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一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。） V 1. 闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.; d+ m* h, b) d5 S: m i0 g6 z' y
A. 错误
. {( B6 A; k) j4 N8 WB. 正确& Y8 F6 G/ P; b ^
3 Z8 C6 a o) ]& i; s8 v2. 存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等． x- m% }7 r) a3 |) }% [ y
A. 错误
! h6 D3 m& h3 n" I0 IB. 正确
. W- y- k7 } g0 k
) n0 ?6 y- e4 B/ B' G- ^. l. z' U3. 若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.% R6 [) q- V' k1 l% x
A. 错误8 _% d7 F1 _+ x9 ~
B. 正确
/ d* [/ e y& O1 H) V" P4 e5 ]. P/ {% a6 P; q& h
4. f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。" C! L% k0 H2 i1 e
A. 错误0 w0 ?3 y% D4 f. i
B. 正确& e% s) y+ F% m! ~* {9 `4 K
. V% i9 B9 P& ^
5. 若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).0 h0 f+ F" N' i5 Y. n
A. 错误" @9 a; Y8 L8 w' j- O
B. 正确 O4 c& W5 m/ ^3 Y) I, u7 }
& h* b- c/ t& r+ b6. 积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。2 m& s$ W d' ` \* ^7 ~& z6 [
A. 错误
% l1 [, O$ D( W: f; u: ]) d aB. 正确
4 Y0 ^* [( d3 A7 O! A: E1 s. k* ^4 c2 Q7 Z3 @9 `
7. 若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.) U4 [; W/ \7 f- E/ `4 E
A. 错误
3 m4 G" O$ A) G4 pB. 正确" g! P2 g9 H# ?) i
4 Q- o a' j4 ?9 B, {1 x9 {/ U/ a$ q0 J8. 若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
) q1 V/ v5 P. z; a+ u5 WA. 错误: V% P, ~: X" |: ?' G. W
B. 正确& \5 x% ]- B. [
+ w$ m- ?' ~) r2 ?' H: W9. 若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
& x3 y& s" A8 m4 y9 O6 y! t4 ?/ HA. 错误
! L4 j5 D) D* j& O! P6 e7 r5 |B. 正确# W* i) T, L3 t$ A
+ ?) ]( C' J6 c8 v
10. 若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.! \8 y- j; a. V* c# X9 m( x" V; G8 y
A. 错误
# ?% w8 ?6 ?% ^9 ?) \2 q! D) iB. 正确4 m4 C9 k" a* S
0 t, h" H& L; b7 z
11. 函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。( c2 B2 c* p, _
A. 错误, t$ ?: j& `7 U
B. 正确" s* C2 o; J5 r9 G0 k K' R
0 e* z2 c! {, O7 f: J# c
12. 三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。; T' |) T' W" e) p6 t7 W
A. 错误
8 s* p; ]9 w, _) hB. 正确# g. i5 ~" |) F6 k2 b4 c; L4 G3 d; n
2 a2 ?3 Y3 o1 S
13. 若f可测，则|f|可测，反之也成立.& P) B/ l6 l% Z. h; A
A. 错误
7 @0 ?# L. J5 VB. 正确
9 c1 ] @5 @3 p4 e; r& u' z% L! e5 u1 p: T# C
14. 积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.! I t7 R3 E# u+ s8 a
A. 错误' L/ _: c0 e8 l* W, ^+ N* n5 F- ^" r+ |
B. 正确
; R# |% f* l* {# W/ I) w- I. V# F A( O6 [+ t3 T$ d
15. f在[a,b]上为增函数，则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .; Z9 o2 a4 k* h) ]0 \0 G+ O1 u
