南开15春《高等数学(二)》复习资料

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《高等数学（二）》复习资料
) s( Q& U9 R2 V+ ~/ b$ g
/ ]' t) g" R6 G$ X, v一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断）
（一）、单项选择部分
1． （  ）。
; f# p2 O( d* W（A）   （B）  （C）   （D）
★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.1（考核知识点解释及资料）：
3 f, _; C2 T0 J; D# N- O# k$ w* v函数 在 上的全体原函数称为 在 上的不定积分,记作
，其中 称为积分号；  称为被积函数； 称为
被积表达式. 称为积分变量.
6 W3 _4 n0 V# D% I% j: \# k显然,若 为 在 上的一个原函数,则
7 F4 T: [4 |. n             , 为任意常数.
基本积分表：
' |, J; p9 D3 X/ ?  u  ( 为常数)；


  
  
  
  
   
/ O( T/ l2 E2 ^   
' `; n: E  E# f  
  
  
  
上述“基本积分表”是各种积分计算的基础，要求熟练掌握。在这里
& D7 g6 \: y. n作为复习我们一次性给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。
本题利用了基本积分公式： 。
% I- ]: G( r- f4 A4 f. b资料：（C） 。
2．   （    ）。

★考核知识点: 不定积分的计算
0 D0 M4 H0 F1 `+ M' a% J, s附1.1.2（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
, x: [7 T" Y' j: e; m# |( H不定积分的计算需要运用不定积分的性质：
，
。
计算过程如下：
   。
    资料： 。
3． （    ）。

1 {* x* F) `$ W- o9 Z★考核知识点: 不定积分的换元积分法
) z6 g/ F' c/ G- `9 a附1.1.3（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
常用换元公式如下：
; s0 a' G( @: n) o% ]& f$ r ；                       ；
；                         ；
3 a# ?( L% z  k3 y$ } ；                             ；
, a6 m* W& M$ ^1 N ；                       ；
$ }3 U# I8 g/ s7 @# j4 D# B ；                     ；
' b& a/ w9 M7 }8 Q6 i  A  y ；                  。
2 x* s- R8 k( P0 x: u' H1 o/ H“常用换元公式”在许多换元积分中用到。在这里作为复习我们一次性
5 w( \: v# l/ v1 X给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。
本题利用常用换元公式： 。
5 T2 M8 g# j& O! K: d计算过程如下：

8 H3 b2 H) ~4 r5 V8 j' X& z: l) h资料： 。

) _! E) ^9 o7 t1 ]. @9 r4．  （    ）。
( F0 y6 M% m' ]8 j2 ]0 T4 D! ?（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
★考核知识点: 定积分的计算
附1.1.4（考核知识点解释及资料）：
利用换元积分法可以证明：
若 在[a,b]上连续且为奇函数，则 =0。
事实上， = + =
               = + =
               = + =
6 I) X2 g, u9 P: c               = 。
- E+ Z& ^/ f; `6 h当 为奇函数时， + =0，故 =0。
# I1 V% `: U1 a- R! P$ M在定积分计算中可以利用这个结论。

. [$ f& Z; F! P1 m* k资料： （A）0 。
& V7 U7 d. g. L( A5． （    ）。
（A）-2；  （B）-1；（C）0；  （D）1
★考核知识点: 定积分的简单计算
7 N) s# y( K1 W9 H5 p- i7 [附1.1.5（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
) X8 }) ~0 W6 h4 l3 F) f3 V4 I牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
* R* z( O0 o# I! K1 z 如果函数 在 上连续，且 是 在 上的一个原函数，则
: g% q7 n  d( l# e9 {　　　　　　　　　　      
0 `( U9 x+ h( M" c" [( Q牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数 在 上的定积分，就是计算 的任一原函数在 上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.
+ X/ O; e1 P" P, D计算过程如下：
! `) I8 H* `" D4 ? 。
资料：（D）1。
6．   （     ）。

