南开15春《概率与统计原理》期末复习资料

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《概率论与统计原理》复习资料
一、填空题
3 M; Y) \+ Y/ W# c+ v1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为       、      、      、      、        、      。
参考资料：
B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C， + + ，AB +AC + BC， + +
7 E7 ^! R- K& z0 n. M) v考核知识点：事件的关系及运算
( N" E: ], Q( r. |, j
2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为      、      、      。
参考资料：0.04，0.02，0.1
考核知识点：古典型概率
# m7 a9 y6 H7 Z7 X9 W
" p+ C3 }' f9 M. n; t" t4 h8 x9 X6 p3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为            ，恰好有2枚正面向上的概率为             。
7 m' ]7 f$ v/ J* Z4 K参考资料：1/8，3/8
6 M) Q) H6 z& E6 H5 h1 `考核知识点：古典型概率

4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为               。
参考资料：0.6
( v7 W/ P# s1 w$ Y, P- h- B考核知识点：古典型概率

5、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为            ，获利10~15万元的概率为            。
参考资料：0.2，0.4
) z9 d  ~. Q4 r; v5 N( m考核知识点：概率的性质

" V( Q4 i- D! P+ P5 k6、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为         ；取到的两个球颜色相同的概率为         ；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为           。
参考资料：0.4，7/15，14/15
( N- A! C0 W0 E6 j  _/ Q考核知识点：古典型概率和概率的性质
: V' \8 Z4 Y' r* _2 @3 P7 w- X" w6 e
; v$ o: `, z% a$ m$ s* A9 s7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= 0.6，P（B）= 0.3，则P（A+B）=        ；P（ +B）=        ；P（ B）=        ；P（ ）=        。
参考资料：0.9，0.4，0.3，0.1
7 \1 e% y1 d0 ]: ^. }( @& ]考核知识点：概率的性质

8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为       ；至少有一人中靶的概率为       。
/ E0 [; a: ^% P2 \4 `& k6 i( z参考资料：（1）0.26；（2）0.96
考核知识点：事件的独立性
8 b( \0 A% E8 ~! Z
9、每次试验的成功率为p（0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为         。
9 B2 s% |7 t: ~" i) |参考资料：
考核知识点：事件的独立性

5 j2 S6 A1 i3 d9 W10、设随机变量X~N（1，4），则P{0 ≤X＜1.6}=       ；P{X＜1}=       ；P{X=x0}=      。
参考资料：0.3094，0.5，0
考核知识点：正态分布，参见P61；概率密度的性质
- \0 V) N! r+ c+ h' |' l
11、设随机变量X～B（n，p），已知EX=0.6，DX=0.48，则n =         ，p =          。
5 l4 u1 |( X1 _- g3 R) v参考资料：3，0.2
" D8 P9 J$ O: w0 z, V2 b4 u2 J考核知识点：随机变量的数学期望和方差
- n3 s2 V- w* [% \. Z$ K8 O
; `, b" P7 `# G5 v) u12、设随机变量X服从参数为（100，0.2）的二项分布，则EX=         ， DX=         。
( x+ A2 H2 M, ~# A参考资料：20，16
2 [/ C9 q3 a7 Z3 h8 g; v% i  \考核知识点：随机变量的数学期望和方差
6 m: K/ T7 X+ `- G: q) L9 d
13、设随机变量X服从正态分布N（-0.5，0.52），则EX2=        ，D（2X-3）=          。
参考资料：0.5，1
; ^( ^5 D" M, l4 q; \8 |考核知识点：随机变量的数学期望和方差及其性质
0 k+ p. d! i' D% w) |
6 T) u) R+ n& D" b& d14、设由来自正态总体 的容量为9的简单随机样本，得样本均值 =5，则未知参数 的最大似然估计值为         ， 的置信度为0.95的置信区间为                。
参考资料：5，（-0.88，10.88）
考核知识点：正态总体参数的极大似然估计以及区间估计

1 l7 f! T: d4 j% [- {+ a15、设由来自正态总体 的容量为25的简单随机样本，得样本均值 =15，则未知参数 的最大似然估计值为        ， 的置信度为0.95的置信区间长度为             。
& K/ T0 w, l8 ^3 |参考资料：15，7.84
考核知识点：正态总体参数的极大似然估计以及区间估计
- s6 S& d& p# S. U# X* u$ d
16、从自动车床加工的一批零件中随机抽取了16件，测得零件长度的平均值为2.125cm，标准差为0.017cm。假设零件的长度服从正态分布，则零件长度均值的点估计值为        ；零件长度标准差的点估计值为          ；零件长度标准差的0.95置信区间为                       。
# O$ o% k% v+ M7 D: M% _参考资料：2.125，0.017，（0.0126，0.0263）
' _0 C: D  R  f. z1 R3 I考核知识点：正态总体标准差的点估计以及区间估计