A. 错误; T6 c R7 K5 H! K
B. 正确" S9 L/ O! d9 ?" \+ `" m
, s/ ^$ N: X. w16. 当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.* T% c. I- _( R1 ?, C
A. 错误2 N w2 m) V# D6 k, [9 h
B. 正确4 w% e8 M m7 y3 a- i
: v, P6 L- G' }0 z' F, I% w1 h& U5 _
17. f,g∈M(X),则fg∈M(X)., } y) C8 M9 L& I! }) o
A. 错误& H# b9 n9 ^7 u
B. 正确
. p# v. v" A% Z4 z6 s4 y( ?$ O, F& O2 z& L+ h
18. 若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.6 R( K: m7 |2 X9 X; l) E5 G
A. 错误1 E# I0 _6 f* r! r
B. 正确) r3 A; o- g4 O
& u% r$ D8 |* N6 ]2 L% l0 m6 T N
19. 函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.7 h# G/ X8 {+ p( y
A. 错误
+ O+ Y: e! s$ Z2 d% O ~5 pB. 正确
6 Y' I0 ?1 s) G; @+ `5 V) H1 `. ?, C9 M# h
20. 若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|.5 Q: `' ^- k1 e$ z9 o
A. 错误* Y, j- m) N: L
B. 正确
0 Q; b# P( |; T6 j0 p1 x0 L# @8 W# X: D/ W$ E
21. 若A交B等于空集，则A可测时必B可测.$ r5 d- f' ^6 n, u
A. 错误
- j5 W3 u1 H' wB. 正确
. p+ M1 X+ C7 R9 W7 k# b
- P( o4 q% i$ q6 y' k6 d22. 若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
+ z) J/ i; u5 } sA. 错误) ~5 q" w `+ e! W. F
B. 正确& X% G5 \* n0 q3 t5 ]* d; R
9 Q8 y: f; M7 X3 L23. 一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.* t/ B" |* \! a f
A. 错误
]# R$ Y( D, OB. 正确
" e$ E A- r) z% x/ a" v! s% c; @) V8 R# }3 c) i% A' q
24. 连续函数和单调函数都是有界变差函数.
3 R! W7 O8 ~8 R, D- eA. 错误
. i! `6 X! x* _8 j9 B6 _B. 正确# h" D7 D. ` S
$ U% f0 ~; A1 l$ ?; Q
25. 集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
2 `; n2 S6 a& k! t, ^( Q8 y* K* ZA. 错误
. N0 F' F( d& g7 NB. 正确
, Y4 R- i) }: ^4 K; z
0 e9 l( G9 @ b, [' [ u26. 对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim_{n->+∞} n·M[E(|f|>=n)]=0.# V( R, w3 \1 x% S* Z% P
A. 错误) E5 ~1 f- K8 E7 P/ X+ E
B. 正确( J l9 O; ?0 K+ C7 ~
* W2 m0 y1 E2 I" I' V+ T27. f可积的充要条件是f+和f-都可积.
7 d3 B, R+ e) X4 P1 rA. 错误
' x Q& P0 O Y: h2 v8 aB. 正确% i* I- k: f% x. F9 Z
' @9 ?4 T* i, B) X- N5 S' G9 P2 F
28. 增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
" u# X8 X; R. d. M/ uA. 错误
, Y& c. ^7 S8 r MB. 正确
9 N4 P* _. V& K5 x/ a" [, f5 J' q- R5 m7 N" f
29. 测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.$ v6 {" V4 _1 f5 O* M# N) C
A. 错误
6 h' ] d' m% t. Z7 CB. 正确) T2 Y2 f. Q( B# Y) x6 J6 T
; Y N6 V, C( F( C! G30. 可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
+ F* c% R6 X0 G2 m: M- CA. 错误
/ m4 y* a& N' yB. 正确4 M: ^9 X+ ^0 R; Z% @
+ l5 m( Y. g4 e& }* G8 C4 j( i5 v