1 W7 f5 o( n- z# F: z★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.6（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
函数 在 上的全体原函数称为 在 上的不定积分,
/ x( ~$ F* I3 d. k" P( r记作 .
% E& B) J/ P, ]" u$ P4 d& e6 }" o: o) Y: q本题利用基本积分公式：  。
计算过程如下：
  J) e$ h4 Q$ u( X 。
3 M2 v8 e' }, U' @% c资料： 。
; y3 i/ h* G  B# X) b! ~1 m: A
7．   （     ）。
, p/ X4 i. w, M+ A1 @% ^5 o3 v( `
& Q- l6 i6 f$ f
★考核知识点: 不定积分的计算
! W4 D* W* E& ]' E9 ~附1.1.7（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
运用不定积分的性质
，
0 i5 ]% V3 C: D$ X2 {本题利用基本积分公式：   
# E7 p( _  z  p2 f! x; l: {7 p4 p计算过程如下：
4 E9 M! ^; A) V3 |! H   。
    资料： 。

& W2 n3 W- T1 f9 j9 M, c8． （    ）。

★考核知识点: 不定积分的计算
附1.1.8（考核知识点解释及资料）：
; Y" y! z$ n3 q& x函数 在 上的全体原函数称为 在 上的不定积分,
; |0 W( ]. N2 ~记作 .
/ U2 z- `. f& k8 S6 a关系式： 。
$ P5 C, c; E1 t! ]! ~! z) D计算过程如下：
0 E& ~. X$ p- B' V
4 T2 c' s8 h" X% o5 l2 E资料： 。

- V0 r2 [5 Q! Q5 K1 K9． （    ）。
（A）-2；  （B）-1；（C）0；  （D）1
8 t6 \+ P. q" G/ ]: v5 L6 ~: H! e) ]★考核知识点: 定积分的计算
附1.1.9（考核知识点解释及资料）：
利用换元积分法可以证明：
1 F! i! t2 U6 p& m0 s0 I/ }若 在[a,b]上连续且为奇函数，则 =0。
事实上， = + =
               = + =
: G' @/ Q$ P4 H# r+ k3 a* l2 \               = + =
5 A. t* ~# \. o' F& U- H               = 。
8 T+ P: e0 f* x0 `+ E4 W当 为奇函数时， + =0，故 =0。
( X5 a3 U! P& m+ v, Q  F在定积分计算中可以利用这个结论。
9 l& C8 Z2 x+ f6 P! Z3 b! Y资料：（C）0 。

/ U' `' l# q* t; g5 _& z# e10． （    ）。
（A）-1；  （B）0； ；   
! \* N/ M' r. L' U) q3 n9 ^★考核知识点: 定积分的简单计算
& B/ J9 b7 p, A: K; d5 `! n5 G附1.1.10（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
8 i/ F8 d5 I8 H' V* y/ S牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
如果函数 在 上连续，且 是 在 上的一个原函数，则
　　　　　　　　　　      
* ]. Y1 `  e' z5 C6 c( }4 v6 Z- |- c4 K牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数 在 上的定积分，就是计算 的任一原函数在 上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.

计算过程如下：
  。
4 Y* o" y: r4 d  h7 t* e2 K( S资料： 。
) n. A6 i9 l5 A. P" |9 Q! d
3 ~: w8 R0 D& A" {  A& i  b11． （    ）。
+ u4 ?, ~3 N9 Y0 v" j. }9 z（A）   （B）  （C）   （D）
★考核知识点: 不定积分的计算
# t- @: }7 N$ X# Q" {$ n附1.1.11（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
函数 在 上的全体原函数称为 在 上的不定积分,
$ F3 R4 j5 ]& \  }, g$ N3 F, |! L记作 .
本题利用基本积分公式： 。
4 X2 Q# n$ h- ]+ c! v" l计算过程如下：
   
1 u# q1 n( f' c8 l资料：（C） 。

9 U* \+ w1 V/ n+ o8 q' {' [8 d12． （     ）。
. F" G3 q2 V; z) n1 x1 Z
* y$ U; [9 N2 g) l3 Q7 G★考核知识点: 不定积分的计算
2 S  f  z4 k8 w5 i附1.1.12（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
( v8 e) g! o) [运用不定积分的性质
，
' H2 E' S  W" z7 E本题利用基本积分公式：  。

