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数值计算方法
要求：
1. 独立完成，作答时要按照模版信息填写完整，写明题型、题号；
2. 作答方式：手写作答或电脑录入，使用学院统一模版（模版详见附件）；
3. 提交方式：以下两种方式任选其一，
1) 手写作答的同学可以将作业以图片形式打包压缩上传；
2) 提交电子文档的同学可以将作业以word文档格式上传；
4. 上传文件命名为“中心-学号-姓名-科目.rar” 或“中心-学号-姓名-科目.doc”；
5. 文件容量大小：不得超过20MB。
请同学们按照学院平台“课程考试——离线考核——离线考核课程查看”中指定的“做题组数”作答，满分100分；
例如：“做题组数”标为1，代表学生应作答“第一组”试题；
提示：未按要求作答题目的同学，成绩以0分记！
第一组：
一、 综合题（共82分）
1、 （28分）
已知下列函数表：
0 1 2 3
1 3 9 27
(1)写出相应的三次Lagrange插值多项式；
(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算 的近似值。
2、（24分）
求方程组 的最小二乘解
3、（30分）
已知线性方程组
（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；
（2）对于初始值 ，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算 （保留小数点后五位数字）
二、简述题（共18分）
1. 数值求积公式 是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？
第二组：
一、 论述题（共53分）
1、 （27分）
确定求积公式 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.（27分）
2、（26分）
叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？
二、计算题（共47分）
1、（30分）
用列主元消去法解线性方程组
2、（17分）
已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式 及f (1，5)的近似值，取五位小数。
第三组：
一、 简述题（共50分）
1、 （28分）
已知方程组 ，其中
，
列出Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。
2、 （22分）
用牛顿法求方程 在 之间的近似根
（1） 请指出为什么初值应取2？
（2） 请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001。
二、计算题（29分）
用反幂法求矩阵 的对应于特征值 的特征向量
三、分析题（21分）
设
（1）写出解 的牛顿迭代格式
（2）证明此迭代格式是线性收敛的
第四组：
一、 计算题（共70分）
1、 计算题（26分）
以100,121,144为插值节点，用插值法计算 的近似值，并利用余项估计误差。
2、 计算题（20分）
用复化Simpson公式计算积分 的近似值，要求误差限为 。
3、 计算题（24分）
用LU分解法求解线性方程组
二、 简述题（30分）
请写出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式，并判断其是否收敛？
第五组：
计算题
1. 写出求解线性代数方程组
的Gauss-Seidel迭代格式，并分析此格式的敛散性。（28分）
解：方程组的Gauss-Seidel迭代格式为
其迭代矩阵为
其特征方程为
解之得
谱半径 ，故迭代发散。
2.
（1）写出以0，1，2为插值节点的二次Lagrange插值多项式 ；
（2）以0，1，2为求积节点，建立求积分 的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。（41分）
解：在0，1，2节点构造二次lagrange插值多项式，则有
则
对上式在[0，3]上求积分，则有
其中
插值型求积公式
由于 在[0，3]上不保持常号，
故考虑构造一个二次多项式 满足下列插值条件：
由Hermite插值方法，有
对上式在[0，3]上求积分，则有
因为 为二次多项式，所以
3. 利用Gauss变换阵，求矩阵 的LU分解。（要求写出分解过程）
（31分）
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发表于 2016-12-8 13:51:38
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发表于 2016-12-20 10:22:42
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