17、设总体X服从正态分布 ，从X中随机抽取一个容量为36的样本，设 为样本均值，S2为样本方差。当总体方差σ2已知时，检验假设H0：μ=μ0的统计量为            ，当总体方差σ2未知时，检验假设H0：μ=μ0的统计量为               。
4 J7 B5 C* F; {0 k& V参考资料： ，
! b0 n# U. n! i9 E* q考核知识点：正态总体均值的假设检验

8 }. C! z7 T" s2 N18、设总体X服从正态分布 ，从X中随机抽取一个容量为n的样本，设S2为样本方差，则检验假设H0： 的统计量为            。
- `( n& @' s) \+ h: i0 e7 c+ D- o参考资料：
考核知识点：正态总体方差的假设检验
+ Y5 y6 _7 r- k3 K8 {9 `
/ s  ^! Y/ U1 z7 U# F19、假设检验时若增大样本容量，则犯两类错误的概率都将                 。
参考资料：减少
+ q0 R# f3 {2 `! x# V6 w" g考核知识点：假设检验的两类错误

- B4 |+ N  G- p+ l" }3 z20、设随机变量X在区间[1，3] 上服从均匀分布，则X的概率密度函数为              ；事件 {-0.5＜X＜1.5}的概率为              
参考资料： ，0.25
考核知识点：连续型随机变量的密度函数和概率
6 i0 i/ S) R$ C8 B
4 U- I9 W; A1 q1 r21、设随机变量X～B（3，0.2），则EX=            ，DX=             。
! M( Y9 Q, o- b4 h9 ^参考资料：0.6，0.48
考核知识点：二项分布的数字特征
) D- \2 C: q" j3 d  ?1 n
22、总体X服从正态分布N（μ，σ2），从X中随机抽取一个容量为n的样本， 为样本均值，S2为样本方差。当总体方差σ2已知时，假设H0：μ=μ0的检验统计量为          ，当总体方差σ2未知时，假设H0：μ=μ0的检验统计量为             。
) e/ d: U7 q: W5 `参考资料： ，
4 k# I9 O; m" L2 V) N考核知识点：假设检验

23、对于随机试验：观察一台电脑的使用寿命，则其样本空间可表示为                     ；事件“使用寿命超过600小时”可表示为                     。
参考资料：（0，+∞）；（600，+∞）
考核知识点：随机试验的样本空间

) G) p" n) @5 D7 F, I6 J9 H$ b) ?24、设随机变量X的概率密度为 ，则常数A=      ，P（ ）=        ，X的分布函数F（x）=               。
参考资料：
1，0.5，
  E* V& x# W1 q1 e考核知识点：连续型随机变量的分布函数

25、对于随机试验：记录一段时间内某城市110报警次数，则其样本空间可表示为                     ；事件“报警次数小于5次”可表示为                     。
参考资料：{0，1，2，…}；{0，1，2，3，4}
考核知识点：随机试验的样本空间

26、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有2枚正面都向上的概率为            ，至少有1枚正面向上的概率为             。
参考资料：3/8，7/8
& G* O0 ^6 V  I/ Q! t& u7 h考核知识点：古典概率
- ]4 c" z5 M' I9 z9 n$ c, Q9 @5 V
27、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，令X为两个数之和，则P{X≤3}＝      。
; u2 J- l, g, r  ?9 W参考资料：0.04
考核知识点：古典概率
0 q' X+ }( H2 T2 |. H
28、每次试验的成功率为p（0< p <1），则在3次重复试验中至少失败一次的概率为         。
参考资料：
+ c7 W0 ~1 f) q6 \考核知识点：古典概率

  w& C0 y9 S6 b- j29、在假设检验中，一般情况下会犯                         错误。
参考资料：第一类错误和第二类错误
6 g4 r. ~' |* n' P, N  _  {: D考核知识点：假设检验