计算过程如下：
* i8 N% i! V/ T. U1 M0 ]   。
/ @" |7 y# P2 _$ P    资料： 。
) r6 I: r$ q2 Y7 m9 E; q! ^; M
5 Z2 k# q# p# T' Z! r; t13． （    ）。
% t$ }5 \: `& B# D3 x: ]/ I$ w2 [
★考核知识点: 不定积分的换元积分法
- F' b- G4 r! a& U$ [附1.1.13（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
本题利用常用换元公式： 。
本题利用基本积分公式：
; R+ v: O& }! R8 P计算过程如下：
0 l/ M3 F4 K* P 。
9 |, |* Y) Y$ X0 W资料： 。

. d! |$ f- X- b# `- i4 g14． （    ）。
（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
7 U% l( Z7 S  j% P2 v3 M8 v: ^★考核知识点: 定积分的计算
附1.1.14（考核知识点解释及资料）：
利用换元积分法可以证明：
  S7 p: m: J4 ^& `若 在[a,b]上连续且为奇函数，则 =0。
事实上， = + =
               = + =
               = + =
               = 。
+ R0 D/ d4 c  b6 U' ]  |当 为奇函数时， + =0，故 =0。
在定积分计算中可以利用这个结论。

资料： （A）0 。

15． （    ）。
（A）0；  （B）1；（C）2；  （D）3
★考核知识点: 定积分的简单计算
附1.1.15（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）：
如果函数 在 上连续，且 是 在 上的一个原函数，则
4 b8 B, R8 h" t' Z* y6 j　　　　　　　　　　      
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的联系.它为定积分的计算提供了有效的方法.计算函数 在 上的定积分，就是计算 的任一原函数在 上的增量.从而将计算定积分转化为求原函数.
计算过程如下：
  1。
资料：（B）1。
3 M4 O" Y2 P& q+ a8 m9 J' g3 R, `& r6 i
! L$ b+ b! u! E9 @6 P二、主观部分：
. y: W7 R% ~. M6 l7 Y0 J（一）、填空部分
- D8 P$ O* r5 i, o" Q9 G; S# F1.  ＝_________________________。
" E" |, v1 I- K0 [5 M9 b★考核知识点: 不定积分的分部积分法
附2.1.1（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
如果 和 都是 的可微函数，分部积分公式为
。
与 的选择要求：(1)  易求出；(2)  比 容易积出.
计算过程如下：
设 ,则 ，有：
＝ =
4 c2 @6 D% S/ c- D; k. O9 r9 p                  ＝ ＝
资料： 。

- f, P& }; j# l- A% N1 x  g+ {2.   __________.
7 V' [6 O& p. c$ o★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
( \" v: ^( Y% F9 c/ `附2.1.2（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
- z1 C) P! T) m9 v设函数 在 上连续， 为 上的任意一点，则积分 存在.当 在区间 上变化时，积分 是上限 的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
" }1 d7 D- P; z3 j3 { 。
& N  [- r% L% g计算过程如下：
. T/ g6 ?) m7 w0 r) E 。
资料： 。

& f$ C% c3 ^4 T) f8 [: S9 V) R3. 设向量 ，则向量的模为_________.
★考核知识点: 空间向量运算
附2.1.3（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与 相同的单位向量称为向量 的单位向量。
1 |& |! [$ h, @- e4 k方向相同且模相等的两个向量 和 称为相等的。注意，这里所说的方向相同是指它们相互平行（或在同一条直线上），且指向相同。因此，经过平行移动后能够完全重合的 向量是相等的。这样的向量与起点无关，可以在空间自由平移，故称自由向量。在数学上，我们只研究这种与起点无关的自由向量。
% b1 N: Q+ x: e在直角坐标系中，以坐标原点 为始点，向空间一点 所引的向量 ，叫做点 关于点 的向径，通常用 表示。
  O. ?7 F4 d8 l( m7 z3 s
0 L# v( W0 F5 ?  V. J3 x称为向径的坐标表示式。
记号 既表示点 ，又表示向量 ，因此，求点 的坐标就是求 的坐标。但要注意，在几何中，点与向量是两个不同的概念，不可混淆，在看到记号 时，须从上下文去认清它究竟表示点还是表示向量，当 表示向量时，可对它进行运算；当 表示点时，就不能进行运算。
计算过程如下：
- n/ q- W! J# ?; L* W8 i- q                   =
资料： 。

