A. 错误
7 Q4 Y, s: m  R8 QB. 正确
正确资料：
, y( Q! M" ?8 G2 c. W% n32.  f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
4 p, J7 j/ }& V" d+ h0 DB. 正确
正确资料：
33.  对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A. 错误
B. 正确
正确资料：
) ~4 V; R  d7 B2 S) T7 ^+ ^34.  三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A. 错误
B. 正确
正确资料：
35.  零测度集的任何子集都是可测集.
/ _* N& _5 F5 O% l& t+ kA. 错误
/ _, l+ K% F) y! vB. 正确
) c: I9 w3 S8 P4 W  T( }, v$ E正确资料：
" T* i% d& m. Q' ]% J; m36.  三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
5 `$ d' s+ E# {2 g! M9 |A. 错误
! S, {3 Q5 a; U. b# F$ O# TB. 正确
# z, k' M- p0 c正确资料：
37.  积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
! m, [( {/ j+ R8 W# dA. 错误
B. 正确
正确资料：
9 ~  O) |$ A+ C/ Y

. ~: ]3 W+ O8 `
3 R! }, ?! |0 W福师《实变函数》在线作业一

; @9 D3 u; i. y' ^; [, Q
8 i  n7 A" w+ {4 m
& U. E) J3 p0 g" K0 }5 ^: f& E& [
7 T4 K8 ?0 A7 U; i5 v7 D% n' G二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）

1.  下列关系式中不成立的是（ ）
A. f(∪Ai)=∪f(Ai)
3 Z- R+ E( ^0 v. O' B/ x, i4 \B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
C. (A∩B)0=A0∩B0
D. (∪Ai)c=∩(Aic)
正确资料：
4 I% m! r/ B7 k2.  若A为R^n中一疏集，则（ ）
" A) {& p6 ]5 [A. Ac为稠集
B. A为开集
, G/ h. s# Q1 vC. A为孤立点集
8 ?4 W) k5 z1 r. Y, S) v, J( wD. A不完备
, S0 R6 _7 b% F% U6 A正确资料：
3.  fn->f,a.e.,则
A. fn依测度收敛于f
  C+ x5 W9 k* _" T; [6 QB. fn几乎一致收敛于f
+ s! s) U, E3 z( C& q. \C. fn一致收敛于f
8 W# g- y7 q$ O* F2 U3 q2 w/ PD. |fn|->|f|,a.e.
/ d( E# B7 t  D正确资料：
6 N$ @' ^$ E/ }* X. G# `! {# v7 _& W4.  fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
1 X" f: f  w; t1 j2 ED. 非充分非必要条件
1 p0 Y1 x  F% v% H' ~$ W5 y$ l正确资料：
5.  在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
3 m9 H% j1 O( I9 d! s5 F2 XA. mE=0
$ x! F0 x0 t0 d% Z5 r' oB. 0<mE<+∞
8 o# I( T6 P8 H4 ^- j  DC. mE=+∞
6 `, B1 b3 |  T. Y8 u7 eD. 0<=mE<=+∞
" l: D' o4 \; r1 {) s正确资料：


( g0 }) Q! F1 c6 o$ K
福师《实变函数》在线作业一


$ I' F' U% M- y4 O/ Z8 V

6 U4 k; m" f3 \7 V4 @! }  Y7 s三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）

9 y' b1 e% a3 J" q1.  若f∈AC[a,b]，则（ ）
A. f∈C[a,b]
B. f∈BV[a,b]
/ j; m: v% [3 M% [% q8 ?: J' `4 xC. f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt
, `! L( L  g7 E* _. z( K, G/ o/ R, jD. f∈Lip[a,b]
( {' Z4 M* t3 Z$ `正确资料：
2.  设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
A. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B. 若E1包含于E2,mE1<=mE2
5 N7 ?& f) x% K/ o. e( BC. 若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
正确资料：
3.  在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
' \8 S6 u0 V. z; v$ t) _A. f在R上处处不连续
B. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
5 A8 Y) {# D- V5 d. P7 s+ ?D. f不是可测函数
正确资料：
$ G# Q/ m' `( L4.  若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
5 X5 l$ ^+ f  E+ c; BA. f可测
, {. p% g. g' p- \3 o- j4 GB. |f|可积
C. f^2可积
5 u/ s# O  W5 y+ W  A- l  e5 e% w) GD. |f|<∞.a.e.
4 K" D: R: I9 G. D) _正确资料：
5.  A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A. f^-1(f（A）)=A
, Z3 z3 h* n$ U. \$ X6 Y1 UB. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
* X! P* Z2 O: w7 T' K1 aD. f(A\B)包含f(A)\f(B)
正确资料：
( A9 n1 k3 @3 {6 y, n- m8 u6.  f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A. 有L积分值
B. 广义R可积
8 t3 b9 S$ f5 t0 C* a: k" I8 dC. L可积
) v  U) s" n5 f% Z- g6 o* kD. 积分具有绝对连续性
正确资料：
7.  若0<=g<=f且f可积，则（ ）
( @' {! g: }% P* I0 GA. g可积
B. g可测
& b8 P. Q* F: D3 _1 b) ?1 _C. g<∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
5 W8 w/ u! K# T/ Y- r正确资料：
8.  若f,g是有界变差函数，则（ ）
+ x3 C# c$ ]' O$ J! v  n  C! gA. f+g有界变差函数
B. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
D. max(f,g)有界变差函数
( n  F5 L* ?: ^9 R正确资料：
. B, p9 u2 z. T' D
' L  Z" h9 l0 B- e- f  k% B

$ i. K' E, i, V) K8 f+ Z0 }, q1 P1 W+ C谋学网(www.mouxue.com)是国内最专业的奥鹏作业资料，奥鹏离线作业资料及奥鹏毕业论文辅导型网站，主要提供奥鹏中医大、大工、东财、北语、北航、川大、南开等奥鹏作业资料辅导，致力打造中国最专业的远程教育辅导社区。