5 u. `' ]7 R9 K9 H1 v* `: Y30、袋中有50个球，其中有20个是红球，其余为白球，不放回抽样从中任取3次，一次取一个球，则第5次取到红球的概率为              。
参考资料：0.4
考核知识点：古典概率

31、设随机变量X在区间[2，7] 上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度函数为             ；随机变量X的分布函数为            ；P{-0.5＜X＜2.5}=            。
6 ]3 k( a* T, O% L; z2 I% |参考资料： ， ，0.1
% p2 C* ~6 S8 V2 _5 E- Y考核知识点：连续型随机变量的性质
5 L2 c$ z! X" a1 H% Z6 ~8 |' O
; ~1 q* W3 P" X( e' A32、设随机变量X服从参数为（100，0.4）的二项分布，则EX=         ， DX=         。
6 n# ~3 t( v& U- e$ [& i" ~参考资料：40，24
考核知识点：二项分布的数字特征
6 v3 W0 z. e3 z, o" U7 Z7 P' i
33、设由来自正态总体 的容量为25的简单随机样本，得样本均值 =5，则未知参数 的最大似然估计值为           ， 的置信度为0.95的置信区间长度为                    。
参考资料：5，7.84
% f8 R1 N: J0 G- [3 q" f% o考核知识点：正态分布的估计值和置信区间

34、在假设检验中，第一类错误是指                             。
1 x# m% s5 H8 m7 V* q! \6 Q4 l参考资料：原假设本来正确，却被错误地拒绝了
3 M$ ^: i, I0 Q  A$ M考核知识点：假设检验
- c! o! y- @2 u2 O, P/ U! G9 }5 ]
35、袋中有100个球，其中有30个是红球，其余为白球，不放回抽样从中任取4次，一次取一个球，则第二次取到红球的概率为              。
# t( {6 B: K% O+ f5 X- M+ C参考资料： 0.3
# G" }: C8 p! R5 a. k7 Q考核知识点：古典概率
! h+ `, B  \$ a* O- M
36、设随机变量X在区间[2，6] 上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度函数为             ；随机变量X的分布函数为            ；P{-0.5＜X＜2.5}=            。
参考资料：  ， ，0.125
/ B2 U9 N# `( k考核知识点：连续型随机变量的概率
, i5 Z+ U+ Z; ~: g
, s: P: r7 y* ~% y( D7 d% G4 }8 z37、设随机变量X服从参数为（10，0.6）的二项分布，则EX=         ， DX=         。
参考资料： 6，2.4
考核知识点：二项分布的数字特征

# t1 {2 s* r/ v9 R2 j38、设由来自正态总体 的容量为25的简单随机样本，得样本均值 =5，则未知参数 的最大似然估计值为           ， 的置信度为0.95的置信区间为                    。
参考资料： 5，（1.472，8.528）
考核知识点：正态分布的估计值和置信区间

二、单项选择题
1、下列数字中不可能是随机事件概率的是（    ）。
A．- 1/3       B．0      Ｃ．0.3      Ｄ．1
' ~9 Z; `' A# g参考资料：A
考核知识点：概率的公理化定义

/ h: |9 ]; L. l3 I; Y2、某产品共有10件，其中3件为次品，其余为正品。用不放回方法从中任取两次，一次一件，则第二次取到的是正品的概率为（    ）。
0 h1 r4 ~; J$ O$ ^; ?) P% Q, N: N    A．       B．       C．       D．   
参考资料：B
" C( a' ]' D: `( B3 N$ t9 v# J考核知识点：古典型概率
# G$ w8 T: [# [0 A7 K9 e8 h+ z$ p1 ^
3、设某厂的甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，记A1为“产品是由甲车间生产的”， A2为“产品是由乙车间生产的”， A3为“产品是由丙车间生产的”， B为“产品是次品”。今从即将出厂的该种产品中任取一件，则取到的是甲车间生产的次品的概率为（    ）。
& I! A. e: ]# h0 nA．P ( A1)   　　 B．P (  )      　C．P ( )      D．P (A1B)　
- y' {: ~8 y( s1 r% e8 t5 z. O参考资料：D
考核知识点：概率的表示与条件概率

4、设某厂的甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，记A1为“产品是由甲车间生产的”， A2为“产品是由乙车间生产的”， A3为“产品是由丙车间生产的”， B为“产品是次品”。今从次品中任取一件，则它是由甲车间生产的的概率为（    ）。
A．P ( A1)   　　 B．P (  )      　C．P ( )      D．P ( )　
* `* x3 O- E/ Z) ]; c参考资料：D
考核知识点：概率的表示与条件概率