4.  _____________.
: x/ X  g! \" k9 b  L: d★考核知识点: 空间平面方程
7 C  C' ~% E& ?/ q附2.1.4（考核知识点解释及资料）：
1 Q1 a4 w8 c" h0 t- q* G) O确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
' V( r1 ~0 D- R  y6 _+ \& P垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
$ @& S# i4 h) y# W+ @4 s1 P假设平面 经过一定点 且其法线向量为 ，下面来建立平面方程。设点 是平面 上任一点，则向量 必与平面的法线向量 垂直，于是 ，而 ， ，所以平面方程为
   
资料： 。

' W: s& l( c' n1 F# Y0 N0 }5.  _______.
★考核知识点: 二元函数的定义域
附2.1.5（考核知识点解释及资料）：
了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。
1 C6 H0 {$ N2 B8 X6 V$ e7 r5 m; F6 K& O
/ |, C9 J- v$ _: C$ c资料： 。

6.   =_______________。
★考核知识点: 不定积分的分部积分法
4 y; g; w% ]; `5 @9 c% o附2.1.6（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
, j7 f) M1 l) j' w如果 和 都是 的可微函数，分部积分公式为
) W5 w/ Y, ~3 Q. L 。
与 的选择要求：(1)  易求出；(2)  比 容易积出.
计算过程如下：
设  ，   则  ，  。从而
              =  =  
/ K5 F6 J, `; M& M/ S1 ]7 E                    =  
9 b$ h) x/ ~5 K  @资料： 。
: o1 m8 \) `6 y: j) B
7 v, W  e. I3 G7.   __________.
$ _8 m$ o; P" x5 ^) h★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
附2.1.7（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设函数 在 上连续， 为 上的任意一点，则积分 存在.当 在区间 上变化时，积分 是上限 的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
。
计算过程如下：
, x* m  q8 \1 X  ~, j 。
' \* h! R* E7 V' z( y" |0 H' A# W资料： 。
+ _- W! y/ `0 Z8. 设向量 ，则与该向量同方向的单位向量为_____________.
: _# t  y" a' Y% Y0 r  p$ ]4 l★考核知识点: 空间向量运算
附2.1.8（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与 相同的单位向量称为向量 的单位向量。
8 y5 I) u: N  c& G/ t/ Q- |7 K方向相同且模相等的两个向量 和 称为相等的。注意，这里所说的方向相同是指它们相互平行（或在同一条直线上），且指向相同。因此，经过平行移动后能够完全重合的 向量是相等的。这样的向量与起点无关，可以在空间自由平移，故称自由向量。在数学上，我们只研究这种与起点无关的自由向量。
在直角坐标系中，以坐标原点 为始点，向空间一点 所引的向量 ，叫做点 关于点 的向径，通常用 表示。
/ p' @' h' r9 l
称为向径的坐标表示式。
计算过程如下：
& i  ]( \. R9 l% f9 C' Z                   = ； = 。
6 r3 L* Z; L+ A/ x( {, q+ a$ m, o资料： 。

9.  _____________.
★考核知识点: 空间平面方程
附2.1.9（考核知识点解释及资料）：
确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
  |8 v7 k0 m$ l3 Z垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
假设平面 经过一定点 且其法线向量为 ，下面来建立平面方程。设点 是平面 上任一点，则向量 必与平面的法线向量 垂直，于是 ，而 ， ，所以平面方程为
   
  x# ~, |% Z' p# @资料： 。
* H# e! W6 M' _, K7 a7 W: i
10.  _______.
★考核知识点: 二元函数的定义域
附2.1.10（考核知识点解释及资料）：
了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。

( {1 g' N3 S  R+ H& \+ D资料： 。
) _# e" i4 q& E: x8 t/ K
; p, W/ P3 o2 h) n11.   = _______________。
★考核知识点: 不定积分的分部积分法
! x5 c* g, y" r; G附2.1.11（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
如果 和 都是 的可微函数，分部积分公式为
: \% ?1 _7 ~; F 。
1 ?' r9 I) _8 g. t; |, l; y 与 的选择要求：(1)  易求出；(2)  比 容易积出.
计算过程如下：
3 ]+ w" h8 `6 d5 M7 |6 O; {" q% O设  ， ，则  ， ，有
              =  =
                    =  =
                    = 。
1 n  u6 k/ p, m: x+ z资料： 。
+ u1 q# B) p& u9 x! R6 S