31. 若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。' w; b/ f7 g- b. i0 V. y2 t
A. 错误7 U- A1 u* {/ m; C( e
B. 正确; w2 d. R2 z0 d% E' s0 X7 W
+ G' l( O- {7 s8 k; L1 a32. 利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
# G! @( {" G2 o/ M1 ]/ \A. 错误2 }2 ]0 s1 c- X3 S
B. 正确. |8 h9 I2 t- ~: A) |/ \. H5 w
- ]8 u$ d: D( |5 [+ r& L, {2 ^
33. 若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
# g) i `& l* ]3 T3 ]A. 错误
# T/ y, g3 ]& |+ f# d; e( QB. 正确
+ U* G: k: P+ L4 b8 S0 I3 l2 w( U, Q# z4 R3 L
34. 若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.7 z: }- u1 B& c+ I
A. 错误. r2 U! S& h1 e9 u0 ~( k
B. 正确! X4 V5 p, q4 I/ t! L& n
/ q5 _6 A, z8 m/ N' \
35. f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.7 \5 r I& l1 W, l3 @ L
A. 错误
9 R8 k8 G3 m: qB. 正确4 p* D' }& c* k
) e: I* T, G" a% H7 @
36. 若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
6 }' I$ U4 d6 X4 mA. 错误
9 _8 p9 ~3 ?5 o$ mB. 正确' W7 s" e+ i8 |: H5 }! e4 v
2 z! C [* V3 E5 r37. 可数集的测度必为零，反之也成立.) a. H9 ]/ B0 [8 O
A. 错误
0 w$ `$ c- L, S* SB. 正确
7 \. s9 X) E" R# w) l, T4 H1 U) r1 C8 a" c' I
W, n V. q d) a a8 i2 e! t) v# {& Q {
二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。） V 1. 设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
+ @8 Q5 p. m4 }. {2 EA. 连续函数
+ q8 v/ S% {8 `9 w& E) K' d: GB. 单调函数
# R7 H; u6 M- C# P- ^C. 有界变差函数
4 I8 Z# P2 d2 d! u, WD. 绝对连续函数. ^* A/ o* h3 K$ w
5 n+ I, ^/ a; M6 V$ U* \& ?, E; D2. fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）0 o1 J% E q3 h1 N/ }- F4 c4 f' g
A. 充分条件
5 y! Q. v3 Z% VB. 必要条件
+ F: w* }! m/ Q6 C' s; Y7 _C. 充要条件
( L0 k5 y/ s8 _D. 非充分非必要条件& z9 ?7 e- `+ H) b: }
/ T% U4 G1 V% R& v2 w4 A, q
3. 下列关系式中不成立的是（ ）1 t) i/ \) c6 o9 o2 }# s4 x% a
A. f(∪Ai)=∪f(Ai)
9 x! I; u4 Y. |; \3 E5 q9 gB. f∩(Ai)=f(∩Ai)
7 Z, y+ @$ J' AC. (A∩B)0=A0∩B0 u `7 {, K2 v% q) w
D. (∪Ai)c=∩(Aic)
. H s* S& A' I6 Z
+ {. u m( N7 L* T) @! I& B5 {7 _4. 有限个可数集的乘积集是（ ）
/ L) u8 ~5 D5 P% o, I+ E7 RA. 有限集
& `) w: O$ K7 IB. 可数集
, u8 L% [1 o- l& R1 z1 VC. 有连续统势的集; h0 [' w" j9 C) z% R" q7 E
D. 基数为2^c的集
# x! M' R/ W" l. p) M1 c
3 B& r& F D7 @5. 开集减去闭集其差集是（ ）
4 D/ d6 x/ N! o7 FA. 闭集& i# T; w# t/ z. \
B. 开集
$ B, L5 z9 d7 u) B [4 ?C. 非开非闭集
- u' U2 k* j& } F6 aD. 既开既闭集
! M/ R: k& {3 J, A6 z; H* R- ^; H6 o" a T
* Q: |5 q/ L" C' z1 R! f
4 y# n r6 r2 @" R) G3 n! b* h 三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。） V 1. 若f∈BV[a,b]，则（ ）
5 A% a% ]5 S. I3 Q& K4 P8 R3 M8 SA. f为有界函数
, g4 H0 }+ ~. j$ K& o2 ~7 z. HB. Vax(f)为增函数