5、任何连续型随机变量的概率密度f (x) 一定满足（  ）。
* `, Y4 w! I4 ]& T# o9 ]4 ~% `A．     B．在定义域内单调不减    C．在定义域内右连续
) U9 T6 E8 c6 q( c) [' DD．     
参考资料：D
考核知识点：概率密度的性质

3 F2 y# ?6 m3 _  u) S6、设随机变量X~N（2，1002），且P{0<X<4}=0.3，则P{X<0}=（    ）。
A．0.25        B．0.35       C．0.65      D． 0.95
参考资料：B
9 w4 R* a4 g$ ]9 ~4 @考核知识点：正态分布

8 F- M" h8 g3 X1 s1 P/ X$ T% D% C7、设X是随机变量，x0为任意实数，EX是X的数学期望，则（    ）。
* Y% L3 y/ j. ~# zA．     B．
C．     D．
参考资料：B
. R& G: O1 J% G! x6 e: a: T7 e* g考核知识点：方差的性质
: y9 \8 I2 ~: |. c8 U+ B6 J
$ O( l; \+ y5 k5 d8、设假设总体X服从参数为p（0<p<1）的0-1分布，p未知。（X1，X2，…，X5）是来自X的简单随机样本，则下面的（    ）是统计量。
A．X1+pX3      B．X5+2p（X5 -X2）      C．min（X1，X2，…，X5）      D．X2-EX4
参考资料：C
考核知识点：统计量的定义

9、设总体X的均值 与方差 都存在，且均为未知参数，而 为该总体的一个样本， ，则总体均值μ的矩估计量为（　）．
A． 　B． 　　C．     D．
参考资料：A
9 @# m7 N' F8 n0 R考核知识点：参数的矩估计
9 h' }6 ^8 M6 J. {& s% R
10、设总体X的均值 与方差 都存在，且均为未知参数，而 为该总体的一个样本， ，则总体方差 的矩估计量为（　）。
$ [9 `$ r! r( Z/ h, y$ qA． 　B． 　　C．     D．
参考资料：B
考核知识点：参数的矩估计
+ M) w/ Q& K+ E  @6 r$ A7 S2 b
11、从估计量的有效性是指（    ）。
" J& C9 {0 |% V& t7 J; E: S3 rA．估计量的抽样方差比较小    B．估计量的抽样方差比较大
# Q# ?: {& l. y+ UC．估计量的置信区间比较宽    D．估计量的置信区间比较窄
参考资料：A
考核知识点：评价估计量的标准
# s" q# F/ R6 J, C- B5 x) ?
" F- m" d6 F) @4 Z# p9 A( O12、在一次假设检验中，当显著性水平为0.01时原假设被拒绝。当显著性水平为0.05时，则（      ）。
2 i, f* l  j, Y& k" fA．可能会被拒绝        B．就不会被拒绝
1 E3 B  a' Z6 R7 k. WC．也一定会被拒绝      D．需要重新检验
: V4 E1 D' ^/ X" m! M参考资料：C
& s+ b/ n* ^8 }1 }考核知识点：假设检验的显著性水平

3 }: n1 ^7 P$ w. L: D% z13、假设检验时若增大样本容量，则犯两类错误的概率（　  ）。
A．一个增大，一个减少　　B．都增大　　C．都不变　　D．都减少
参考资料：D
考核知识点：假设检验的两类错误

14、假设检验中，一般情况下，（    ）错误。
        A．只犯第一类                       B．只犯第二类
4 y  y, n. g9 `        C．既可能犯第一类也可能犯第二类     D．既不犯第一类也不犯第二类
参考资料：C
6 _7 i: k. o4 \' j! B: h6 G8 ?考核知识点：假设检验的两类错误

15、要求次品率低于10%才能出厂，在检验时原假设应该是（        ）。
  A.      B.     C.     D.
# O7 e3 x. w3 j( K4 r参考资料：A
: O5 G& L0 {9 z+ o  c考核知识点：单边假设检验