12.  __________.
) Q$ \' Q9 m) \: c6 |& k) A★考核知识点: 积分上限的函数及其导数
附2.1.12（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设函数 在 上连续， 为 上的任意一点，则积分 存在.当 在区间 上变化时，积分 是上限 的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
2 _2 ~6 W8 u/ }* q4 E: p. P" ?7 @ 。
计算过程如下：
! F- ~, p6 _2 g$ Y. z1 U 。
资料： 。

) k: ~) R% y/ Z) k* n# G13. 设向量 ，则与该向量反方向的单位向量为_____________.
# O: C( ]4 m, A7 f" R  Y★考核知识点: 空间向量运算
附2.1.13（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
  e8 E. T2 J$ F9 }7 P. n0 a向量的大小叫做向量的模。模等于零的向量称为零向量；零向量的方向为任意的。模为1的向量称为单位向量，方向与 相同的单位向量称为向量 的单位向量。方向与 相反的向量为 。
在直角坐标系中，以坐标原点 为始点，向空间一点 所引的向量 ，叫做点 关于点 的向径，通常用 表示。
* J; C; q% c2 u
称为向径的坐标表示式。
$ I- ?9 u, A/ [  X+ o; K计算过程如下：
& \7 Z5 v& H1 [6 d5 l5 [( ~+ X                   = ； = 。
' h  T: y* H: F7 g资料： 。
( p- ]  |& W4 c. M( g' q" _
14.  _____________.
7 b5 G9 H4 f+ m* T: M+ v★考核知识点: 空间平面方程
6 {4 y. \$ b# o/ d$ r附2.1.14（考核知识点解释及资料）：
! X, p) o: [) X1 X确定一个平面的条件很多，但在解析几何里最基本的条件是：平面经过一个定点且垂直于一个已知向量。
垂直于平面的任一非零向量称为该平面的法线向量。因而一个平面的法线向量有无穷多个且它们相互平行。
9 Y' q9 g( h' J: C假设平面 经过一定点 且其法线向量为 ，下面来建立平面方程。设点 是平面 上任一点，则向量 必与平面的法线向量 垂直，于是 ，而 ， ，所以平面方程为
   
资料： 。
! H% ^$ J  s4 ~$ D) C% g" ]- x
15.  _______.
★考核知识点: 二元函数的定义域
附2.1.15（考核知识点解释及资料）：
了解平面点集与区域的概念，特别是二元函数的定义以及基本初等函数的定义域。
, I. m+ s  @8 ^+ M' R" ^! g
资料： 。

（二）、计算题
1. 计算  。
" k; S( e; }8 L5 v( O5 W1 c★考核知识点: 定积分的换元积分法
附2.2.1（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
定积分的概念： 设函数y=f（x）在区间[a，b]上有定义，用分点
a=x <x <x  x <x  x <x =b
) h% j$ ?% N4 S# L+ |2 {( T8 X将区间[a,b]任意分成n个小区间，每个小区间的长度为 =
（i=1，2， n），记   ，在每个小区间[ ]上
3 d/ D8 _/ O9 b0 o& O任取一点 ，作乘积：
' C1 f4 V4 m; P- Y. U5 ? （i=1，2， n）
# ^, N! @! Z, O5 m( D6 Q将这些乘积相加，得到和式：
/ o- {( N- w7 _/ b) y
' N* ^' X1 Y# E6 Q* j这个和称为函数y=f（x）在区间[a，b]上积分和。
令 ，若积分和S 有极限I，则称此极限值为y=f（x）在[a,b]上的
! Z# h# ]; i& d定积分，记作
' y4 |" p1 h8 j. y6 e& f, ^! `I=  =
4 {% g% m% E% Q( d记号“ ”为积分符号，来自字母“S”的一种古老写法，它表示“sum”（和），与“ ”一样；积分中的“dx”从因子 变来的；a和b分别称为积分下限和积分上限，[a，b]称为积分区间，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式。
0 T4 q  |" s9 r$ ]1 G设函数 在区间 上连续，并且满足下列条件：
（1） ，且 ， ；
（2） 在区间 （或 ）上单调且有连续的导数 ；
则有
: ^5 J/ ^% Z- A% `* a9 K/ N0 r5 n
上述公式称为定积分的换元积分公式.
在应用换元积分公式计算定积分时需要注意：公式相当于不定积分的第二换元法.计算时，用 把原积分变量 换成新变量 ，积分限也必须由原来的积分限 和 相应地换为新变量 的积分限 和 ，而不必代回原来的变量 .
- r0 Z/ Q1 S3 W' ^参考资料：
& }" b  W4 x) o1 d: \设 ，则 = - =
= = .
& T) \) _; d0 Y
; F% {& z$ s8 a* ~
( {% _5 Y3 v& @) P: k- q2 E2.  。
★考核知识点: 二元函数的偏导数
附2.2.2（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
运用一元函数的微分法求二元函数的偏导数。在求偏导数时，
9 _& Z. q/ H7 y  s将另一个变元看作常数，这样就可以运用一元函数的微分法了。
参考资料：
: \+ Q. \% _8 P6 h& r 。
" m" Q- I" J( n- G! S0 |* Q: u7 c
0 ~1 P) i7 K" b8 [3 w3. 计算 。
* @" {: F4 C  `' Q) N2 n★考核知识点: 定积分的分布积分法
附2.2.3（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设  在[a,b]上具有连续导数 ，则有
                     
