北大17春 高等代数 作业资料

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    2 0 1 7年 春 季 学 期 高 等 代 数 作 业   

  要求：1. 作业必须写出全部求解过程。计算题必须写出全部
           计算过程；证明题必须写出全部证明步骤。不能只写资料。
         2．要独立完成作业，不要抄别人的作业，不要抄《高
            等代数教程习题集》的资料。
         3．不许抄袭或复制前几个学期的习题解答。
         4. 键入数学公式，用数学软件Mathtype .
      
   作     业       ( 共 3 5 题  )
  
    第 一 章   行  列  式   (  8  题 )
习题 1.3
5、计算N阶行列式
(1)     
  
习题 1.4 （1）
1.计算下列行列式



      (4)      

习题 1.4(2)  第 4 题 ： 计算下列行列式
   
习题 1.5
4、计算下列行列式中所有元素的代数余子式之和  

      (2)      
                     
习题  1.6   
  1、计算行列式
      (3)      





5、计算 n 阶行列式

      
复 习 题 1  

  4、计算行列式
     
9、试证


     第二章      线 性 方 程 组      (   10   题        )
习题 2.1
1、用 Cramer 法则解下列线性方程组
           

习题 2.2（1）
  1 .  解下列线性方程组  
          (2)        
习题 2.2(2)  
1、        用消元法解下列线性方程组
(4)      

习题 2.5(2)
  

习题 2.5(3)

习题 2.6
3. 计算下列向量组的秩，并且判断该向量组是否线性相关。
      
习题 2.7(2)  
1、 求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表出方程组的全部解。
  （2）   

习题2.7(3)   
2 .  线性方程组   



复习题 2
1. 用基础解系表示出下列方程组的全部解   
（3）     

   


   
  
第三章          矩  阵   (   9  题  )
习题 3.2   
  5 . 设A是一个n阶矩阵，试证：存在一个n阶非零矩阵B使得AB=0
     的充分必要条件是 。

习题 3.3  
3 . 试证：如果 ，那么E-A可逆，并且   
6. 求满足下列条件的X 。
  （4）   

习题 3.4  

5. 求下列矩阵的逆矩阵

     (3)        

习题 3.5   
5 . 把下列向量单位化 （即求 ）
  （1）  ； （2）
  
7. 试证：若n维实向量 与任意n维实向量都正交，则 必定是零向量。
  
复习题 3  
1. 求满足下列条件的矩阵 A :
(2)      
10. 设A是一个n阶矩阵 ，试证：
            
11.  设 是一个 阶矩阵( ),求证 :   

第 四 章   矩 阵 的 对 角 化     (  8  题  )
习题 4.1  
5. 矩阵A称作幂零的，如果有正整数k使Ak=0；
A称作幂等的，如果A2=A，从而对正整数k有Ak=A；
A称作幺幂的，如果有正整数k使Ak=E。
试证：
                （1）与幂零矩阵相似的矩阵都是幂零矩阵。
                （2）与幂等矩阵相似的矩阵都是幂等矩阵。
                （3）与幺幂矩阵相似的矩阵都是幺幂矩阵。

习题 4.2
1. 求下列复系数矩阵的特征值和特征向量
       （2）   
3. 设 是A的属于特征值 的特征向量，求证：
（1）        对任意非零数k， 是kA的属于特征值k 的特征向量；
（2）        对正整数m， 是Am的属于特征值 的特征向量；
（3）        如果A可逆，则 ，且 是A-1的属于 的特征向量。


习题 4.3   
5.计算  （k > 0，整数）

习题 4.4
1. 求正交矩阵T，使T-1AT为对角矩阵。

       （1）
复 习 题 4  
1.        求下列矩阵的全部特征值与特征向量：
     （2）   
         
3.   求正交矩阵T 使 T-1AT 为对角矩阵:

     （2）   
8. 如果任一个n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量，则A是一个数量矩阵。