东师范 2015年春季《中小学数学解题研究》期末考核

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期末作业考核
《中小学数学解题研究》

满分100分
一、回答下列各问题（每小题6分，共18分）
1．什么是配方法？配方法的基本特征是什么？
( z" p/ [: V/ k2．什么是“数学问题”？数学问题与习题的联系与区别是什么？
8 I2 D* ]9 U4 R1 \! A* H. ^  \3、简述对数学解题进行错误分析的重要意义。

二、用两种方法求解下面问题（每小题6分，共12分）
2 G) ^& W0 N6 B. [1、20%的食盐水与5%的食盐水混合，要配成15%的食盐水900克.问:20%与5%食盐水各需要多少克?

4 r/ f1 ~6 Z9 D! M- N8 n三、下面这道题，是某学生给出的解法，你认为对吗？认为正确说明理由；认为不对，请给出正确的解法。（共8分）
; z# l+ U- a& I# z+ p: k3 m  a; i1、已知
学生B的解法：根据等比定理有      
( Z, M/ X% o+ g7 o
四、试按波利亚的解题四步骤来分析求解下题（12分）
& w* P: ^4 W. g7 O, r5 ], ^- k& Q" S1、在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，P为△ABC内切圆上的动点。求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值与最大值。
( Y3 u: D* E6 t: u- E. m" t、
0 k4 g/ a4 O$ }( w; D' E$ l
9 V* R3 |% h! N% _2 e五、求解下列数学题（每题10分，共30分）
1、求下图1中阴影部分的面积。(取π=3)

图1


2、已知 ，求 的最大、最小值。

3、如图2所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水
  t  D; C0 t: A2 y面处安装一个柱子OA，O恰好在水面中心，OA=1.25m。由柱子顶
5 J$ Y4 y1 T" r端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落
+ r# c6 s/ D+ h下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离1m处
达到距水面最大高度2.25m。
（1）        如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能
, W9 X6 s' X1 ^2 z% x/ i使喷出的抛物线形状与图2相同？
' o0 o9 }; r7 [; C! ^" v（2）若水流喷出的抛物线形状大小与图3相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达到多少米？（精确到0•1m）

六、证明下列各题（每题10分，共20分）
( f5 m5 \: P" u1 g, y: Z1、若ad－bc=1，证明 （a，b，c，d均为整数）不可约。


4 {8 v) W) {1 F1 d/ v/ }. `2、如图4，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三
3 v) u: `5 x( _- e% g角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点。
+ t% S7 G7 E8 q# Q  (1)求证：△BCF≌△DCE；
7 y4 N5 H1 f! O% u1 I. `3 B  (2)若BC=5，CF=3，∠BFC=90º，求DG∶GC的值。
) |, d- U) G8 |

' d: ^& ?+ `6 z8 H: U3 i/ o图4

$ z# a5 Z4 q1 |. g% M& x