故
! e) D7 {, Z8 L      
# a" y! t+ T, d+ C9 _               
这就是定积分的分部积分公式。
参考资料：
! I9 z  g* ]& f8 p8 B  b设u=arcsin , 则
      =  =
2 A( A8 ?, I( m                 = +  =
                 =
3 t) D: A% F! K4 o- [
8 J8 B5 A  x8 y/ x  p8 R4 v+ w4.  
, [( P' z- W4 A% x( f★考核知识点: 二元函数的偏导数
附2.2.4（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
' h5 l$ G3 u+ \5 Q$ l运用一元函数的微分法求二元函数的偏导数。在求偏导数时，
将另一个变元看作常数，这样就可以运用一元函数的微分法了。

8 r* q$ ]+ e0 O- e) e9 E* C参考资料：
" t/ `: |" z( T$ `" m
) A0 _, [) e1 `- U5 U  K
5. 计算  。
★考核知识点: 定积分的计算
附2.2.5（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
设  在[a,b]上具有连续导数 ，
则有定积分的分部积分公式
                        
    有时要同时应用多种积分法来计算定积分，比如换元积分法和分部积分法。
参考资料：
设 ，则
* ]" g. F6 p; S: W; ^    = = =
) Q& n* S2 {7 x+ o/ h# ^) p& }; o          = =
+ x0 `+ S4 r( G7 b3 {          =  =
$ ^; V( _5 ?6 }. a" Y1 c/ _( }2 a4 o          = =2

6.  
★考核知识点: 复合函数的全导数
附2.2.6（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
2 Y% f, `+ p) Y9 T
! _. f/ D' m0 A# P8 G$ i8 d# }参考资料：

7. 计算 。
. I0 |  I# _. N, b★考核知识点: 积分上限的函数及其极限
& t( }/ l7 w- E附2.2.7（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
! a( v, |6 x' Z6 g设函数 在 上连续， 为 上的任意一点，则积分 存在.当 在区间 上变化时，积分 是上限 的函数，称为积分上限的函数，记作 .于是导数
。

运用洛必达法则计算。
参考资料：
。

8. 计算 。
3 j  Z. F3 A: l! R6 L3 `★考核知识点: 广义（反常）积分的计算
* d: |" u0 H- q, t! ?% o! }附2.2.8（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
1 J) V' Z' U3 I+ T+ Z2 w" ?" f7 S8 k函数的定义域是无穷区间 ， 或 ，或被积函数为无界的情况.前者称为无限区间上的积分，后者称为无界函数的积分.一般地，我们把这两种情况下的积分称为广义积分
- N* _3 V+ u. J3 z(1)广义积分是常义积分（定积分）概念的扩充，收敛的广义积分与定积分具有类似的性质，但不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式.
5 h$ A0 C- g0 r- x& _! _* W3 l6 _8 U(2)求广义积分就是求常义积分的一种极限，因此，首先计算一个常义积分，再求极限，定积分中换元积分法和分部积分法都可以推广到广义积分；在求极限时可以利用求极限的一切方法，包括洛必达法则.
4 ?/ v' o2 k* Q0 q* C6 h, S参考资料：

7 ?2 R" l2 B4 ]4 \& L =
  =
.