' J/ @7 Q: ~9 m# S: w( m, ^) \C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)) I: Y, g" p' F3 S! X' p2 b7 y, ]
D. f至多有可数个第一类间断点& X& w3 g6 H( E1 W+ W2 u0 n- g2 W
: c, f; x; R/ P% d0 S' g
2. A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）0 L+ e6 {; W6 _' F3 @6 q
A. f^-1(f（A）)=A
0 \) ]' I; ]2 n) LB. f^-1(f（A）)包含A9 f# E8 ~& x; z. r, D7 t
C. f(f^-1（A）)=A+ m* p* ?1 u! K' O
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
6 e9 O- ?4 b' }) ^& P: W7 \
. |8 {/ y( D# q9 ~+ j! ], z9 `3. 若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）1 v A4 S- \7 u) v3 t5 X
A. f+g不可测
# s) y* L' N8 {) D$ ]# k4 x5 _1 NB. fg不可测& b9 D8 ]! d5 A
C. g^2可测
- ?( e6 G; B. t0 T, h8 [$ M5 gD. |g|可测
1 O9 D) O. y. V1 g5 B* t6 |2 @" W8 U) ^2 N" L. K
4. 若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
4 Z2 C* V* D9 s3 k ^/ z7 M* V7 uA. f可测
- S; y( b( f" A% g7 RB. |f|可积# k) p8 U5 L* [; d$ M
C. f^2可积
' d1 O' A# ~5 W3 kD. |f|<∞.a.e.
# j" O& F( }# Q
' q, r; [- q5 t- H5. 设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
' K6 Q, {( }: iA. 几乎处处可微1 J+ i+ @1 s; ]5 g6 G% ]
B. L可积
, F% Z% R d9 jC. f'可积! n8 i4 P' R& V: W
D. 区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)5 t& e& ^" p( O( ?3 V# k
2 l- f, V2 `% a( ^6. 在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）! Y+ E/ S5 e- p1 T
A. f在R上处处不连续
+ w3 ?# u( _7 i, o5 rB. f在R上为可测函数. X! |, w; _8 }+ n
C. f几乎处处连续/ d' H( { a# \! [. Z- V
D. f不是可测函数
% a# ]) f- j) @9 ^' f0 L/ L
3 J0 h! g8 S& {+ ?- r5 K7. 设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
7 G6 q, ]* M( ]2 m y" D, ~4 N) ~A. 有界函数$ I. a; J- S, k- U4 b
B. 可测函数% U2 ^/ o, i+ c* Z" R6 B% ^
C. 有界变差函数; ~4 T5 U1 b; q- ~: M
D. 绝对连续函数
0 j$ Q, Z. p7 v( u8 T8 B8 X
- C" Z0 O( X9 {7 `8. 设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是( A# a# f9 v+ m( y) m* K. `$ e
A. 是L可测函数
q) f" E) j# H1 j/ O% IB. 不是L可测函数& B# i" J7 F$ p) H1 H8 L
C. 有界函数
" k/ w/ j+ T% x" g" hD. 连续函数7 u- q: e( t5 h) P9 R
: }/ Z) P4 e2 D' x/ x! v
+ R$ S5 |4 C0 e- H' u4 |0 z5 P1 g/ G5 p6 a* O% @$ d' F
1 ^* K# H7 {+ J x8 M
2 C* a0 `3 h% ~
3 Y! z% E7 v0 _8 B) C
+ u7 H3 y/ M. c! U4 @6 {
; r# G! U c% h4 m' T9 D( W# e8 _8 ~; O; o
$ X! f X% R, i9 q8 W
' [% ?4 j8 Q- |% p5 ^ d) |7 o. k& F" t
% `6 l7 ^3 ^& n3 @ Q9 l7 C ]8 M6 i
4 m" q& @" |4 P" {/ l' M
|
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2017-4-25 13:06:40
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发表于 2017-4-25 13:16:38
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