+ r3 ?) a! g* H4 l, d) _# s16、设随机变量X~N（2，102），且P{0<X<4}=0.5，则P{X<0}=（      ）。
A.0.95      B.0.65      C.0.35       D.0.25
4 U. n1 n4 J* X' h参考资料：D
考核知识点：正态分布的性质
5 b6 E- J& Q; D) T, o
$ I. x. L9 g# ]. J2 Z* V+ L: n% E7 t17、某产品共有10件，其中4件为二等品，其余为一等品。用不放回方法从中任取两次，一次一件，则第二次取到的是二等品的概率为（    ）。
    A．       B．       C．       D．   
参考资料：B
6 N6 |0 H( g# ~& ~7 ~, X考核知识点：古典概率
# ?( ^* x2 S6 C7 {
18、设随机变量X~N（2，16），则P{X＜2}为（    ）。
+ }3 p8 z6 O6 v6 M$ AA．0        B．0. 25       C．0. 5      D． 0.75
参考资料：C
# W2 }$ c, H7 a" q: O考核知识点：正态分布的性质
0 L2 n) {. N2 \: f4 L
19、在一次假设检验中，当显著性水平为0.02时原假设被拒绝。当显著性水平为0.05时，则（    ）。
/ A  J6 L3 I( [+ d% W0 V2 W) d; {A．需要重新检验      B．就不会被拒绝
7 v! U, c) q. y( d, h5 U) ZC．可能会被拒绝      D．也一定会被拒绝
参考资料：D
考核知识点：假设检验
* g* u! Q- H8 O; ^+ x6 ~* \  q
, A2 x# E/ z; A3 a3 m8 _* s& O20、下列数字中能是随机事件概率的是（    ）。
A．-1   B．-0.4      C．0.5     D．1.5
参考资料：C
考核知识点：随机事件概率
) q. W2 L9 ]7 b* F$ F) o/ ^( o/ w: B9 J
% U5 h' O; c0 f) ]4 ^21、总体X服从正态分布 ，其中参数 已知， 未知。 为来自X的随机样本， 和 分别为样本均值与样本方差，则下面的（     ）是统计量。
  A． 　 　B． 　　　C．      D．
参考资料：A
/ F7 J( w7 b1 U7 `. v考核知识点：正态分布的统计量

) m( N" J8 h- c- m& R( A三、计算题
% p" |1 r2 g5 e* H/ c+ R1、写出下列随机试验的样本空间及下列事件的样本点。
（1）E1：掷一颗均匀对称的骰子，观察出现的点数；A={掷出偶数点}。
（2）E2：记录一段时间内某城市110报警次数；B={报警次数小于5次}。
* W- g7 w9 X' \+ I7 B7 e& Z3 J（3）E3：在一批灯泡中任意抽取一只，观察其使用寿命（单位：小时）；C={使用寿命超过500小时}。
（4）E4：向半径为10的平面区域D={（x，y）：x2 +y2≤100}内随机投掷一点（假设点必落在D内），观察落点的坐标；C={落点在半径为5的同心圆内}。
: ^- J5 r  v/ y参考资料：
（1）Ω1 = {1，2，…，6}；A= {2，4，6}
( X* i& b1 V1 `$ [6 Q0 g1 i4 p（2）Ω2 ={0，1，2，…}；B ={0，1，2，3，4}
（3）Ω3 =（0，∞ ）；C =（500，∞）
（4）Ω4 = { }，D={ }
考核知识点：用集合表示随机试验的样本空间和随机事件
1 J9 m$ _" N1 l3 \
' q$ S) ~/ m" W$ \3 S: k2、已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC）=P（AB）=1/16，P（BC）= 0，求事件“A，B，C至少有一个发生”和事件“A，B，C都发生”的概率。
6 Q9 k& i8 H" S* \+ A  i参考资料：  ，0
: r( j. r$ `+ y. A/ v考核知识点：概率的性质
3、某产品共有10件，其中3件为次品，其余为正品。用不放回方法从中任取两次，一次一件。求（1）第一次取到的是次品的概率；（2）两次取到的都是次品的概率；（3）若已知第一次取到的是次品，第二次再取次品的概率。
' A2 D5 i7 t& g( S参考资料：（1） ；（2） ；（3）
考核知识点：条件概率
% z7 B" w2 S4 X1 ]5 }5 n3 b! p
4、设1，2，3三台车床加工同一种零件，加工出来的零件混放在一起。已知三台车床加工的零件分别占全部的35%，40%和25%，三台车床的次品率依次为4%，3%和2%。现在从全部零件中任取一件，（1）求它是次品的概率；（2）若已知取出的零件是次品，求它是由第2台车床加工的概率。
参考资料：（1）0.031；（2）12/31
0 V, n3 P* P* w考核知识点：全概率公式、贝叶斯公式
& T" Y- r) @3 ]0 }8 t7 O
1 @+ [" Q8 k/ j5、已知事件A，B，C相互独立，且P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/4，求事件“A，B，C至少有一个发生”和事件“A，B，C都发生”的概率。
参考资料： ，
考核知识点：概率的性质以及事件的独立性
5 V- {  g9 x$ o
6、袋中有100个大小相同的球，其中30个球上标有数字0，60个球上标有数字1，10个球上标有数字2。现在从中任取1球，用X表示取出球上的数字，即X= 0表示取出的球上标有数字0，X=1表示取出的球上标有数字1，X= 2表示取出的球上标有数字2。（1）写出X的概率分布列；（2）求X的分布函数；（3）求P{0≤X≤1.5}，P{0＜X≤1.5}；P{1＜X＜1.5}。
参考资料： （1）
X        0          1         2
* s# j7 v% Y5 `" u. H0 N- HP        0.3        0.6        0.1
' B0 G* [# v6 V& q) Z& c（2）
（3）0.9，0.6，0
考核知识点：离散型随机变量的分布列、分布函数以及相应事件的概率
5 A- K/ B' `" q* X: r$ a
4 G, ]* d) F( a# u7、设离散型随机变量X的概率分布如下：
X        0        1        2
: ?2 P( G8 D5 Z: E7 VP        0.1        0.6        0.3
! p3 a3 e; B2 g- k7 P（1）求X的分布函数F（x）；
（2）求P{0≤X≤1.5}， P{1≤X＜1.5}， P{1＜X＜1.5}
! {4 H# M4 ]. g参考资料：（1） ；（2）0.7，0.6，0
考核知识点：离散型随机变量的分布函数及其性质