9. 计算  。
★考核知识点: 广义（反常）积分的计算
7 C7 b' f" \$ a. V2 D  g附2.2.9（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
7 W' G/ ]- n/ O. j: t' I! K) h4 b被积函数为无界的情况，称为无界函数的积分.
(1)广义积分是常义积分（定积分）概念的扩充，收敛的广义积分与定积分具有类似的性质，但不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式.
9 t8 T9 X* D. n" u( h(2)求广义积分就是求常义积分的一种极限，因此，首先计算一个常义积分，再求极限，定积分中换元积分法和分部积分法都可以推广到广义积分；在求极限时可以利用求极限的一切方法，包括洛必达法则.
参考资料：



, _1 |) k  s' j5 O" N5 A/ n' ~$ ~$ P10.求函数 的极值。
- M( c$ _( a% _% r: }1 c5 L! t★考核知识点: 求多元函数的极值
+ ~6 \0 e2 k  k' P. Z3 Y- \附2.2.10（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
6 s# G7 w, i1 R0 o% }+ h设函数 ，求函数的极值步骤如下：
! u' ?; Z7 C7 r( l（1）求方程组
               ，
2 G7 T3 Y: ]: q( U, J的一切实数解，得到一切驻点。
) K: d! l0 y0 a3 Z2 [& t（2）对每个驻点 ，求二阶偏导数的值
。
（3）极值点的充分条件是
: S( a0 q* L9 M( r当 时，函数有极值，其中
时，函数达到极大值； 时，函数达到极小值。
参考资料：
% T" W$ v: b' v8 t: e8 w- i
9 Y, }/ ?. N4 G1 I1 g3 s! t7 l6 `11.
★考核知识点: 求多元函数的极值
2 g3 i" i: [( B附2.2.11（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
; a2 q8 H) K  m6 E$ l     二元隐函数的求导公式：
设 ，则
( q8 k  @+ n& f& m  y
0 ~2 b. ~# }( @6 m设函数 ，求函数的极值步骤如下：
% x# M, X3 U; c9 S  |% W（1）求方程组
$ d( i2 f5 M: R+ I2 X+ q. {               ，
的一切实数解，得到一切驻点。
: F$ ]% k$ m5 W$ y8 F0 g( t（2）对每个驻点 ，求二阶偏导数的值
。
（3）极值点的充分条件是
- ]' m5 A  b, `- }6 w当 时，函数有极值，其中
2 ?; F0 o( X5 k+ a- w( R. J 时，函数达到极大值； 时，函数达到极小值。
参考资料：
) @. X$ g: Q" p1 H4 |; l+ F


12.已知直角平行六面体的长、宽、高之和为定数 ，求其最大体积。
★考核知识点: 求多元函数的最大（最小）值
. r, \8 z6 \* L5 P& w6 s附2.2.12（考核知识点解释及资料【解答过程】）：
$ K4 W# D  n/ G- |# ^  {条件极值问题可以用拉格朗日乘子法求解。拉格朗日乘子法：
+ q' n' L4 z0 g; f求函数 在条件 下的极值点，按如下方法。
( G" A- s- X6 o: n9 W6 \4 j' J（1）        构造拉格朗日函数
                  
（2）        求一阶偏导数，令   
（3）        由方程组解出 ，其中 是可能的极值点坐标。
$ u4 a2 ?) I" L# B; L参考资料：
; E- y) T/ s9 N8 P7 [; B4 D
9 i% Z8 y+ u! S0 M设平行六面体的长、宽、高分别为  。
依题意有  
6 r& h0 |3 s# K  ~+ b  ，
       。
4 t; L8 `+ C. s3 r# g  \7 ^" ]- K又设
3 V; Q' B6 z* f: K, T. Q

5 c% L+ X9 F0 ]4 R# o! F令         
解得唯一驻点 ，实际问题可知为最大值点，即当长、宽、高均为 时，其体积最大，这时， 体积 。

9 x# U+ ~1 j/ Q