8、设随机变量X的分布函数为 ，求（1）常数A；（2）P（ ）；（3）X的概率密度f（x）。
  `9 @0 e' f0 K0 U( I7 t参考资料：（1）1 ，（2）0.5，（3）
考核知识点：连续型随机变量的分布函数的性质，利用分布函数求事件的概率，以及用分布函数求概率密度
% f$ y' w9 C9 M& r0 d* T
" P- t# p* F9 [  Y9 v: [9、设随机变量X的概率密度为   （-∞＜x＜+∞），求（1）系数A；（2）P{0＜X＜1}；（3）X的分布函数。
参考资料：（1）0.5，（2） ；（3）
# d  H, Y( V  I4 W. r$ ~考核知识点：连续型随机变量的概率密度的性质，利用概率密度求事件的概率，以及用概率密度求分布函数

0 [- A& M0 W! W10、设随机变量X在区间[1，5] 上服从均匀分布，求（1）X的概率密度函数；（2）X的分布函数；（3）P{-0.5＜X＜1.5}。
参考资料：（1） ；（2） ；（3）0.125
; d( C" L% ^  K考核知识点：均匀分布的概率密度、分布函数
1 n  x- w. ?% J: D( V* |/ _  J" P; z
/ g. z" r1 b3 {$ [6 M" j11、设某地区年总降水量X~N（600，1502），求（1）明年的降水量在400~700之间的概率；（2）明年的降水量至少为300的概率；（3）明年的降水量小于何值的概率为0.1？
参考资料：（1）0.6568；（2）0.9772；（3）408
考核知识点：正态分布

12、设随机变量X~ N（μ，σ2 ），求Y=aX+b（a，b为常数， a ≠0）的概率密度。
  e% F. Q$ O. `) O8 k参考资料：
7 O! e4 W0 l4 P1 [- n6 E! B2 K考核知识点：连续型随机变量函数的分布
# _! B4 ?  E# F
13、设随机变量X的分布列为
( t6 g  B; v0 u7 P, n* ]7 tX        -2        -1        0        1        2
+ I) J& q3 _- j( YP        0.1        0.2        0.4        0.2        0.1
求（1）X的数学期望EX和方差DX；（2）Y = X2的分布列。
% A' N0 p  V/ ~* g参考资料：（1）EX= 0 ；DX=1.2
: {, T+ z4 I! ]: F) y' p# U8 M# t（2）
Y        0        1        4
8 q; q2 k" s4 i3 e! u2 `P        0.4        0.4        0.2
$ d6 W; _6 m. Y5 w0 F" u7 H考核知识点：随机变量函数的分布，离散型随机变量的数学期望与方差

14、设随机变量X在区间[1，3] 上服从均匀分布，求X的数学期望EX和方差DX。
参考资料：EX=2， DX=1/3
+ {2 `( C2 l2 W& ~考核知识点：随机变量的数学期望和方差
) c" E; G; w$ c6 V1 s  r
15、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布（λ>0），求X的数学期望EX和方差DX。
; X3 I1 M' l. D; k参考资料：EX=λ，DX=λ。
考核知识点：随机变量的数学期望和方差
5 T; }  D8 Z" A& a, Y; R8 y$ J
16、设随机变量X服从参数为λ的指数分布（λ>0），求X的数学期望EX和方差DX。
参考资料：EX= ，DX= 。
) ~& P  G5 e" Q( Y  W' v4 J考核知识点：随机变量的数学期望和方差
1 T$ W; T: \% j17、设随机变量X服从参数为（μ，σ2）的正态分布，求X的数学期望EX和方差DX。参考资料：EX＝μ，DX＝σ2 。
  e/ F1 p" n5 G' E' }考核知识点：随机变量的数学期望和方差

! ]8 c! w3 @  T+ ?18、设随机变量X服从参数为λ的指数分布（λ>0未知）。（X1，X2，…，Xn）是来自X的简单随机样本，求λ的极大似然估计量和矩估计量。
参考资料：θ的极大似然估计量和矩估计量都为  
考核知识点：总体参数的极大似然估计法和矩估计法
+ M! {% R4 @2 J  s/ P9 V4 i" E# A
1 O6 m1 C# F, B7 z) e- s19、设总体X的概率密度为

其中θ>0未知。（X1，X2，…，Xn）是来自X的简单随机样本，求θ的极大似然估计量。
参考资料：θ的极大似然估计量为
0 W9 Y0 B3 G% [+ _' s5 l考核知识点：总体参数的极大似然估计法

20、设总体X服从参数为p的0-1分布，求参数p的极大似然估计量。
参考资料：p的极大似然估计为
4 z5 p4 _4 k$ h* O4 @1 d. U考核知识点：总体参数的极大似然估计法
' G8 O- }7 S3 y6 B0 a" p7 s0 @2 y
+ \6 o7 f+ u4 w8 L  E$ H( |21、设随机变量X服从参数为（μ，σ2）的正态分布，其中μ，σ2为未知参数。（X1，X2，…，Xn）是来自X的简单随机样本，求μ和σ2的极大似然估计量。
% f# y6 a( I# _( l2 {考核知识点：总体参数的极大似然估计法
" l$ v5 n# o1 y! m% x3 b
4 N* l$ \# W4 ?& |8 G+ r( G22、设随机变量X服从参数为（μ，σ2）的正态分布，其中μ，σ2为未知参数。（X1，X2，…，Xn）是来自X的简单随机样本，求μ和σ的极大似然估计量。
3 |& J' }$ D8 J% Q! O考核知识点：总体参数的极大似然估计法


23、某厂生产的一种型号的电阻元件其平均电阻一直保持在2.64欧姆。改变生产工艺后，测得所生产的100个元件的平均电阻为2.62欧姆，标准差为0.06欧姆，在显著性水平0.01下，问新工艺对该电阻元件的生产有无显著影响？
) i( _- C3 S( o- X( K4 ^- W' S参考资料：新工艺对该电阻元件的生产有显著影响
& h4 i& M; m% Z) u+ g) o考核知识点：总体均值的假设检验

24、某厂生产了一批产品，按规定如果次品率超过了0.05就不能出厂。现从该批产品中随机抽取50件进行检查，发现其中4件是次品，问在显著性水平0.05下，该批产品能否出厂？
参考资料：在显著性水平0.05下认为该产品能出厂
- V+ A; T8 d8 g& C考核知识点：单边假设检验
4 z. t! E1 C% R( a% t
25、关于y与x ，有如下12对数据：
6 H) A9 H3 P, t) g5 i& HX        2.3    1.1    1.2    1.3    1.4    1.5    1.6    1.7    1.8   2.0    2.1    1.0
Y        6.00   4.35   4.50   4.55   4.50   4.75   4.90   5.30   5.00   5.50   5.50   4.20
! p  f9 c# L- e$ e) F: @+ U0 u试求（1）y关于x的线性回归方程；（2）当x0=1.6时，估计y的值。
参考资料：（1） ；（2）4.9426
考核知识点：一元线性回归